沪科版九年级数学上册期末复习：相似形知识归纳与题型突破（20类题型清单）

第二十二章相似形知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

相似图形｛形状相同的两形

两个2度娟同,对应角码，对应边长度的比相

相似多边形等的条边形］用引以多边形

相＜以比｛相1炫边形对应边长度的比口收蜘双或相1以系数

成比例线段EE骚境豺，飕两融酸的8^另夕隔条

爱段的比，这四条残段叫成比例践段

把一■成两部分，较长统段与金盆段3g

黄金分割于场朝段与较长送级的比，西钿底段分割打

6S金分割，分割点口微这转段的黄金分割点

平行线分线段同设制｛两条族g一组平行或所前所得的对应鳏成比例

相似形Y

相/以三角形两个三角形中，对应角够，对应由成比例，I—

两个三角形相似

平行于三角形一3遁逢与另两边相交，斫截三角形

"与原三角形相似

两©曲两个以

福旺角形的判定•碗对应雌例，品超第，两个E角—以

三边对应神例，两个三角形树以

形，

两个三角形相1以

r对.役够，对£S^ttS¥«1妣

对应高的比对应中维ttS］对应角平分维

、•科旺角形的性质一妣

对应局长的厘F相似比

'对应面积的比等于相似tt的平方

1

02知识速记

一、相似图形、相似多边形、相似比

1、相似图形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.

2、相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那

么这两个多边形叫做相似多边形.

3、相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.

二、成比例线段

1、两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度，我们把这两条线段长度

的比叫做这两条线段的比，记作?或a:b.

2、成比例线段：在四条线段a、Ac、d中，如果其中两条线段a、b的比，等于另外两条线段c、d的比，

即£=“或a：b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.这时，线段a,b,c,d叫做组成比例的项，

线段a,d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

3、比例中项：如果作为比例内项的两条直线是相等的，即线段a、b、c之间有a：b=b：c,那么线段b

叫做线段a、b的比例中项.

三、比例的性质

1、合比性质：如果?=。，那么看=审d#0)

bdbd

2、等比性质:如琮琮且瓦+历+…+“力o,那么4

四、黄金分割

把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金

分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值等叫做黄金数L条线段的黄金分割点有两个.

五、平行线分线段成比例

1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

2、基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.

2

六、相似三角形

1、相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线与另两边相交，所截三角形与原三角形相似;

（2）两组对应角相等，两个三角形相似；

（3）两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似；

（4）三边对应成比例，两个三角形相似；

（5）两直角三角形，一组斜边和一组直角边对应成比例，两个三角形相似.

2、相似三角形的性质：

（1）对应角相等，对应边的比等于相似比；

（2）对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

（3）对应周长的比等于相似比；

（4）对应面积的比等于相似比的平方.

03题型归纳

题型一相似多边形

例1.（23-24九年级上.上海黄浦•期末）下列命题中，真命题是（）

A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似

B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似

C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似

D.如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似

巩固训练

1.（22-23九年级上•山西阳泉・期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的

边框做成艺术墙.下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图

形不一定相似的是（）

3

2.（22-23九年级上•上海•阶段练习）下列命题中，真命题是（）

A.有一个角为30。的两个等腰三角形相似

B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似

C.底角为40。的两个等腰梯形相似

D.有一个角为120。的两个等腰三角形相似

3.（21-22九年级上.四川眉山.期末）下面两个图形中一定相似的是（）

A.两个长方形B.两个等腰三角形

C.有一组对应角是50。的两个直角三角形D.两个菱形

题型二两条线段的比

例2.（23-24九年级上•安徽六安•期中）如果线段a=与皿，b=5mm＞那么?的值为

巩固训练

1.（22-23九年级上•上海浦东新•期中）4、B两地的实际距离=250米，画在地图上的距离为5厘米，则

地图上的距离与实际距离的比是.

