人教版2024-2025学年九年级数学上册第一学月练习题（解析版）

九年级上学期第一学月练习题

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.方程2Y-6x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.6,2,5B.2,-6,5C.2,-6,-5D.-2,6,5

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行解答即可.

【详解】将2%2—6x=5化为一般式为2*一6x-5=0，

二次项系数为：2；一次项系数为：-6；常数项为：-5；

故选：C

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的各个项系数的辨别，将方程化为一般式是解题的关键.

2.已知抛物线丁=f+2》经过点（-4,弘），（1,%），则%与巴的大小关系为（）

A.必=为B.%<%c.%>y2D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】代入（T，K）、（1,%）两个点横坐标，求出为和为，比较即可.

【详解】当％=-4时，%=16—8=8,

当々=1时，%=1+2=3,

%〉为，

故选：C.

【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.关于x的一元二次方程（加―3）d—4x+M—9=0的一个根为0,则加的值为（）

A.-3B.±3C.3D.0

【答案】A

【解析】

【分析】把x=0代入方程，解得加的值，注意方程中二次项系数不为。的情况，即可解答.

【详解】解：把x=0代入（加一3）/—4x+n?—9=0,

可得：m2—9=0f

解得加=±3,

当机=3时，加一3二0,

此时方程不为一元二次方程，与题意不符，

故加二一3,

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知上述概念是解题的关键.

4.将二次函数y=(x-1)2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析

式是()

A.y=(x—2)~+2B.y=(龙—2)—2

C.y-x2+2D.y=x2-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可.

【详解】解：将二次函数y=(无-1)2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函

数解析式是y=(尤-1+1尸+2,BPy=x2+2.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是

解题的关键.

5.用因式分解法解一元二次方程3x(九—1)=2%—2,因式分解后，结果正确的是()

A.(x—l)(3x+2)=0B,(x—l)(3x—2)=0

C.3x(x-2)-0D,3x(x+2)=0

【答案】B

【解析】

【分析】将方程右边第二项提取2变形后，移项、提取公因式化为积的形式，即可得到结果.

【详解】解：方程3x(%—1)=2%—2,

变形得：3x(x-l)=2(x-l),

移项得3x(%—1)—2(x—1)=0,

分解因式得：(％-1)(3%—2)=0,

故选：B.

【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键.

6.定义新运算％※6”：对于任意实数。、b,都有(a+b)(a-b)-1,例4X2=(4+2)(4-2)

-1=12-1=11.则方程的根的情况为()

A.无实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.只有一个实数根

【答案】C

【解析】

【分析】利用新定义得至lj(x+l)(x-1)-l=x,再把方程化为一般形式后利用/>0可判断方程根的情况.

【详解】解：由新定义得(x+l)(x-1)-1=尤，

整理得N-x-2=0,

•//=(-1尸-4x1x(-2)=9>0,

.♦.方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点睛】本题考查了根的判别式.对于一元二次方程依2+灰+c=()(aw())的根与A=Z72-4ac有如下

关系：当/>0时，方程有两个不相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方

程没有实数根.

7.某次聚会，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，有人统计一共握了10次手.求这次聚会的人数是

多少？设这次聚会共有x人，可列出的方程为()

A.x(x+l)=10B.x(x-l)=10C.2Mx-1)=1。D.—x(x-l)=10

【答案】D

【解析】

【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为gX聚会人

数X(聚会人数-1)=总握手次数，把相关数值代入即可.

【详解】解：设参加这次聚会的同学共有X人，

由题意得：—x(x—1)=10,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确的

列出方程是解决问题的关键.

8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

X.・・-2013・・・

y.・・6-4-6-4・・・

下列各选项中，正确的是

A.这个函数图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当1>1时，y的值随尤值的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可

判断.

【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,

4〃一2Z?+c=6a=l

依题意得：《c=-4,解得：,b=—3.

a+b+c=-6c=-4

，二次函数的解析式为丁=必—3x—4=[x—I）—

<a=1>0,

・•・这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；

一=人2-4ac=（_3『一4x1义（T）=25>0,

/.这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；

325

.••当x=一时，这个函数有最小值——<-6,故C选项符合题意；

24

,25

:这个函数的图象的顶点坐标为弓，——），

24

3

...当x〉5时，y的值随尤值的增大而增大，故。选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解

答是解题关键.

