全等三角形常见七大必考模型专训（原卷版+解析）

专题02全等三角形常见七大必考模型专训

旨【模型目录】

模型一平移模型

模型二轴对称模型

模型三旋转模型

模型四一线三等角模型

模型五垂直模型

模型六手拉手模型

模型七半角模型

31经典模型一平移模型】

【模型解读】把△ABC沿着某一条直线/平行移动，所得到ADE尸与△ABC称为平移型全等三角形，图①,

图②是常见的平移型全等三角线.

【常见模型】

【例1】（2023春・全国•八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿8c方

向平移得到△£>£?若AB=10cm,BE=6cm,DH=4cm,则图中阴影部分面积为（)

A.47cm2B.48cm2C.49cm2D.50cm2

■【变式训练】

1.（2021春.陕西咸阳•八年级统考期末）如图，将AABC沿BC方向平移得到ADEF,使点3的对应点E恰

好落在边BC的中点上，点C的对应点厂在BC的延长线上，连接AD,AC.DE交于点O.下列结论一定

正确的是（）

A.ZB=ZFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

2.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，点A,E,F,C在一条直线上，若将AOEC的边EC沿AC方向平

移，平移过程中始终满足下列条件：AE=CF,DEJ.AC于点E,族人AC于点尸，且他=CD.则当点

E,尸不重合时，3D与所的关系是.

3.（2023秋・山东聊城•八年级校考期末）如图（1）,AB±BD,DE工BD,点、C是BD上一点、,且3c=DE,

AC=CE.

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由.

（2）如图（2）,若把ACDE沿直线8。向左平移，使ACDE的顶点C与8重合，此时第（1）问中AC与BE的

位置关系还成立吗？说明理由.（注意字母的变化）.

J【经典模型二轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【例2】（2023秋•八年级单元测试）如图，已知/C=/D,AC=AD,增加下列条件:①=钻；②=ED；

@Z1=Z2；@NB=NE.其中能使AABC丝IE。的条件有（）

C.2个D.1个

■【变式训练】

1.（2022秋.安徽滁州•八年级校考阶段练习）如图，已知ZX/RC丝BC与DE交于点O,AC,AE

分别与DE,BC交于点H,G,连接。4,则下列结论中错误的是（）

AG=AHB.ZOAE=ZDAH

EG=CHD.AOAB=ZOAD

2.（2023秋・八年级课时练习）在①AD=A£,®ZABE=ZACD,③EB=PC这三个条件中选择一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在AABC中，AB=AC,点。在边上，点E在AC边上，连接BE,CD,破与CD相交于

点尸.若,求证：BE=CD.

3.（2023春・广东佛山•七年级校联考阶段练习）如图所示，BD、CE分别为—ACB的角平分线,

两线交于点。.

（1）若ZABC=60°,ZACB=40°,贝l|4OC=°；

⑵若NA=70。，则NBOC=°；

（3）若/A=tz,用a表示的-3OC,写出详细的步骤（不用写理论依据）；

（4）ZA=60%BE,CD,8C三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）.

J【经典模型三旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.

【常见模型】

【例3】（2023・浙江•八年级假期作业）如图，在RIAASC中，AB=AC,ZABC=NACB=45。，。、E是斜

边3C上两点，且NZM£=45。，若3。=3,CE=4,S^ADE=15,则△ABD与△&£■（?的面积之和为（）

A.36B.21C.30D.22

产【变式训练】

1.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，在RSABC中，AB^AC,D,E是斜边8c上两点，且NZME=45。,

将△ADC绕点A顺时针旋转90。后，得到△的,连接所.以下结论：①△ADC之△AEB；②

△ABE四△ACD；③4AED当△AEF；④BE+DC=DE.其中正确的是（）

A

B

A.②④B.①④D.①③

2.（2022秋・浙江.八年级专题练习）如图，五边形4BCDE中,

ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=1,则这个五边形ABCDE的面积等于

3.（2023・全国•九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为45。的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何

模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1,在正方形A3CD中，以A为顶点的㈤F=45。，AE.AF与8C、。边分别交于E、尸两点.易

证得EF=BE+FD.