2.（21-22九年级上•江苏泰州•阶段练习）在比例尺是1:20000的地图上，若某条道路长约为3cm，则它的实

际长度约为knv

AR

3-33九年级上上海徐汇・期中）已知点C在线段如上，满足法=就，如果放=2/，那么=

4

cm.

题型三判断成比例线段

例3.（22-23八年级上•全国・单元测试）下面四组线段中不能成比例线段的是（）

A.3、6、2、4B.4、6、5、10

C.1、2、3、6D.25、20、4、5

巩固训练

1.（22-23九年级上•重庆沙坪坝•阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

，，

AFAem'Jem'Auem'7'emRRJcm,4^cm,Jem'A°cm

,

C.3cm，5cm，9cm，15cmD.lcm，^cm8cm

2.（22-23九年级上•吉林长春・期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.。=1,〃=2,c=3,d=4B.a=l,b=^2,c=V3,d=A/6

C.a=5,b=6,c=7,d=8D.a=A,b=6,c=6,d=8

3.（23-24九年级上.上海.阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.4em、2cm、1cm、3cm2dm、6cm

C.25加、35cm、55cm1cm、2cm>20cm、40cm

题型四利用成比例线段求线段长度

例4.（23-24九年级上•四川成都•阶段练习）线段〃、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，

巩固训练

5

1.（24-25九年级上•全国•课后作业）已知三条线段的长分别是与皿，6cm,2cm，若再添加一条线段，使

这四条线段是比例线段，则这条线段的长为.

2.（2024九年级下•上海・专题练习）已知线段a=4,b=16,如果线段c是服6的比例中项，那么c的值

是.

3.（23-24九年级上•陕西渭南•阶段练习）线段a、b、c、d是成比例线段，a=8cm，b=6cm*c=12cmJ

则d的长为cm.

题型五利用比例的性质求值

例5.（23-24九年级上.全国•课后作业）已知?=4,求出，上的值.

yyx+y

巩固训练

1.（22-23八年级上•全国・单元测试）已知：a:b:c=2:3:5.

（1）求代数式式二二”的值;

2a+3b—c

(2)如果3a—b+c=48,求〃，b,c的值.

2.⑵3九年级上•河南驻马店•阶段练习）（1）如果言=一1，求*

a-b+c—a+b+c1

（2）如果"二------=k,求女的值

a

3.（23-24九年级上.河北石家庄•期中）已知a,b,c是△ABC的三边长，且々=[=上

abc

（i）求W弛的值；

3c

（2）若△力BC的周长为81,求三边a,b,c的长.

题型六黄金分割

6

例6.（23-24九年级上.河北保定•期末）如图，已知点C,。都是线段4B的黄金分割点，如果CD=4,那么

48的长度是（）

IIII

ACDB

A.2V5-2B.6-2V5C.8+4V5D.2+V5

巩固训练

1.（2024九年级下•江苏•专题练习）宽与长之比为好匚:1的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形

2

里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.

2.（23-24七年级上•福建龙岩•开学考试）黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美

学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例.人体上半身长和下半身长

的黄金比为0.618:1,这时人的身长比例看上去更美观.乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米,

她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋.依据黄金比，这双高跟

鞋的高度合适吗？请说明理由.

3.（2024・江苏常州•模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优

选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框4BCD分为上下两部分，BE>AE.已知4B

为2米，则线段BE的长为一米.

题型七由平行截线求相关线段的长或比值

7

例7.（2024•山西朔州•三模）如图，在.-ABCD中，点E为力B的中点，点尸为4D上一点，EF与AC相交于

点、H.若FH=3,EH=6,AH=4,贝UCH的长为.

巩固训练

1.（22-23九年级上•广东深圳•阶段练习）如图，力。是AABC的中线，E是4。上一点，BE的延长线交AC于

F,AABE的面积与ADBE的面积之比是1:3,且2F=2,则FC=.