9.在同一平面直角坐标系中，二次函数丁=。必与一次函数y=法+。的图象如图所示，则二次函数

y=奴2+。》+。的图象可能是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数丁=。代与一次函数，=法+。的图象可知a>0,b>0,c<0,从而判断出二

次函数y-ax~+6x+c的图象.

【详解】解：•二次函数丁=。好的图象开口向上,

二・。〉0,

・・•次函数丁=法+。的图象经过一、三、四象限，

Z?>0,cv0,

对于二次函数y=ax2+/zx+c的图象，

•・・〃〉。，开口向上，排除A、5选项;

;。〉0,b>0,

b

二・对称轴x—........<0,

2a

...£)选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的

象限，找出a>0,b>0,c<0是解题的关键.

10.如图，在等腰VA3C中，?B90?,AB=BC=8cm,动点P从点A出发沿A5向点2移动，作

PQ//AC,PR//BC,当，PQCH的面积为VA3C面积的一半时，点P移动的路程为()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【解析】

【分析】设AP=:vcm,则PB=(8-x)cm,求出NA=45。，ZAPR=90°,得到PR=fi4=xcm,然后根据

口PQCR的面积为AABC面积的一半列方程求解即可.

【详解】解：设AP=xcm,则(8-x)cm,

"8=90°,AB=BC=Scm,

：.ZA=45°,

'：PR//BC,

：./APR=90°,

^.PR=PA=xcm,

•:口PQCR的面积为ZkABC面积的一半，

解得：X]=々=4,

.•.点P移动的路程为4cm.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解

题的关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.抛物线y=3（x—1尸+8的顶点坐标为.

【答案】（1,8）

【解析】

【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解.

【详解】解：由二次函数性质可知，y=a（x—〃）2+左的顶点坐标为（〃，k）

y=3（x—1y+8的顶点坐标为（1,8）

故答案为：（1,8）

【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标.

12.己知点尸（%都在抛物线>=必一4尤+4上，若药+々=4,则为为•（填

“>”、或"="）

【答案】=

【解析】

【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴和开口方向，再根据点P、Q的横坐标的大小即可

判断出yi与y2的大小关系.

【详解】解：•••二次函数y=4x+4的图象的对称轴是直线x=-9=2,开口向上，

...在对称轴的左侧y随x的增大而减小，

•.•点是二次函数丁=必—4x+4的图象上两点，

且石+%=4,

/和％到2的距离相等，

•*.yi=y2.

故答案为：=.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质

以及点的坐标特征是本题的关键.

13.若方程（4+4），-14一31+8=0是关于％的一元二次方程，则。的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据一元二次方程的概念，最高项系数为2,二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值.

【详解】解：,••方程(a+4)j/T4—3x+8=0是关于尤的一元二次方程，

cr—14=2,且a+4/O,

a-4->

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次

数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零.

14.若将一根长为8根的绳子围成一个面积为3加2的矩形，则该矩形的长为m.

【答案】3或1

【解析】

【详解】设该矩形的长为xm,则宽为(4-x)m,由题意，得

x(8+2-x)=3,

解得:石=3,无2=1.

答:矩形的长为3或1.

【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的而运用，矩形的面积公式的

运用，解答时根据矩形的面积为3建立方程是关键.

15.如图，已知AG〃CEABLCF,垂足为B,AB=BC=3,点P是射线AG上的动点(点P不与点

A重合)，点。是线段上的动点，点。是线段的中点，连接尸。并延长交于点E,连接

PQ,设AP=2f,CQ=t,当是以尸£为腰的等腰三角形时，f的值为.

3、2

【答案】一或一

75

【解析】

【分析】以8为原点、直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=2E,即可得£点

坐标为(2f,0),CQ=t,BQ=3-t,尸点坐标为(-2/,3),C点坐标为(-3,0),A点坐标为(0,3),。点坐标为(L

2,0),根据。点在线段上，P点不与A点重合，可得0</<3,进而有BE=2f,BQ=3-t,

QE=BQ+EB=3+t,利用勾股定理有：PQ2=(3-3?)2+9,QE1=(t+3^,PE2=16t2+9，根据

△尸。£是以尸£为腰的等腰三角形，分类讨论：当尸。二尸石时，当QE=P£时两种情况，即可求解.

