高中数学专项复习：立体几何中的最值问题（原卷版）

第三篇立体几何

专题07立体几何中的最值问题

常见考点

考点一最大值问题

典例1.如图，在VABC中，AC=3C=1,ZACS-120°,。为VABC的外心，POL

平面ABC,KPO=—.

2

⑴求证：3。〃平面9C；

⑵设平面PAOn面尸3。=/,若点M在线段PC(不含端点)上运动，当直线,与平面

向1所成角取最大值时，求二面角4-3河-0的正弦值.

变式1-1.如图，在正三棱柱A2C-A2G中，AB=AA}=2,点。在边上，E为

的中点.

(1)如果。为BC的中点，求证：平面网E〃平面CQA；

uumuuLI

⑵设锐二面角的平面角为a,CD=^CB，&万」，当九取何值时,

cos々取得最大值?

变式1-2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面4"。是直角梯形，侧棱SA，底面ABC。,

A3垂直于AO和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱S3的中点.

AD

⑴求证：AM〃平面SCD；

(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值；

(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为6,求sin。的最大值.

变式1-3.如图，在正四棱锥S-ASCD中，点。，E分别是BD,BC中点，点尸是SE

上的一点.

(1)证明：OF1BC；

(2)若四棱锥S-ABCD的所有棱长为20,求直线。尸与平面SDE所成角的正弦值的

最大值.

考点二最小值问题

典例2.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四边

形8FEO为矩形，BF=\,平面3FED，平面A8CD

⑴求证：ADL平面BOEE；

(2)点P在线段所上运动，设平面阴3与平面ADE所成的夹角为。，试求，的最小

值.

变式2-1.如图，在VABC中，Wl,BC=208号将VABC绕边,翻转至

△ABP,使面丫4即_1面丫45。，。是8C的中点.

(1)求二面角尸-3C-A的平面角的余弦值；

⑵设。是线段以上的动点，当PC与。。所成角取得最小值时，求线段AQ的长度.

变式2-2.如图，四棱锥S-ABCD的底面为矩形，底面ABCD,设平面S4。与平

面S3。的交线为在

(1)证明：mlIBC,且加，平面SDC；

(2)已知S0=AD=OC=2,R为加上的点求S3与平面RCZ)所成角的余弦值的最小

值.

变式2-3.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四边

形班即为矩形，平面5FED_L平面ABC。，BF=1.

(1)求证：8£>_L平面AED,">J_平面3DEF；

(2)点P在线段班上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为。，试求6的最

小值.

巩固练习

练习一最大值问题

1.如图所示，在三棱柱ABC-ABC中，AB=BC,点4在平面ABC的射影为线段AC

的中点，侧面AAQC是菱形，过点4,2。的平面a与棱AG交于点E.

(1)证明：四边形8瓦⑦为矩形；

(2)求M与平面4330所成角的正弦值的最大值.

2.如图，在矩形中，M、N分别是线段A3、CD的中点，AD=2,AB=4,

将AADM沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点.

(1)从△ADM翻折至VNDM的过程中，求点P运动的轨迹长度；

(2)翻折过程中，二面角尸-BC-O的平面角为仇求tan。的最大值.

3.在四棱锥P-ABC。中，PAL平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD//3C,

皿.AB=AD^BC=2,E为棱BC上的点,且小小C.

p

(1)求证：DE_L平面PAC;

(2)若二面角A-PC-D的平面角的正切值为g，求的长；

⑶在(2)的条件下，若。为线段PC上一点，求8。与面PCD所成角为。，求sin"的

最大值.

4.如图，在直角三角形A03中，NOA8=30。，斜边AB=4,直角三角形AOC可以

通过A03以直线A0为轴旋转得到，且二面角3-AO-C是直二面角，动点。在斜边

A3上.

(1)求证：平面COD，平面493；

(2)当。为的中点时，求异面直线AO与8所成角的正切值；

(3)求8与平面A03所成角的正切值的最大值.

练习二最小值问题

5.如图，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，/PDC=90。，平面ABC。，平面PDCE,

^.PD=AD=2EC=2.

(1)若尸E和。C延长交于点尸，求证：BP//平面R4C；

(2)若。为EC边上的动点，求直线8Q与平面PZ汨所成角正弦值的最小值.

6.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=1,ZABC=60。，四边形ACFE

为矩形，平面ACFEL平面ABC。，CF=\,设点M在线段班上运动.

A

(1)证明：BC±AM；

(2)设平面M钻与平面尸CB所成锐二面角为0,求6的最小值.

7.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四边形

BFED为矩形,平面8庄刀，平面A8CD,BF=1.

(1)求证：平面3EEO；

(2)点P在线段所上运动，设平面用8与平面AOE所成锐二面角为仇试求8的最

小值.

8.如图，正方形ABCD边长为1,EDL平面AB