2.（2024・四川成都•一模）如图，已知△4BC为等腰三角形，且4B=AC,延长4B至Q,使得4B：BD=m：n,

连接CD,E是BC边上的中点，连接4E,并延长4E交CD与点尸，连接FB,贝悟/：FD=

3.（23-24八年级下•山东烟台・期末）如图，点£>,E,歹分别在△ABC的边上，线=；,DE||BC,EF||AB,

DU3

MN

点〃是。尸的中点，连接CM并延长交ZB于点N,求不"的值.

CM

8

题型八利用相似三角形定义求边长或角度

例8.（22-23九年级上•全国・单元测试）如图，AABCs^CBD,CD=2,AC=3,BC=4,那么4B的值

等于（）

巩固训练

1.（22-23九年级上•全国・单元测试）已知△£>£1/sAABC,且乙4=50。，ZB=40°,贝此尸的度数是（）

A.50°B.20°C.70°D.90°

2.（24-25九年级上•河南新乡•开学考试）两个相似三角形的面积比是4:9,其中一个三角形的周长为36,则

另一个三角形的周长是（）

A.54B.16或81C.54或81D.24或54

3.（22-23九年级上•云南红河・期末）如图，AABC若S-BC：S.B1cl=4：LAB=4,则&&的

长度为（）

A.1B.2C.4D.8

9

题型九证两个三角形相似

例9.（24-25九年级上•陕西西安・开学考试）如图，在△ABC中，乙4cB=90。,。为边力B上一点，且CD=CA,

过点D作。ElAB.交8c于点E.求证：4CDEFCBD.

巩固训练

1.（2022・湖南衡阳•模拟预测）如图，AABCWAEBD,连接4E、CD,且点力、E、D在同一条直线上，求

证：AABECBD.

2.（23-24九年级上•云南曲靖•阶段练习）如图，在AABC中，CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求证:

△ABD-'AACE.

3.（22-23七年级上•全国•单元测试）如图，在AaEC中，B为EC上一点、,且满足NASD=NC=NE.

10

A

D

EBC

⑴求证：4AEB〜ABCD；

(2)当AE//3D时，zC=30°,CD=10,求AD的长.

题型十利用相似三角形的判定解实际问题

例10.（23-24九年级上.河南洛阳・期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，

卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的。EF）.小南

利用“矩”可测量大树48的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，

并且边OE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m,DE=0.3根，小南的眼睛到地面的距

离DM为1.6m,测得AM=21m,求树高AB.

巩固训练

1.（22-23九年级上•河南鹤壁•开学考试）如图1,平直的公路旁有一灯杆AB,在灯光下，小丽从灯杆的底

部B处沿直线前进4nl到达。点，在。处测得自己的影长DE=1m.小丽身高CD=1.2m.

⑴求灯杆4B的长;

（2）若小丽从D处继续沿直线前进47n到达G处（如图2）,求此时小丽的影长GH的长.

11

2.（23-24九年级上•安徽六安・期末）如图，AaBC是一块锐角三角形余料，边8c=120mm,高AT>=80mm,

要把它加工成矩形零件PQMN,使一边在上，其余两个顶点分别在边AB、2C上，PQ交AD于8点.

（1）当点P恰好为4B中点时，PQ=,

（2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度.

2.（2023•江苏盐城•一模）如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度

于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，

他从点C沿BC后退,当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地

面的距离DE为1.2米;然后,苏海沿BC的延长线继续后退到点G,用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为45。，

此时，测得EG=2.1米，测倾器的高度FG=1.2米.己知点3、C、E、G在同一水平直线上，且48、DE、

FG均垂直于BG,求雕像的高度AB.