【详解】以8为原点、直线CF为1轴，直线A5为y轴，建立直角坐标系，如图，

：.AB_LAGf

：.ZGAB=ZABF=90°,

•・・。点为AB中点，

：.AD=BD,

：.结合NA。尸可得△APD之△BED,

：.AP=BE,

9：AP=2t,

：.BE=2t,

・・・E点坐标为(2/,0),

\9AB=BC=3,

：.CQ=t,BPBQ=3~t,尸点坐标为(-2。3),。点坐标为(-3,0),A点坐标为(0,3),

・・・。点坐标为(广3,0),

•・•。点在线段3。上，尸点不与A点重合，

：.0<t<3,

•；BE=2t,BQ=3-t,

QE=BQ+EB=3+t,

二利用勾股定理有：PQ2=(-2Z-/+3)2+(3-0)2=(3-3Z)2+9,QE2=(?+3)2,

PE-=(—2-2疔+(3—Op=16产+9,

根据是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：

当PQ=PE时,有(3—3厅+9=16/+9,

整理：7产+18/—9=0,

3

解得f=—（负值舍去），

7

当QE=PE时,有16/+9=«+3）二

整理：15r—6/=0，

解得/=g（0舍去），

32

综上所述：f的值可以为一，一.

75

32

故答案为：—,—•

75

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元

二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键.解答时，需注意分类讨论的思想.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

16.解方程：（尤+3『=2x+14.

【答案】%=1,々=一5

【解析】

【分析】先展开成一般式，再用公式法求解即可.

【详解】整理得：d+4x—5=0，

VA=42-4xlx（-5）=36>0,

.—4±y/36—4±6

••x=-------=------,

2x12

••%]=1,——5.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，选择合适的方法是解题的关键.

17.请把二次函数丁=3必-6%-1化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式.并写出抛物线的开口方向，

对称轴和顶点坐标.把抛物线G：y=（x++2先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度

得到抛物线G.

（1）直接写出抛物线C?的函数关系式：；

（2）动点P（a,—6）能否在抛物线C2上？请说明理由.

【答案】(1)y=3(x—1)2—4,开口向上，直线x=l,(1,-4)；y=(x—3)2-3

(2)不在，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移的规律以及构造一元二次方程来判断动点是否

在抛物线上的知识.掌握平移中图象“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键.

(1)利用配方法把丁=3必一6x-1化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；利用二次函数的平

移规律求G的函数关系式即可；

(2)令y=-6,可得方程(x-3)2-3=-6,根据方程有无实数解，即可判断

【小问1详解】

解：y-?>x2-6x-l

=3(x2-2x)-1

=3(X2-2X+1-1)-1

=3(X-1)2-4,

抛物线y=3d-6x-1的开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(LT)；

根据的平移的方式得抛物线G的函数关系式为：y=(x+l—4)2+2-5即y=(x—3)2-3；

【小问2详解】

解：令y=—6,可得方程(x-3『-3=-6,

.\(%-3)2=-3<0,

；•方程无实数解，

故尸点不在抛物线C?上.

18.已知关于x的方程x2—(m+2)x+(2+—1)=0.

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根：

(2)若此方程的一根是1,求另一个根及机的值.

【答案】(1)见解析(2)%=3,%=2

【解析】

【分析】(1)根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可；

(2)把x=l代入方程，即可求出机的值，然后利用根与系数的关系即可解答.

【小问1详解】

证明：VA=(m+2)^—4(2m—1)=(m—2)2+4,

V(,n-2)2>0,

.".(m-2)2+4>0.

方程恒有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解：把尤=1代入原方程得：I2-(^+2)+(2777-1)=0,解得："2=2

二原方程为：X?-4%+3=0

原方程为：x2-4x+3=0,即(x-3)(x-l)=0,解得：xi=3,尤2=1.

：.m-2,另一个根为x=3.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握常见解一元二次方

程的方法以及用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键.

四、解答题(二)(本大题共2小题，每小题9分，共27分)

19.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我

们还可以解一些新的方程例如一元三次方程三+%2—2%=0,可以通过因式分解把它转化为

X(X2+X-2)=0,通过解方程x=0和f+x—2=0,可得方程_?+/一2%=0的解.

(1)用“转化思想”求得方程式+3%2—4x=0的解为玉=。，々=—，%3=.

(2)解方程：(x-2)(2x+1)=3.

【答案】(1)1,-4；(2)占=—1,x2

【解析】

【分析】(1)先提取公因式无，再因式分解可得x(无-1)(x+4)=0,据此解之可得；

(2)将原方程整理后，运用因式分解法求解即可.