大致证明思路：如图2,将△ADR绕点A顺时针旋转90。，得到AABH,由NHBE=180。可得H、B、E三

点共线，ZHAE=ZEAF=45°,进而可证明四AAEF,故EF=BE+DF.

任务:

如图3,在四边形A3CD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBAD=120°,以A为顶点的ZE4F=60。，AE.AF

与3C、CD边分别交于E、尸两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=5E+Z）尸是否依然成

立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

_。【经典模型四一线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDLOE,ABLAC,CELDE,那么一定有NB=NCAE.

【例4】（2023•江苏•八年级假期作业）如图，AC=CE,ZACE=90°,ABLBD,ED±BD,AB=6cm,DE

)

8cmC.10cmD.4cm

产【变式训练】

1.（2023・浙江•八年级假期作业）如图，在AABC中，A8=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂线交5C于

点。，若NADE=/B,CD=3BD,则CE等于（）

n9

A.3B.2D.-

2

2.（2023•江苏•八年级假期作业）如图所示，A4BC中，AB=AC,ZBAC=90°.直线/经过点A,过点8作

BE_L/于点E,过点C作CT7，/于点?若BE=2,CF=5,则EF=

3.（2023•江苏•八年级假期作业）如图1,ZACB=90,AC=BC,ADLCE,BE±CE,垂足分别为。，E.

（2）在其它条件不变的前提下，将CE所在直线变换到"RC的外部（如图2）,请你猜想AD,DE,BE三者

之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3,将（1）中的条件改为：在AABC中，AC^BC,D,C,E三点在同一条直线上，并且有

NBEC=ZADC=NBCA=a,其中a为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由.

J【经典模型五垂直模型】

【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直.

【常见模型】

【例5】（2023・浙江•八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,BELCE于点E,

AD_LCE于点D,DE=6cm,AD=9cm,则BE的长是（）

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.4.5cm

*【变式训I练】

1.（2023•全国•八年级假期作业）如图，NACB=90。，AC=BC,AELCE于点E,双〃CD于点。，AE=5cm,

BD=2cm,则£>E■的长是（）

C.3cmD.2cm

2.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，在44BC中，以AB、AC为腰作等腰直角三角形4近和等腰直角

三角形ACT.连接石尸，AO为边上的高线，延长D4交所于点N,下列结论：（1）ZFAN=ZACD；

（2）4FNA均ADC；（3）EN=FN；（4）S^F=S^ABC,其中正确的结论有（填序号）.

3.（2023・全国•八年级假期作业）己知，”LBC中，ABAC=90°,AB=AC,直线加过点A,且此，利于

D,CE，〃7于E,当直线机绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=8D+CE.

（1）当直线机绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；

（2）直线机在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证

明）

41经典模型六手拉手模型】

【模型分析】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫

旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等.

【模型图示】

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右

手”.对应操作：左手拉左手（即连结2。）,右手拉右手（即连结CE）,得AABDmAACE.

【常见模型】

k

（等腰）

ft*

（等边）

二4A二4A

（等腰直角）

【例6】（2023春・上海•七年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分

别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点0,与BC交于点尸，BE与CD交于点Q,

连结PQ.以下结论错误的是（）

1

E

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

声【变式训练】

1.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，在△0A8和△OCD中，。4=。8,OC=OD,OA>OC,

ZAOB=ZCOD=4Q°,连接AC,BD交于点M,连接。M,下列结论：

©△AOC^ABOD；②AC=BD；③NAMB=40。；④MO平分/BMC.

其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，AABC是边长为5的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°.E、F

分别在A3、AC上，且N£DF=60。，则三角形AEF的周长为

3.（2023・江苏•八年级假期作业）如图，AABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形

△ABD、AACE,连接BE、CD交于点/，连接AF.

(1)求证：AABEAADC；

⑵求NEfC的度数；

(3)求证：AF平分/DFE.

