几何与代数综合性及易错问题（解析版）

专题20几何与代数综合性及易错问题

题型一：几何与代数综合性问题

尺规作图、利用代数方法解决图形存在性(最值、性质)问题等

题型二：易错题型

基于分类讨论的题型.

典例剖析

【例1】(2019•洛阳二模)如图，直线尸-，+4与x轴、y轴的交点为N,B.按以下步骤作图：

①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB,x轴于点C,D；

②分别以点C,D为圆心，大于;C£)的长为半径作弧，两弧在NO42内交于点③作射线

交y轴于点£.则点E的坐标为

【答案】(0,-).

2

【解析】解：过点E作EFLAB于F,如图所示,

4

在y=-Ir+4中，当x=0时，y=4；当尸0时，x=3,

即N(3,0),B(0,4),

在4A4O3中，由勾股定理得：48=5,

由题意的尺规作图方法可知，为N8cM的平分线,

:・EO=EF,

•••△OAE二4FAE,

.Q=Z/=3,

：,BF=AB—AF=2,

OE=x,贝！W=x,BE=4—x,

在RtABEF中,由勾股定理得：

（4—x）2=x2+22,

解得：%=-,即

22

・•・答案为：（0,-）.

2

【变式1-1］（2019・偃师一模）如图，点/（0,2）,在x轴上取一点B,连接AB,以A为圆心，任意

长为半径画弧，分别交。4,AB于点M,N,再以M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于

2

点。，连接AD并延长交x轴于点P.若△OPN与△0/8相似，则点P的坐标为

yk

A0

------&Z）、

MK

OPBX

【答案】（空,0）.

3

【解析】解：由题意知，4尸为NQ45的平分线，

・•・乙OAP=^BAP,

•・•△（?尸/与△。45相似，

工乙0PA=^0AB=2乙OAP,

・•"/尸=30。，

•Q=2,

.'.OP=OAtan30°=-^—,

3

即尸点坐标为（述，0）.

3

【变式1-2］（2018•河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知直线尸Ax（左＞0）分别

19=1的图象于

交反比例函数丁=—和歹=—在第一象限的图象于点4,B,过点8作轴于点Z）,

xxx

点C,连接4c若△45C是等腰三角形，则左的值是.

y=->得:

X

x=,y=y[k,即A(—j=,4k),

同理，得点2的坐标为（9,3五）,

'-'BDLx轴,

・•.C点坐标为（—（=,——）,

4k3

.-.BC=34k-—，8c的中点的纵坐标为逑一巫力盛,

326

・••/不在3c的垂直平分线上，即N2"C，

（1）当时，

即ABFC2,

+1+呼网寸而用，

解得：仁3s或q_3近（舍）；

77

（2）当/C=BC时，

即AC^BC2,

解得：仁,或仁一手（舍）；

.,；,3A/7_p,y/15

故/答(A案为s：或工一.

75

[例2]Q019•偃师一模)当-2力口时，二次函数产-O⑼2+/+1有最大值%则实数加的值为

【答案】一g或2.

【解析】解：①当・23生1时，X=冽时，》=4,即加2+1=%

解得：m=V3(舍)或m=—6，

②当m<~2时，

x=-2时，y=4,BP-(-2-m)2+m2+1=4,

7

解得：m=——(舍)；

4

③当m>l时，

x=l时，尸4,

即-(1-m)2+m2+1=4,

解得：m=2,

综上所述，"的值为一百或2.

【变式2-1](2019•洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1,2,3,4,背面朝上，先从中抽

取一张把抽到的点数记为a,再在剩余的扑克中抽取一张点数记为b,则点(a,6)在直线y=x+l上方的概

率是________

【答案】

4

【解析】解：抽到的点数有序数对为：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(32)，(3,4),(4,1),(

4,2),(4,3),共12中可能，

31

只有(12),(2,3),(3,4)三个点在直线y=x+l上，即点(a,6)在直线y=x+l上方的概率是五=彳，

故答案为：

4

【变式2-2](2018•信阳一模)如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球

在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为尸2,则()

挺身

（甲）（乙）

A.P1>AB.尸1<尸2c.Pi=P2D.以上都有可能

【答案】A.

【解析】解：由图甲可知，黑色方砖6块，共有16块方砖,

••.在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为A=—=-,

168

由图乙可知，黑色方褥3块，共有9块方砖，

31

••.在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为尸2=3=1，

••鸟〉尸2：

故答案为：A.

压轴精练

1.（2018•焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形的点8坐标（3,3）,点/、C分别在y轴、

x轴上，对角线/C上一动点E,连接8E,过£作DE18E交。。于点。.若点。坐标为（2,0）,则点£

坐标为___________

【答案】（1,2）.