【详解】解：(1)*.*x3+3x2-4x=0

.*.x(x2+3x-4)=0,

•.x(x-1)(x+4)=0

贝!Jx=0或x-1=0或x+4=0

解得尤1=0，X2=l,X3--4,

故答案为1,-4；

(2)(x-2)(2x+1)=3

整理得：2d—3x—5=0

(%+1)(2^-5)=0

x+l=0,2x—5=0

【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，方程的转化是关键.

20.已知关于x的方程（左+l）f+（3左一l）x+2k—2=0.

（1）求证：无论改取何值，此方程总有实数根；

（2）若此方程有两个根，请用含有左的式子表示出方程的解；

（3）在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数上的值;

【答案】（1）证明见解析

（3）左=1或左=3

【解析】

【分析】（1）分左+1=0和左+1W0两种情况考虑：当左+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根;

当上+1/0时，根的判别式A=（左一3）2»0,由此可得出方程有实数根.综上即可证出结论；

（2）由方程有两个根，可得出Zw-1,利用求根公式求出/、起的值，

（3）由X]=-1和％为整数以及人为正整数，即可求出左的值.

【小问1详解】

证明：当左+1=0,即左=—1时，原方程Tx—4=0,

解得：x=—l；

当人+1。0,即左w—1时，

△=（3左一1）2—4（左+1）（2左一2）=左2—6左+9=（左一3）220,

...方程有实数根.

综上可知：无论上取何值，此方程总有实数根;

【小问2详解】

•••方程有两个整数根，

1—3左一（左一3）1一3左一（左一3）—2k+2

：.x.=----------------=-1,x,=------/、--=-------,且左。一1

12伏+1）22（^+1）k+1

【小问3详解】

?4

由（2）可得看=—1,=——+=-2+——

左+1左+1

整数，左为正整数.

•*.左=1或左=3.

【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分左+1=0和左+1W0两

4

种情况考虑；（2）找出了］=—1,%,=—2H------.

左+1

21.【知识背景】古代军队通常包括军人和随军民夫，各自携带一定数量的粮食，据当时估算，陆路行军，

1名军人平均每天消耗粮食1.5千克，自身可携带粮食7.5千克；1名随军民夫平均每天消耗粮食1千克，借

助运输工具可携带粮食150千克，军队（含军人和随军民夫）每天行进10〜20千米.

【知识运用】古时一支有1万名军人的军队计划沿指定路线至212.5千米外的军营，假设粮食充足，下面仅

从粮食角度分析.

（1）如果这支军队每天行进17千米，当军人和随军民夫到达军营后，合计还携有25000千克粮食，求

随军民夫的人数；

（2）出发前因军情变化，需要改变部分线路，若（1）中军队每天行进18.7千米，行军的路程增加了一

个百分数1.2a,随军民夫数量也增加了一个百分数。，这样所携粮食支撑到军队抵达军营时刚好用完，

求这个百分数a.

【答案】（1）随军军夫的人数为1000人

（2）这个百分数为50%

【解析】

【分析】（1）设随军民夫的人数为x人，再依据军人携带的粮食+民夫携带的粮食=消耗的粮食+剩余的

粮食，进而列出方程即可求解；

（2）现在民夫有1000（1+a）人，行程为212.5（1+1.2。）千米，天数为也包匕1包天，携带的粮食

18.7

7.5x10000+150x1000（1+1.2a）,每天消耗的粮食为L5xlOOOO+lxlOOO（l+a）,从而携带的粮

食=每天消耗的粮食X行军天数，据此列方程，即可求解.

【小问1详解】

解：设随军民夫的人数为X人，根据题意得

212.5

10000x7.5+150%=-----x(10000x1.5+1x^)+25000

17

解得：x=1000.

答：随军军夫的人数为1000人;

【小问2详解】

解：由题意得，现在民夫有1000（1+人，行程为212.5（1+1.2。）千米，天数为也亚口四天,

携带的粮食为7.5x10000+150x1000（1+a）,每天消耗的粮食为1.5x10000+1x1000。+。），列方程

为：

212.5(1+1.2。)

7.5x10000+150xl000(l+a)=[1.5x10000+1x1000(1+a)]x

187

323

角军得a=0.5或。=--—<0（舍去）,

答：这个百分数为50%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，审清题意，找准等量关系是解决问题

的关键.

五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）

22.某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市

场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系.

（1）求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）.

（2）若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？

（3）该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由.

【答案】(1)=-3x+21(3<%<5.5)

(2)4元(3)不可能达到13万元，理由见解析

【解析】

【分析】(1)设函数表达式为丁=丘+A，把(3.5,10.5),(5,6)代入表达式求出解析式即可；

(2)