福建省漳州市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷+(解析版)

2020-2021学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则集合A∩B的子集个数是（）A．2 B．4 C．8 D．162．已知角α的终边上有一点P的坐标是（3，4），则的值为（）A． B． C． D．3．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．函数f（x）＝log2x+x﹣8的零点所在的区间为（）A．（3，4） B．（4，5） C．（5，6） D．（6，7）5．若正数x，y满足，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．7．已知，，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．或28．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）＝1，对于∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有＞2，则不等式f（log2x）+1＜log2x2的解集为（）A．（﹣∞，2） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．已知a，b，c∈R且a＞b＞c＞0，则下列结论正确的是（）A．2a＞b+c B．a（c﹣b）＞b（c﹣b） C． D．b﹣c＞a﹣c10．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a，若对于区间[﹣1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围可以是（）A．（﹣∞，0] B．[0，3] C．[﹣1，2] D．[3，+∞）11．下列说法正确的是（）A．∃x∈R，使得2x≤0 B．命题“∀x∈R，sinx+1＞0”的否定是“∃x∈R，sinx+1≤0” C．“x＞1”的一个充分不必要条件是“x＞0” D．若m＞0，n＞0，则“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要不充分条件12．已知函数f（x）＝sinx+cosx，g（x）＝sinx•cosx，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于点对称 B．函数y＝|g（x）|的最小正周期是 C．函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在区间上单调递减 D．把函数y＝f（2x）图象上所有的点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y＝g（x）图象的对称轴完全相同三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）的图象经过点，则＝．14．函数的单调递增区间为．15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．如图所示，弧田是由圆弧和其对弦AB围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦AB的长是，则弧田的弧长为；弧田的面积是．16．已知函数，若方程f（4sinx﹣1）＝a在（0，π）上有8个实数根，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合，．（1）若集合C＝{x|x≤a}满足A∩C＝A，求实数a的取值范围；（2）若集合D＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合D．18．已知函数的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且____．在①函数为偶函数；②；③∀x∈R，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．19．已知函数f（x）＝4x2﹣ax+1．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为0，求实数a的值．20．如图，在扇形OMN中，半径OM＝10，圆心角，D是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S．（1）用含θ的式子表示线段DC，OB的长；（2）求S的最大值．21．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x+10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？22．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝log3．（1）求的值；（2）试求出函数g（x）的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明．）（3）若函数F（x）＝f（2x）﹣3f（x），且对∀x1∈[0，1]，∀x2∈[﹣，]，都有F（x1）＞g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则集合A∩B的子集个数是（）A．2 B．4 C．8 D．16解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，∴它的子集个数为22＝4．故选：B．2．已知角α的终边上有一点P的坐标是（3，4），则的值为（）A． B． C． D．解：依题有|OP|＝，∴，∴，故选：D．3．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选：D．4．函数f（x）＝log2x+x﹣8的零点所在的区间为（）A．（3，4） B．（4，5） C．（5，6） D．