BCEG

题型十一利用相似三角形的判定解动点问题

例11.（23-24九年级上•浙江宁波・期末）如图，在矩形4BCD中，BC=5cm,AB=12cm，点「从C点出

12

发沿对角线4C以lcm/s的速度向点A作匀速运动，点。从A点出发沿4B以2,cm/s的速度向点B作匀速运动,

若假设运动时间为f,贝U当“PB=2NCBP时，f的值为（）

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽宿州・期中）如图,在矩形A8CD中，=9,=15,P,。分别是BC,CD上的点,CQ=4,

若A4BP与APCQ相似，则BP的长为（）

A.3或/B.3或12C.3、12或居D.3、12或詈

2.（24-25九年级上•陕西西安•开学考试）如图，在△ABC中，NB=90。，AB=8cm，BC=12^^点P从

点4开始沿2B向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动，如果点P,Q分别

从A3两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为t（0<tW3）秒.

（1）当t为何值时，APBQ的面积为12cm2?

（2）是否存在某一时间3使得AP8Q和A/IBC相似？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由.

3.（23-24九年级上.湖南衡阳・期末）如图，在ATIBC中，AB=6cm，BC=12cm，ZB=90°.点P从点4开

13

始沿4B边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从4、

B同时出发，设移动时间为t(s).

(1)当t=2时，求APBQ的面积；

(2)当t为多少时，APB。的面积是8cm2?

(3)当t为多少时，APBQ与△ABC是相似三角形?

题型十二利用相似三角形的判定证线段数量关系

例12.(2024九年级上•全国・专题练习)正方形ABCD中，以48为边作等边三角形4BE,连接OE交力C于尸,

交4B于G,连接BF.求证:

(l)XF+BF=EF-,

⑵亲+表=》

巩固训练

1.(24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试)在△ABC中，点。在BC边上,E是线段4。的中点，过A作4F||BC,

交线段CE的延长线于凡连接BF,且BFII4D.

14

⑴如图1,求证：BD=CD

(2)如图2,设AB、CF交于点G,H是线段BG的中点，连接若4B=4C,在不添加任何辅助线和字母

的情况下，请直接写出图中四个面积等于^AFG面积3倍的三角形.

2.(2024.安徽宣城.三模)如图1,在AABC中，点。为4C的中点，点P为射线C4上一动点(不与点C,A

重合)，分别过点A,C向直线BP作垂线，垂足分别为点E,F,连接DE,DF,ADFE=30°.

(1)当PD=P4时，CF=kAE,则k的值为

(2)当点P在4。边上时，求证：DE+AE=CF；

(3)如图2,当乙48c为钝角，且点P在C4延长线上时，猜想DE,AE,CF之间的数量关系，并证明.

3.(2024•贵州黔东南.二模)如图，已知矩形48CD中，E是4。上的一点，过点E作E7FEC交边4B于点F,

交CB的延长线于点G,且EF=EC.

(1)求证：CD=4E；

(2)若DE=4cm，矩形力BCD的周长为32cm，求CG的长.

题型十三利用相似三角形的判定求比值

例13.(23-24九年级上.上海.阶段练习)如图，过△力8c顶点C作直线与4B与及中线4。交于尸、E,过。

15

作DM||FC交力B于M.

(\)若S^AEF；S四边形MDEF=2:3,求AE：ED的值;

(2)求证：AE-FB=2AF•ED.

巩固训练

1.(2024•贵州黔南•模拟预测)已知△ABC,ABDE都是等腰直角三角形，^ABC=^DBE=90°,AB=BC,

BE=BD.

图3

【问题发现】

(1)如图1,当点B,C,E在同一条直线上时，2E与CD的数量关系是，位置关系是；

【问题探究】

(2)如图2,当点4,C,E在同一条直线上时，BE,CD交于点F,若AB=BC=&,BE=BD=3A/2,

求案的值；

BF

【拓展延伸】

(3)如图3,连接CE,AD,G是线段CE的中点，连接BG,求学的值.

AD

16

2.(23-24九年级上•四川成都•阶段练习)在Rt^aBC中,Z.BAC=90°,AC=点D是BC上任意一点,

连接2D,过2作BE1力。于点E.

(2)如图2,当。是8c中点，n=2时.求:的值;

(3)如图3,若H=32BD=3CD,求〃.