【解析】解：过点£作EZ/1OC于〃，延长"E交N8于R连接OE,

•••四边形NBCO是正方形,

：.ABWC,£.OAB=Z.AOC=9Q°,Z.OAC=^BAC=£,OCA=45°,OA\\BC,

.'-FH\\OA,

^/-HEC=Z.OAC=Z-OCA=45°,乙BFH="AB=90。,^DHE=Z.AOC=90°,

：,EH=CH=BF,Z-EBF=/-DEH,

••△BEF三AEDH,

••BE=DE,

•.•点。坐标为（2,0）,即OD=2,

由正方形性质得：OE=BE=DE,

■■FHLOC,

■■■OH=DH=-OD=l,

2

■■.EF=DH=\,

■：FH=OA=3,

：.EH=2,

.,.点E的坐标为（1,2）,

••.答案为：（1,2）.

2.（2018•焦作一模）如图1,在等边A48C中，点。，£分别在边AC±,AD=AE,连接BE,

CD,点、M、N、P分别是BE、CD、2C的中点.

（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；

（2）探究证明：把△/£>£绕点/逆时针方向旋转到图2的位置，△尸儿W的形状是否发生改变？并说明

理由；

（3）拓展延伸：把AIDE绕点/在平面内自由旋转，若4D=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最

大值.

【答案】（1）等边三角形；（2）（3）见解析.

【解析】解：(1)•.・A4BC为等边三角形,

：.AB=AC,AABC=^ACB=60°,

•：AD=4E,

；,BD=CE,

・・,点M、N、P分别是BE、CD、8c的中点，

.*.PM||C£,PM=-CE,?NII4O,PN=-BD,

22

：,PM=PN,Z-BPM=Z-BCA=60°,乙CPN=cCBA=6。。,

・・・ZA//W=6O。，

.・.△尸MN为等边三角形；

答案为等边三角形；

(2)的形状不发生改变，理由如下：

连接CE、BD,

-AB=AC,AE=AD,乙BAC=^DAE=60。,

由旋转性质得：BD=CE,/-ABD=Z.ACE,

•・•点M、N、P分别是BE、CD、5C的中点,

.-.PMIICE,PM=-CE,PNWAD,PN=-BD,

22

:・PM=PN,(BPM=LBCE,乙CPN=£CBD,

(CPN=/LBCE+乙CBD

=/.BCA+Z-ACE+Z.CBD

=(BCA+UBD+(CBD

=^LBCA+/-ABC

=120°,

为等边三角形.

（3）■■PN=-BD,

2

二当BD的值最大时，PN的值最大，

当/、B、O共线时且/在8、。之间时，8。取最大值，

此时BD=l+3=4,

..PN的最大值为2,

即△PAW的周长的最大值为6.

3.（2019•三门峡二模）如图，正方形/BCD的对称中心在坐标原点，NBIIx轴，AD,3c分别与x轴交

于E,F,连接BE,DF,若正方形N8CD的顶点8,。在双曲线夕=色上，实数。满足。〜=1,则四边形

DEBF的面积是（）

13

A.-B.-C.1D.2

22

【答案】D.

【解析】解：••・实数。满足。〜=1,

又・・,a>0,

•••4=1,

・正方形/3C。的顶点8,。在夕=3上，

X

•••S矩形BGOF=1，

•・•正方形45CZ）的对称中心在坐标原点，

•'S平行四边形DEBF-S矩形ABFEF-2s矩形BGOF-2*1—2?

故答案为：D.

4.（2019•省实验一模）如图，在A48C中，按以下步骤作图：①分别以点8,C为圆心，以大于

的长为半径作弧，两弧相交于两点“，N；②作直线交于点。，连接8.如果CD=/C,UCB=

105°,那么A8的度数为（）

A.20。B.25°C.30°D.35°

【答案】B.

【解析】解：由尺规作图可得：垂直平分BC,

:.DC=BD,

••・乙DCB=(DBC,

-DC=AC,

乙4=4JDA,

设乙8为x,则48c7)=x,AA=^CDA=2xf

.-.x+2x+105o=180°,

解得：x=25,

即必=25。,

故答案为：B.

5.(2019•省实验一模)如图，点/(m,5),B(«,2)是抛物线。：y=-2x+3上的两点，将抛

物线G向左平移，得到抛物线。2,点4,3的对应点分别为点H,B'.若曲线段扫过的面积为9(图中

£

(x-2)2+4

2

y=-(x+2)2-2

-2

【答案】C.

【解析】解：可=」N-2X+3

-2

=-(X-2)2+1,

2

•••阴影部分的面积为9,ACm,5),B(n,2),

；.3BB'=9,

:.BB'=3,

即将G沿x轴向左平移3个单位长度得到C2的图象，

二。2的函数表达式是y=；(x+1)2+l.

答案为：C.

6.(2019•省实验一模)如图，网格线的交点称为格点.双曲线＞=勺与直线在第二象限交于格

X

点4.