（6，7）解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（5）＝log25﹣3＜0，f（6）＝log26﹣2＞0，∴f（5）⋅f（6）＜0，所以函数f（x）的零点在区间（5，6）内．故选：C．5．若正数x，y满足，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8解：∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴．故选：D．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．解：f（x）的定义域为{x|x≠±1，且x≠0}，且，∴f（x）为奇函数，排除选项D；由f（e）＞0，，排除B，C选项，故选：A．7．已知，，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．或2解：∵，∴，∴，∴，∴＝．故选：C．8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）＝1，对于∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有＞2，则不等式f（log2x）+1＜log2x2的解集为（）A．（﹣∞，2） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）解：根据题意，设函数F（x）＝f（x）﹣2x，对于∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有＞2，即﹣2＝＝＞0，则有F（x1）﹣F（x2）＜0，即函数F（x）＝f（x）﹣2x在R上是增函数．又f（1）＝1，则F（1）＝f（1）﹣2×1＝﹣1，不等式，可化为f（log2x）﹣2log2x＜﹣1，即F（log2x）＜F（1），则有log2x＜1，解可得0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2）．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．已知a，b，c∈R且a＞b＞c＞0，则下列结论正确的是（）A．2a＞b+c B．a（c﹣b）＞b（c﹣b） C． D．b﹣c＞a﹣c解：由a＞b＞c＞0，得a＞b，a＞c，∴2a＞b+c，故选项A正确；由a＞b＞c＞0，得a＞b，c﹣b＜0，∴a（c﹣b）＜b（c﹣b），故选项B错误；由b＞c＞0，得，故选项C正确；由a＞b＞c＞0得：0＜b﹣c＜a﹣c，故选项D错误．故选：AC．10．已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a，若对于区间[﹣1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围可以是（）A．（﹣∞，0] B．[0，3] C．[﹣1，2] D．[3，+∞）解：二次函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+a图象的对称轴为直线x＝a﹣1，∵任意x1，x2∈[﹣1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即f（x）在区间[﹣1，2]上是单调函数，∴a﹣1≤﹣1或a﹣1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[3，+∞）．故选：AD．11．下列说法正确的是（）A．∃x∈R，使得2x≤0 B．命题“∀x∈R，sinx+1＞0”的否定是“∃x∈R，sinx+1≤0” C．“x＞1”的一个充分不必要条件是“x＞0” D．若m＞0，n＞0，则“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要不充分条件解：对于A，∵2x＞0恒成立，所以A错；对于B，命题“∀x∈R，sinx+1＞0”的否定是“∃x∈R，sinx+1≤0”，所以B对；对于C，∵x＞1⇒x＞0，反之不成立，所以C错；对于D，若|lgm|＝|lgn|，则lgm＝lgn或lgm＝﹣lgn，那么或lg（mn）＝0，也即或mn＝1，∴“|lgm|＝|lgn|”不是“mn＝1”充分条件；若mn＝1⇒lgm+lgn＝0⇒|lgm|＝|lgn|，所以“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要条件；从而“|lgm|＝|lgn|”是“mn＝1”的必要不充分条件，所以D对．故选：BD．12．已知函数f（x）＝sinx+cosx，g（x）＝sinx•cosx，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于点对称 B．函数y＝|g（x）|的最小正周期是 C．函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在区间上单调递减 D．把函数y＝f（2x）图象上所有的点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y＝g（x）图象的对称轴完全相同解：对于A，的图象不关于点对称，所以A错；对于B，，∴的周期，所以B对；对于C，令t＝f（x），则，∴，又∵在上单调递增，且当即时，，而关于t在单调递减，∴函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在上单调递减，所以C对；对于D，的图象向右平移个单位长度后得到函数，其图象的对称轴与函数g（x）的图象的对称轴完全相同，所以D对．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）的图象经过点，则＝．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R其图象过点，所以＝4，解得α＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；所以＝＝．故答案为：．14．函数的单调递增区间为（0，+∞）．