3.(2024・贵州遵义・二模)图①，在正方形2BCD中，点E是边上一4B动点，将正方形沿DE折叠，点4落在

正方形内部的点F处,连接AF并延长，交8c于点G.

图②备用图

⑴判断4E与BG的数量关系为二

(2)【应用】如图①，延长OF交BC于点

①证明：乙HFG=AFGH；

②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度;

(3)【拓展】如图②，将正方形改成矩形，其中AD=2CD,将矩形沿DE折叠，使点2落在点F处(矩形内部),

连接AF并延长，交BC于点G,延长DF交直线BC于点若HB=3a,HF=5a,直接写出工的值.

题型十四利用相似三角形的判定证等积式

17

例14.（2021.浙江杭州.模拟预测）如图，在AABC中，AB^AC,AD1BC^D,作DE1AC于E,尸是力B中

点，连EF交4。于点G.

⑴求证：AD2=AB-AE；

(2)若4B=5,AE=4,求DG的值.

巩固训练

1.（23-24九年级下.浙江温州.开学考试）如图，四边形2BC0是平行四边形，点E是B4延长线上一点，连

结DE,BD,CE,CE分另1J与AD,BD交于点F,G.

(1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长.

(2)求证：GC2=GF-GE.

2.（23-24九年级上•上海•期中）如图，在△力BC中，。是BC上的点，E是4D上一点，且

18

(1)求证:"2=BC•CD；

⑵若E是A4BC的重心,求4c2：AU的值.

3.(23-24九年级上•上海•阶段练习)如图，在菱形4BCD中，点尸在边CD上，连接题并延长，交对角线BD于

点E、BC的延长线与点G.

(1)求证：2E是EG、EF的比例中项;

(2)若BC=6,DF=4,求箓的值.

题型十五利用相似三角形的性质求线段长

例15.(2024・安徽・一模)如图，在中，ZACB=90°,AB=2,若点D为直线AC左侧一点，^i^ABC-

△C4D时，则BC+CD的最大值为()

A.|B.|C.君D.当

巩固训练

19

1.（23-24九年级上.内蒙古包头.期中）如图，在Rt"4BC纸片中，乙4c8=90。,/。=4,8。=3,RE分别

在A民AC上，连结。E,将△ZDE沿。E翻折，使点Z的对应点F落在的延长线上，若FO平分4贝加。=

()

25251520

A.B.C.D.

9877

2.（2023•福建南平・二模）在等边三角形/BC中，点D,E分别是边48,AC的中点，若△4BC的周长为12,

则△ZDE的周长为（）

A.3B.4C.6D.9

3.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在中，。为BC上一点，ZBAD=/C.

A

⑴求证：LABD-^CBA；

(2)若AB=6,BD=3,求CD的长.

题型十六利用相似三角形的性质求面积

例16.（2024.四川广元.一模）如图，在内"48。中，^ACB=90°,根据步骤作图：①分别以点A,。为圆

心，大于称AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；②作直线MN,交于点。，交4C于点E.若S-BC=9,

则S-OE=（）

20

927

A.2B.-C.3D.-

44

巩固训练

1.（2024.甘肃武威.一模）如图，在平行四边形/BCO中，如果点M为CD的中点，若已知S“MN=3,那么

S—ON等于（）

D.3

9

2.（23-24九年级上•福建漳州•期末）如图，矩形。ZBC的对角线。B与反比例函数y=—（%>0）相交于点D,

x

().

2

-1

3.（23-24九年级上.吉林长春•阶段练习）如图△4BC的两条中线A。、BE交于点。，连结M。并

延长M。交4?于点N,若SAOMD=1，则又MCN=（）

21

A

题型十七网格中的位似变换

例17.(24-25七年级上•山东临沂•开学考试)把三角形A向右平移5格，得到三角形&将三角形A按1：2

巩固训练

1.(2024・江苏无锡•模拟预测)如图，AABC在方格纸中.