(1)填空：用=，k2=；

(2)双曲线与直线的另一个交点5的坐标为；

(3)在图中仅用直尺、25铅笔画A45C,使其面积为2|利，其中点。为格点.

【答案】(1)-2；-2；(2)(1,-2)；(3)见解析.

【解析】解：(1)由图可得：4(-1,2),

将点/(-1,2)分别代入双曲线》=左和直线了=后x，

可得：k、=-2,k2=-2,

(2)由对称性可知，两函数图象的另一个交点与4(-1,2)关于坐标原点对称,

.*.5(1,-2)；

(3)•%=-2,

.,.2面|=4,

.•・满足条件的点C有四个，如图所示.

7.（2019•叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点/顺时针旋转90。后得到矩形/ME尸

（如图1）,连接8。，MF,若BD=16cm,UDB=30°.

（1）如图1,试探究线段8。与线段九田的数量关系和位置关系，并说明理由;

（2）把△3CD与△〃防剪去，将A4AD绕点/顺时针旋转得八431。1，边交句必于点K（如图

2）,设旋转角为/（0。<£<90。），当A4FK为等腰三角形时，求£的度数;

（3）若将△/松沿48方向平移得到412尸2峪（如图3）,F2M2与AD交于点P,A2M2与BD交于点

N,当NPII4B时，求平移的距离.

图1图2图3

【答案】见解析.

【解析】解：（1）结论：BD=MF,BDLMF.理由：

延长尸川交8。于点N,

C»■...-»0

由题意得：4BAD三4MAF.

：.BD=MF,ZADB=^AFM.

•:乙DMN=，4MF,

:・UDBMDMN=&FM+UMF=90°,

："NM=90。,

:.BD1MF.

(2)由题意知，乙KAF<90。,

①当Z尸=4K时，乙4KF=CF=3。。,

此时的尸=120。，不符题意，此种情况不存在；

②当4K=FK时，Z.KAF=AF=30°,

贝此5/囱=180。-乙B[AD-zAL4F=180°-90°-30°=60°,

即尸=60。；

③当时，Z-FAK=15°,

・・28/囱=90。-Z.FAK=15°,

即夕=15。；

综上所述，P的度数为60。或15°；

(3)由题意得四边形尸乂42%是矩形，

设A2A=PN=x,

在RtAA2M2F2中，F2Mz=FM—16,Z-F=Z^ADB=30°,

丁•/2〃2=8,42/2=8A/S,

；.AF2=86-x.

同理，AP=8-—X,

3

：.PD=AD-AP=&C-8+—x.

3

•••APIIZB,

PNDP

,,—,

ABAD

873-8+—x

____3_

丁一薄一，

解得x=12-4百，

・・・平移距离为：12-4g.

3

8.（2019・濮阳二模）若函数y=（冽-1），-6x+—冽的图象与％轴有且只有一个交点，则机的值为

2

)

A.一2或3B.一2或一3C・1或-2或3O.1或一2或-3

【答案】C.

【解析】解：（1）当加=1时，函数解析式为：歹=-6%+士，是一次函数，图象与x轴有且只有一个交

2

点，

（2）当加内时，函数为二次函数，

3

A62-4x（m-1）x—加=0,

2

解得：m=-2或3,

故答案为：C.

9.（2019・濮阳二模）如图，点/在双曲线尸勺（x>0）上，过点/作轴，垂足为点3,分别以

X

点。和点/为圆心，大于工。/的长为半径作弧，两弧相交于D,£两点，作直线。£交工轴于点C,交y

2

轴于点尸（0,2）,连接NC.若NC=1,则左的值为（）

【答案】B.

【解析】解：设。4交C尸于K.

由作图方法可知，CF垂直平分线段。4,

■■.OC=CA=1,OK=AK,

在耳△。尸。中，由勾股定理得：CF=45,

2-75

由三角形的面积知：AK=OK=—^~

5

由△FOCsaoB/,可得:OFOCCF

t2_1_V5

OB~AB~475'

5

84

：.OB=-,AB=~,

55

即/d8,-4),

55

32

••k-------.

25

•••答案为:B.

10.（2019•商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形O/2C绕原点。逆时针旋转30。后得到矩形

OA'B'C',AE与BC交于点、M,延长2C交夕。于N,若/（G,0）,C（0,1）,则点N的坐标为（）

B.(2—51)C.(V3-2,1)D.(1—V3,1)

【答案】B.

【解析】解：连接ON,取乙ONE=EOC,

由旋转性质得：CO=C。，ZCOC=30°

•・・CO=CO,NO=NO

.-.RtACON=RtACONQHL）

・・2NOC=ZM9c=15。

：^ONE=Z-NOC=\50

；/NEC=3U。,NE=EO

-.WC10C,苗EO=30。

■■.NC=-NE,CE=A/3NC

2

•:CE+OE=1

­.2NC+y/3NC=l

■■.NC=2-73

即点N坐标（2-6,1）

所以答案为：B.