J【经典模型七半角模型】

【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半

角模型.

【常见模型】

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一

边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线

段之间的数量关系.半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转一证全等一得到相关结论.

【例7】(2023秋•江苏扬州•八年级校考期末)综合与实践

(1)如图1,在正方形A8CD中，点M、N分别在A。、CD上,若/MBN=45。,则MN,AM,CN的数量

关系为

N

BCB

图2图3

(2)如图2,在四边形ABC。中，BC//AD,AB=BC,ZA+ZC=180°,点M、N分别在A。、CD上，若

/MBN=g/ABC,试探索线段MN、AM,CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB=BC,/ABC+/AOC=180。，点M、N分别在D4、C£)的延长线上，

若试探究线段MN、AM,CN的数量关系为.

■【变式训练】

1.(2023春・上海•七年级专题练习)(1)如图1,在四边形A8C。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分

别是边2C、CD上的点，且NE4F=；NBA£>.求证：EF=BE+FD-,

(2)如图2,在四边形ABC£>中，AB=AD,/3+/。=180。，£、厂分别是边2。、。上的点，且“4尸=上8肛

请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；

(3)如图3,在四边形A8CQ中，AB=AD,ZB+ZA£»C=180°,E、尸分别是边BC、CD延长线上的点，

S.ZEAF=^BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，

并证明.

图1图2图3

2.（2023春•广东佛山•八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABC，/EAF的两边分别与射线CB、

。。相交于点£、F,且NEAP=45。，连接EF.求证:EF=BE+DF.

图1图2图3

思路分析:

⑴如图1,,正方形ABC。中，AB^AD,/BAD=NB=/ADC=90°,

...把AABE绕点A逆时针旋转90。至则R。、E在一条直线上,

ZE'AF.度，

根据定理，可证：

：.EF=BE+DF.

类比探究:

(2)如图2,当点E在线段C8的延长线上，探究所、BE、之间存在的数量关系，并写出证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在AABC中，AB^AC,D、E在BC上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,S^ADE=6,求线段

BD、DE、EC围成的三角形的面积.

3.(2023春•重庆南岸•八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习)(1)如图1,在四边形A5CD中，AB^AD,

ZB=ZD=90°,E、/分别是边8C、8上的点，^ZEAF=^ZBAD,可求得E尸、BE、FD之间的数量关

系为.(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZAZX?=18O°,E、/分别是边BC、8延长线上的点，

若NEAF=；NBAD,判断针、BE、ED之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说

明理由.

图1图2

【重难点训练】

1.(2023•江苏•八年级假期作业)如图，在AABC中，AD为8C边上的中线.

(1)按要求作图：延长到点E,使DE=AD；连接BE.

(2)求证：AACD咨AEBD.

(3)求证：AB+AC>2AD.

(4)若A3=5,AC=3,求AD的取值范围.

2.(2023春・全国•七年级专题练习)(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,

在AABC中，AB=12,AC=8,求BC边上的中线的取值范围.

图1

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

M

图2

①延长AD到使得DM=AD

②连接通过三角形全等把A3、AC,2Ao转化在△ABN中；

③利用三角形的三边关系可得A"的取值范围为AB-从而得到AD的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

(2)请你写出图2中AC与敏的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF^90°,请直接利用

(2)的结论，试判断线段AD与政的数量关系，并加以证明.

图3

3.(2023春•全国•七年级专题练习)在ZABC中,^BAC=90°,AC=AB,直线MN经过点A,>CDLMN

图1图2

(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，ZEAB+ZDAC=_^

(2)求证：DE=CD+BE；

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问。瓜8、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

4.（2022秋•陕西延安•八年级统考期末）【问题提出】

（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,4="=90。，£、产分另1」是边8C、C£）上的点，且4A尸=

求证：EF=BE+FD；

【问题探究】

（2）如图②，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分别是边8C、CD延长线上的点，

且N£AF=eNBAD,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量

关系，并说明理由.