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使4(2,3),C(6,2),并求出8点坐标；

(2)以原点为位。似中心，相似比为2,在第一象限内将A/IBC放大，画出放大后的图形△4'B'C'；

(3)计算△A'B'C'的面积S.

2.(23-24八年级下.江苏•期末)如下图所示，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,三角

22

形均为格点三角形（即顶点均在格点上）.

（1）如图1,△ABC绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到△A'B'C',则点P,Q,M,N四个点中为旋转中

心是点;

（2）如图2,以点。为位似中心，把△ABC按相似比2:1放大，得到（其中点A,B,C的对应点分别为

点。，E,F）.

①在图2中画出ADEF；

@ADEF的面积为.

3.（2023•安徽淮北•二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段42和格

点O（格点为网格线的交点）.

⑴以点。为位似中心，利用网格将线段AB放大2倍得到线段画出线段&Bi；

⑵以线段2/1为边画格点平行四边形

题型十八位似中心是坐标原点的位似变化

23

例18.(23-24九年级上•四川宜宾.期末)如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是4(1,-1)、

B(4,—3)、C(4,-l).

(1)画出△ABC关于无轴成轴对称的△4/16；

(2)在第一象限内，画出以点。为位似中心并扩大到原来的3倍的△儿外6；

(3)写出点4、品的坐标.

巩固训练

1.(23-24九年级上.江苏徐州•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，AaBC的顶点坐标分别为

A(-2,2),B(-4,0),C(-4,-4).

(1)在〉轴右侧，以。为位似中心，画出夕「，使它与△ABC的相似比为1:2；

(2)写出△力BC面积=_；△4B'C'面积=_.

24

2.(23-24九年级上•山东济南•期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为2(-2,4),B(4,4),

C(6,0).

(1)以原点。为位似中心，画夕。，使它与AABC的相似比为1:2,变换后点A、B的对应点分别为点4、

8',点B'在第一象限;

(2)若P(a,b)为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为

3.(24-25九年级上•山东聊城•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，△4BC的三个顶点坐标分别为力(-2,1)、

B(-3,2)、C(-l,4).

⑴以原点。为位似中心，在第二象限内画出将△2BC放大为原来的2倍后的△A/Ci.

⑵画出△ABC绕C点逆时针旋转90。后得到的4A2B2C.

题型十九位似中心不是坐标原点的位似变化

例19.(23-24九年级上•湖南郴州•期中)已知：A4BC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为4(0,3),

25

B(3,4),C(2,2).(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位).

(1)画出△A8C向下平移4个单位得到△&B1Q；

(2)以点B为位似中心，在网格中画出△/I2BC2,使AAzBCz与A4BC位似，且位似比为2:1,并写出Q点的坐

标及△4BC2的面积.

巩固训练

1.(23-24九年级上.湖南郴州•期末)将△ABC作下列变化，请画出相应的图形.

(1)向上平移4个单位；

(2)以4点为位似中心，相似比为2.

2.(23-24九年级上.湖南衡阳.期末)将图中的△4BC作下列变换，画出相应的图形:

26

（1）关于y轴对称图形；

⑵以B点为位似中心，将4A8C放大到2倍.

3.（23-24八年级下•山东淄博・期末）如图，已知点。是坐标原点，小方格的边长为1,A,B,C都在格点

上，边BC与y轴交于点M.

⑴以点M为位似中心，在无轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2）,画出对

应的（顶点用实心黑点标记一下）；

（2）直接写出四边形力B'A'C'的面积：.

题型二十利用位似图形的性质求相似比、周长或面积

27

例20.(23-24八年级下.江苏苏州•阶段练习)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示:

⑴在图中画出AABC沿x轴翻折后的AaiBiCi；

⑵以点M(l,2)为位似中心，在第一象限画出与AABiG位似的三角形A4B2c2，使△482C2与△4/IG的

相似比为2:1；

(3)点4的坐标；△ABC与△482C2的周长比是，△48C与△a2%。2的面积比是

巩固训练

1.(23-24九年级上•山东济南•期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为4(-1,2),B(-4,3),

C(-3,l).