11.（2019•开封模拟）如图所示，在正方形/BCD中，G为CD边中点，连接NG并延长交8c边的延

长线于£点，对角线AD交/G于尸点.已知/G=2,则线段/E的长度为.

【答案】12.

【解析】解：:四边形Z5CO为正方形,

：.AB=CD,AB//CD,

...NABF=ZGDF,NBAF=NDGF,

：.△ABFsi\GDF,

.AF_AB__

••-L,

GFDG

・・・AF=2G尸=4,

：.AG=6.

由题意得：CG为AE4g的中位线，

：.AE=2AG=12.

所以答案为：12.

12.（2019•新乡一模）如图，在△ZBC中，AD平分NBAC,按如下步骤作图①分别以点4、。为圆心，

以大于工4。的长为半径在两侧作弧，交于两点〃、N；②连接"N分别交/8、4C于点£、F；③连接

2

【答案】D.

【解析】解：由作图方法可知：“N是线段的垂直平分线,

：.AE=DE,AF=DF,

：./EAD=/EDA,

・・2。平分NA4C,

ZBAD=ZCAD,

：.ZEDA=ZCAD,

：.DE//AC,

同理，DF//AE,

・•・四边形4mb是菱形，

；・AE=DE=DF=AF,

9：AF=4,

AE—DE—DF=AF=4,

DV\BE

由。E〃4C,得：一

CD~AE

■:BD=6,4£=4,CD=3,

；・BE=8,

故答案为：D.

13.（2017•西华县一模）如图，在△ZBC中，AB=AC,N4=36。，且BC=2,贝！

【答案】V5+1.

【解析】解：作的平分线交4C于。,

NABC=/C=720,

：./ABD=/CBD=36°,

：・DA=DB,

：.ZBDC=ZA+ZABD=72°,

:・BD=BC=2,

：・AD=BC=2,

■:/CBD=NA,/BCD=/ACB,

：.ABCDsAABC,

：.BC：AC=CD：BC,

:・BO=AC・CD,

即：2?=/C«C-2）,

解得：/C=l+/或NC=1—石（舍）

即48=1+6

14.（2019•省实验一模）如图，点/（加，5）,B（n,2）是抛物线G：y=；x2-2x+3上的两点，将

抛物线。向左平移，得到抛物线C2,点/,3的对应点分别为点4,B'.若曲线段扫过的面积为9（图

中的阴影部分），则抛物线。2的解析式是（）

(%-2)2+4

(x+2)2-2

【答案】C.

【解析】解：y=-x2-2x+3

-2

=—(X-2)2+1,

2

:曲线段N8扫过的面积为9,A（m,5）,（n,2）

四边形夕⑷为平行四边形，且2戌边上的高为3,

即3BB'=9,

：.BB'=3,

新函数图象是将函数y=gG-2）2+1的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到，

，新图象的函数表达式是夕=；（x+1）2+l.

故答案为：C.

15.（2019•郑州联考）如图，在△48C中，ZACB=90°,分别以点/和点C为圆心，以大于工/C

2

的长为半径作弧，两弧相交于点〃和点N,作直线交于点。，交4c于点E,连接CD.若/2=

34°,则NADC的度数是（）

A.68°B.112°C.124°D.146°

【答案】B.

【解析】解：VZ^CS=90°,48=34°,

；.//=56°,

由作图方法可知：是/C的垂直平分线，

：.AD=CD,

：.ZDCA=ZA=56°,

/.ZBCZ）=90°-56°=34°,

：.ZBDC=180°-34°-34°=112°,

故答案为：B.

16.（2019•关B州联考）如图，在口48。。中，E、尸分别是/8、边上的点，//与相交于点P,

22

8尸与CE相交于点。，若SMPD=16cm2,SABQC^5cm,则图中阴影部分的面积为cm.

【答案】41.

【解析】解：连接口,

V四边形ABCD是平行四边形,

：.AB//CD,

，^/\EFQ—、/\BCQ，

，、AEFP一、丛ADP，

'•^I\APD=^6cm2,S^BQC=25cm2,

",'S四边彩E?F2=41C”?2,

故答案为：41.

17.(2019•安阳二模)如图，在△48C中，ZC=50°,ZB=35a,分别以点1,8为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交BC于点、D,连接/£>.则/LUC的度数为()

【答案】C.

【解析】解：在△/BC中，NB=35°,NC=50°,

AZ5T4C=180°-ZB-ZC=95°,

由作图可知MN为48的垂直平分线，

:.DA=DB,

:./DAB=NB=35°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=60°,

故答案为：C.

18.(2019•枫杨外国语三模)如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为0(0,0),A(0,3),

8(4,0),按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分