图①图②

5.（2022秋・江苏•八年级专题练习）（1）问题发现：

如图1,小8和△OCE均为等腰直角三角形，ZACB二=ZDCE=90°,连接AD,BE,点A、D、E在同

一条直线上，则NA£B的度数为_________,线段A。、BE之间的数量关系__________；

（2）拓展探究：

如图2,△ACB和△£＞（7_£均为等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,连接AD,BE,点A、D、E不在

一条直线上，请判断线段A。、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由.

（3）解决问题：

如图3,小圆和△DCE均为等腰三角形，ZACB=ZDCE=a,则直线AD和8E的夹角为.（请

用含夕的式子表示）

6.（2023•全国•八年级假期作业）（1）如图1,已知"EC中，ZB4C=90。，AB^AC,直线加经过点4网＞，

直线机，CEL直线机，垂足分别为点2E.求证：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中，AB=AC,RA,E三点都在直线加上，并且有

々%=/4£。=/区4。.请写出。£,8。,以三条线段的数量关系，并说明理由.

7.（2023春•全国•七年级专题练习）如图1,已知AABC中，ABAC=90°,AB=AC,是过A的一条直

线，且8,C在。，E的同侧，于O,CE工AE于E（BD＜CE）.

ED

图2图3

(1)证明：AABD^CAE；

(2)试说明：BD=DE—CE；

若直线DE绕A点旋转到图2位置（此时2,C在O,E的异侧）时，其余条件不变，问3。与QE,

CE的关系如何？请证明;

（4）若直线DE绕A点旋转到图3位置（此时5,C在D,E的同侧）时仍。＞CE）其余条件不变，问

与DE,CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由.

8.（2020秋•福建三明•八年级统考期中）如图1,△ABC和△A3。中，NBAC=/ABO=90。，点C和点。

在的异侧，点E为边上的一点，SLAC=AE,连接CE交直线A8于点G,过点A作AFLAD交直线

CE于点E

（I）求证：AAGE^AAFC；

（II）若A8=AC,求证：AD^AF+BD；

（III）如图2,若AB=AC,点C和点。在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD,AF,2。的

数量关系

图1图2

9.（2023春・陕西西安・八年级统考阶段练习）（1）问题解决：如图，在四边形中，NBAD=a,ZBCD

=180。-%平分/ABC.

①如图1,若a=90。，根据教材中一个重要性质直接可得AZ）=C，这个性质是一；

②在图2中，求证：AD^CD；

（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3,在等腰AABC中，ZBAC=100°,BD平

分NABC,求证BD+A£）=BC.

10.（2021秋•山东德州•八年级统考期中）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以

下学习过程：

（1）【探究发现】如图1,在AABC中，若AD平分NBAC,AD/BC时，可以得出AB=AC,。为BC中

点，请用所学知识证明此结论.

（2）【学以致用】如果RtABEF和等腰RtAABC有一个公共的顶点8,如图2,若顶点C与顶点厂也重合，

且=试探究线段BE和ED的数量关系，并证明.

（3）【拓展应用】如图3,在（2）的前提下，若顶点C与顶点产不重合，/BFE=；ZACB,（2）中的结论

还成立吗？证明你的结论

11.（2020秋•贵州遵义•八年级统考期末）过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一

条直线MN.

（1）当不与正方形任何一边相交时，过点8作于点E,过点。作”，肱V于点尸如图（1）,

请写出斯，BE,之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图(2),其它条件不变，EF,BE,O尸的关系会发

生变化，请直接写出Er，BE,。尸的数量关系，不必证明；

(3)若继续改变直线的位置，使与8C边相交如图(3),其它条件不变，EF,BE,。尸的关系

又会发生变化，请直接写出所，BE,。尸的数量关系，不必证明.

12.(2023・江苏•八年级假期作业)探究：如图①，在AABC中，ZS4C=90°,AB^AC,直线加经过点A,

利于点£),CE_L〃z于点E,求证：AAB。丝ACAE.