⑴以点8为位似中心，在点2的下方画出△&BG，使△&1BQ与ANBC位似，且位似比为2:1；

⑵求四边形CCi&A的面积.

2.(23-24九年级上•陕西榆林•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，△力BC的顶点坐标分别是4(-2,2),

28

B(-2,0),C(-l,2).

⑴以原点。为位似中心，在第四象限画一个△A/iQ,使△&B1Q与AABC的相似比为2:1；点的的坐标为

(2)若44BC的周长是(3+V5)cm，则△ABiG的周长为,

3.(23-24九年级下•湖南郴州•开学考试)如图，平面直角坐标系中，A/IBC的顶点都在正方形网格的格点

上.

⑴以。点为位似中心，位似比为2,将AABC放大为△力iBiG，请在网格图中画出△4/16；

(2)若ANBC,AaiBiCi的面积为S、S],写出S,S]的数量关系.

29

第二十二章相似形知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

相似图形｛形状相同的两形

两个2度娟同,对应角码，对应边长度的比相

相似多边形等的条边形］用引以多边形

相＜以比｛相1炫边形对应边长度的比口收蜘双或相1以系数

成比例线段EE骚境豺，飕两融酸的8^另夕隔条

爱段的比，这四条残段叫成比例践段

把一■成两部分，较长统段与金盆段3g

黄金分割于场朝段与较长送级的比，西钿底段分割打

6S金分割，分割点口微这转段的黄金分割点

平行线分线段同设制｛两条族g一组平行或所前所得的对应鳏成比例

相似形Y

相/以三角形两个三角形中，对应角够，对应由成比例，I—

两个三角形相似

平行于三角形一3遁逢与另两边相交，斫截三角形

"与原三角形相似

两©曲两个以

福旺角形的判定•碗对应雌例，品超第，两个E角—以

三边对应神例，两个三角形树以

形，

两个三角形相1以

r对.役够，对£S^ttS¥«1妣

对应高的比对应中维ttS］对应角平分维

、•科旺角形的性质一妣

对应局长的厘F相似比

'对应面积的比等于相似tt的平方

30

02知识速记

一、相似图形、相似多边形、相似比

1、相似图形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.

2、相似多边形：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那

么这两个多边形叫做相似多边形.

3、相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.

二、成比例线段

1、两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度，我们把这两条线段长度

的比叫做这两条线段的比，记作?或a:b.

2、成比例线段：在四条线段a、Ac、d中，如果其中两条线段a、b的比，等于另外两条线段c、d的比，

即£=“或a：b=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.这时，线段a,b,c,d叫做组成比例的项，

线段a,d叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

3、比例中项：如果作为比例内项的两条直线是相等的，即线段a、b、c之间有a：b=b：c,那么线段b

叫做线段a、b的比例中项.

三、比例的性质

1、合比性质：如果?=。，那么看=审d#0)

bdbd

2、等比性质:如琮琮且瓦+历+…+“力o,那么4

四、黄金分割

把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金

分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值等叫做黄金数L条线段的黄金分割点有两个.

五、平行线分线段成比例

1、基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

2、基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.

31

六、相似三角形

1、相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线与另两边相交，所截三角形与原三角形相似;

(2)两组对应角相等，两个三角形相似；

(3)两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似；

(4)三边对应成比例，两个三角形相似；

(5)两直角三角形，一组斜边和一组直角边对应成比例，两个三角形相似.

2、相似三角形的性质：

(1)对应角相等，对应边的比等于相似比；

(2)对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；

(3)对应周长的比等于相似比；

(4)对应面积的比等于相似比的平方.

03题型归纳

题型一相似多边形

例1.(23-24九年级上.上海黄浦•期末)下列命题中，真命题是()

A.如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似

B.如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似

C.如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个