解：函数的单调递增区间，即y＝1﹣x2的减区间，再根据二次函数的性质可得y＝1﹣x2的减区间为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．如图所示，弧田是由圆弧和其对弦AB围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦AB的长是，则弧田的弧长为4π；弧田的面积是．解：设AB的中点为C，∵弧田所在圆的半径为6，弦AB的长是，∴AC＝3，OA＝6，则sin∠AOC＝＝，则∠AOC＝，则∠AOB＝，则弧长l＝×6＝4π，△AOB的面积S＝×6×6×sin＝9，扇形的面积为×4π×6＝12π，则弧田的面积是，故答案为：4π，．16．已知函数，若方程f（4sinx﹣1）＝a在（0，π）上有8个实数根，则实数a的取值范围是．解：函数，当x＜0时，f（x）＝1﹣2x，当0≤x＜1时，f（x）＝2x﹣1，作出函数f（x）的图像如图所示：令t＝4sinx﹣1，x∈（0，π），作出图像如下：①当a＞1时，f（t）＝a无解，即f（4sinx﹣1）＝a无解，②当a＝1时，f（t）＝a的解为t＝2，即4sinx﹣1＝2，sinx＝有两个解，不合题意，③当a＜0时，f（t）＝a的解t0＞3，即4sinx﹣1＞3无解，④当0＜a＜1时，f（t）＝a的解有3个，不妨设t1＜0，0＜t2＜1，1＜t3＜2，2＜t3＜3，t2＝4sinx﹣1有两个解，t3＝4sinx﹣1有两个解，t4＝4sinx﹣1有两个解，若方程f（4sinx﹣1）＝a在（0，π）上有8个实数根，则t1＝4sinx﹣1应该有两个解，所以﹣1＜t1＜0，所以0＜f（t1）＜f（﹣1），即0＜f（t1）＜，综上，0＜a＜．所以a的取值范围为（0，）．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合，．（1）若集合C＝{x|x≤a}满足A∩C＝A，求实数a的取值范围；（2）若集合D＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合D．解：集合＝{x|1＜x≤4}，＝{x|2＜x＜8}．（1）∵集合C＝{x|x≤a}满足A∩C＝A，∴A⊆C，∴a≥4，∴实数a的取值范围是[4，+∞）；（2）∵A∩B＝{x|2＜x≤4}，A∪B＝{x|1＜x＜8}，集合D＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，∴集合D＝{x|1＜x≤2或4＜x＜8}．18．已知函数的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且____．在①函数为偶函数；②；③∀x∈R，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．解：（1）函数的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，即周期T＝2π，即＝2π，得ω＝1，则f（x）＝2sin（x+φ）．若选①函数为偶函数，则＝2sin（x++φ）是偶函数，则+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜，∴k＝0时，φ＝，则f（x）＝2sin（x+）．若选②，则f（x）＝2sin（+φ）＝，即sin（+φ）＝，∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，则φ+＝，即φ＝，则则f（x）＝2sin（x+）．若选③∀x∈R，，当x＝时，函数f（x）取得最大值，即+φ＝2kπ+，k∈Z，得φ＝2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜，∴k＝0时，φ＝，则f（x）＝2sin（x+）．综上函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．（2）当x∈[0，π]时，x+∈[，]，则当x+∈[，]时，函数f（x）为增函数，此时由≤x+≤，得0≤x≤，即f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]．19．已知函数f（x）＝4x2﹣ax+1．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为0，求实数a的值．解：（1）函数f（x）＝4x2﹣ax+1在区间（0，1）上有两个相异的零点，则，解得4＜a＜5．故实数a的取值范围是（4，5）；（2）f（x）＝4x2﹣ax+1＝．①当＜﹣1，即a＜﹣8时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，f（x）min＝f（﹣1）＝5+a＝0，解得a＝﹣5（舍去）；②当﹣1≤≤1时，即﹣8≤a≤8时，＝0，解得a＝±4；③当＞1，即a＞8时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，f（x）min＝f（1）＝5﹣a＝0，解得a＝5（舍去）．综上所述，实数a的值为±4．20．如图，在扇形OMN中，半径OM＝10，圆心角，D是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S．（1）用含θ的式子表示线段DC，OB的长；（2）求S的最大值．解：（1）在Rt△ODC中，|OD|＝|OM|＝10，∠DON＝θ，∴|DC|＝10sinθ，在Rt△OAB中，tan＝，从而|OB|＝sinθ；（2）在Rt△ODC中，|OC|＝10cosθ，从而S＝|BC|×|CD|＝（10cosθ﹣sinθ）10sinθ＝（0＜θ＜），令y＝cosθsinθ﹣＝＝＝，∵0＜θ＜，∴＜2θ＜，当2θ＝，即时，y取最大值为．∴S的最大值为100﹣．21．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x+10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f（x）（单位：元）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）由已知f（x）＝10W（x）﹣（