应用：如图②，在AABC中，AB^AC,三点都在直线"2上，并且有NBD4=NAEC=N3AC.求出

。瓦3。和CE的关系.

拓展：如图①中，若DE=10,梯形3CED的面积

图①

13.(2023春・上海•七年级专题练习)通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列

问题：

证：BC=AE.

［模型应用］如图2,/运1.至且的=口，3CLCD且3C=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所

围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接3C,DE,且3CLAF于点EDE

与直线AF交于点G.若BC=21,AF=U,则△ADG的面积为.

14.(2023・浙江•八年级假期作业)(1)如图1,己知：在中，NB4c=90。，AB=AC,直线加经过点

A,BD上直线m,CEL直线机，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线山上，并且有

NBDA=ZAEC=NBAC=a,其中夕为任意钝角，请问结论。E=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证

明；若不成立，请说明理由.

专题02全等三角形常见七大必考模型专训

旨【模型目录】

模型一平移模型

模型二轴对称模型

模型三旋转模型

模型四一线三等角模型

模型五垂直模型

模型六手拉手模型

模型七半角模型

41经典模型一平移模型】

【模型解读】把AABC沿着某一条直线/平行移动，所得到与AABC称为平移型全等三角形，图①,

图②是常见的平移型全等三角线.

[例1]（2023春•全国•八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿2C方

向平移得到△OER若Afi=10cm,BE=6cm,DH=4cm,则图中阴影部分面积为（）

A.47cm2B.48cm2C.49cm2D.50cm2

【答案】B

【分析】先根据平移的性质得到r>E=M=10cm,qBCmADEF,则=S/匹，HE=6cm,求出

S阴影=降形4喇，然后根据梯形的面积公式计算即可.

【详解】解：；AABC沿BC方向平移得到QEF，

二£)E=AB=10cm,丛BCmM)EF,

=S.DEF，HE=DE—DH=10一4—6(cm),

S梯形ABEH+S.CEH=SACEH+S阴影，

2

S阴影=5榜眼1s即=gx(6+10)x6=48(cm),故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平

行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

【变式训练】

1.（2021春•陕西咸阳•八年级统考期末）如图，将AABC沿BC方向平移得到ADEF,使点8的对应点E恰

好落在边3c的中点上，点C的对应点尸在BC的延长线上，连接AD,AC、DE交于点O.下列结论一定

A.ZB=ZFB.AC±DEC.BC=DFD.AC、DE互相平分

【答案】D

【分析】根据平移的性质得到BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,由于只有当/BAC=90。时,

ACLDE；只有当BC=2AC时，DF=AC=BE,则可对4B、C选项的进行判断；AC交DE于。点,如图,

证明△A。。丝/XCOE得到。£>=OE,OA=OC,则可对。选项进行判断.

【详解】解：••.△ABC沿3C方向平移得到△。所，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，

/.ZB=ZDEF,BE=CF=CE=AD,AD//BC,DF=AC,

只有当N8AC=90。时，AC±DE；

只有当8C=2AC时，DF=AC=BE,所以A、B、C选项的结论不一定正确；

'：AD//BC,

：.ZOAD=ZOCE,ZODA=ZOEC,

而AD=CE,

A/\AOD^/\COE(ASA),

：.OD=OE,OA=OC

即AC、DE互相平分，所以。选项的结论正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与

原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是

对应点.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等.

2.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，点A,E,F,C在一条直线上，若将ADEC的边EC沿AC方向平

移，平移过程中始终满足下列条件：AE=CF,DE义AC于点E,班'/AC于点F，且AB=CD.则当点

E,尸不重合时，3D与EF的关系是.

【答案】8。与EF互相平分

【分析】先根据。E，AC,BFLAC,AE=CF,求证△ABE名△CDE,再求证△AEGg△8FG,即可.

【详解】'.'DELAC,BFLAC,

ZAFB=ZCED=9Q°

"：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

(AF^CE

在RtAAB尸和RtACOE中，\AB_CD，

.*.RtACED(HL),

:.ED=BF.

设Eb与BO交于点G,

由ZAFB^ZCED=90°^DE//BF,

：.NEDG=NGBF,

VZEGD=ZFGB,ED=BF,

：.ADEG沿ABFG,

：.EG=FG,DG=BG,

...8。与砂互相平分.

【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多

次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题.

3.（2023秋・山东聊城•八年级校考期末）如图（1）,AB±BD,DE工BD,点C是BD上一点,S.BC=DE,

AC=CE.

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由.

（2）如图（2）,若把ACDE沿直线向左平移，使ACDE的顶点C与8重合，此时第（1）问中AC与BE的

位置关系还成立吗？说明理由.（注意字母的变化）.

【答案】(1)ZC±CE,理由见解析

(2)力。±龙成立，理由见解析

【分析】(1)根据条件证明RSABC的△CDE(HL)就得出NACE=90。，就可以得出然±CE；

(2)根据RtZVRC^RtZkE)石可以得出N跳C=90。，从而得出结论.

【详解】(1)解：AC±CE,理由如下，

理由：VABA.BD,DE工BD,

：.ZB=ZD=90°.

在RtAABC和RtACPE中，

[BC=DE

[AC=CE"

：.RtAABC尔gCDE(HL),

:.ZA=ZDCE.

VZA+ZACB=90°,

・•・ZDCE+ZACB=90°.

NDCE+NACB+NACE=180。，

・•.NACE=90。，

AAC1CE；

(2)解：ACLCE,理由如下,

,/RtZXABC^RtABDE,

/.ZA=NDBE,

；ZA+ZACB=90°,

：.ZDBE+ZACB^9Q°,

：.NBFC=90°,

：.ACVCE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解

答时证明三角形全等是关键.

41经典模型二轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【例2】（2023秋•八年级单元测试）如图，已知/C=/D,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE；②BC=ED；

@Z1=Z2；®ZB=ZE.其中能使AABC丝AAED的条件有（)

n

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答.

【分析】解：①•.•NC=ND,AC=AD,AB=AE,

.△ABC和AAED不一定全等，

故①不符合题意；

®-.-ZC=ZD,AC=AD,BC=DE,

.1△ABC四AAED（SAS）,

故②符合题意；

③•.•N1=N2,

ZL+ZEAB=Z2+ZEAB,

:.ZCAB=ZDAE,

•.•NC=/。，AC=AD,

.".△ABC^AAED(ASA),

故③符合题意；

®-.-ZB=ZE,NC=/D,AC=AD,

.".AABC^AAED(AAS),

故④符合题意；

所以，增加上列条件，其中能使AABC丝AAED的条件有3个，

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

■【变式训练】

1.（2022秋・安徽滁州•八年级校考阶段练习）如图，已知A4BC2BC与DE交于点O,AC,AE

分别与DE,BC交于点H,G,连接OA,则下列结论中错误的是（)

A.AG=AHB.ZOAE=ZDAH

C.EG=CHD.ZOAB=ZOAD

【答案】B

【分析】先证明ABAG空△ZMH(ASA),推出AG=A",则EG=C〃，可判断选项A、C；再证明

AEOG^ACOH(AAS),推出OG=O"，则03=8,利用SSS证明△AOBZ^AOD,即可判断选项D,

没有理由证明Z.OAE=ZDAH.

【详解】解：:AABC^AADE,

ZB=ZD,NC=NE,ZBAC=ZDAE,AB=AD,AC=AE,

：.ABAC-ZEAC=ZDAE-ZEAC,即/BAG=ZDAH,

ABAG^AZMH(ASA),

/.AG=AH,则EG=C”,故选项A、C正确；

ZEOG=ZCOH,

：.AEOG^ACOH(AAS),

：.OG=OH,则OB=OD,

/.AAOB^AAOD(SSS),

AZOAB=ZOAD,故选项D正确；

/Q4E=/O4〃与皿田不一定相等，故选项B不正确；

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键.

2.(2023秋・八年级课时练习)在①AD=AE,②ZABE二ZACD,③FB=PC这三个条件中选择一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在AABC中，AB=AC,点。在A2边上，点E在AC边上，连接BE,CD,班与。相交于

点尸.若,求证：BE=CD.

【答案】见解析

【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可.

【详解】解：选择条件①的证明:

在AAB石和△ACD中，

AE=AD

<ZA=ZA,

AB=AC

:.^ABE^ACD(SAS),

:.BE=CD；

选择条件②的证明：

在&ABE和AACD中，

ZA=ZA

<AB=AC,

ZABE=ZACD

.^ABE^ACD(ASA),

:.BE=CD；

选择条件③的证明：连接AF,

在AAB/和△ACF,

BF=CF

<AB=AC,

AF=AF

/.△ABF^AACF(SSS),

:.ZABE=ZACD,

在△ABE和△ACZ)中，

ZA=ZA

<AB=AC,

NABE=ZACD

:.AABE^ACD(ASA),

:.BE=CD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角

相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

3.(2023春・广东佛山•七年级校联考阶段练习)如图所示，BD、CE分别为NABC,NACB的角平分线,

两线交于点O.

(1)^ZABC=6O°,ZACB=40°,则ZBOC=°；

⑵若NA=70。，贝!|/3OC=°；

(3)若NA=c,用。表示的/30C,写出详细的步骤(不用写理论依据)；

(4)ZA=60°,BE,CD,3C三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由(不用写理论依据).

【答案】(1)130

(2)125

(3)ZBOC=90°+1a,步骤见解析

⑼BC=BE+CD,理由见解析

【分析】(1)先根据角平分线的定义得出/OBC与NOCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；

(2)先根据44=70。求出NABC+NACB的度数，再由角平分线的定义得出/OBC+/OCB的度数，根据

三角形内角和定理即可得出结论；

(3)根据NA=媛求出NABC+NACB的度数，再由角平分线的定义得出/O3C+/OCB的度数，根据三角

形内角和定理即可得出结论；

(4)在边3C上截取班'=连接OF,只要证明/30E=/30E=60。，可得NCOD=NCO尸=60。即可

证明.

【详解】(1),/BD,CE分别为ZABC,ZACB角平分线，ZABC=60°,ZACB=40°,

ZOBC=-ZABC=-x60°=30°,NOCB=-ZACB=-x40°=20°,

2222

NBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°-30°-20°=130°,

故答案为：130；

(2)VZA=70°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180-70°=110°,

,：BD,CE分别为/ABC,NACB角平分线，

/.NOBC+NOCB=gx(ZABC+ZAC2)=gxllOo=55。，

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-55°=125°；

故答案为：125；

(3)VBO,CO分别为/ABC,—ACB的角平分线，

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

Z.ZBOC=180。-；ZABC-gNAC8=180。-g(ZABC+ZACB),

ZA=e,

・•・ZABC+ZACB=180°-,

ZBOC=180°-1(180°-a)=90°+-cr；

2

(4)BC=BE+CD理由如下:

A

BAFC

在边8C上截取斯=BE,连接OF,

由（3）的结论得N30C=90o+ga=120。，

・•・ZEOB=ZDOC=180°-ZBOC=60°,

在ABEO与VBFO中,

BE=BF

<ZEBO=ZFBO,

BO=BO

：.ABEO-BFO（SAS）；

:・NEOB=/FOB=60。,

：.ZBOC=120°,

・•・ZF（9C=60°,

：.^DOC=^FOC=6Q°,

在△DOC与△尸OC中，

/DOC=ZFOC

<oc=oc,

ZDCO=ZFCO

：.△Z）OC=AFOC（ASA）；

・・・DC=FC,

：.BC=BF+FC=BE+CD.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，第（1）至

（2）有具体的数，不要求学生书写步骤，可以多角度下手解决问题，第（3）问思维的迁移，从（1）（2）

特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）问梯度增加上升难度，在寻找全等三角形全等的条件，

需要添加辅助线，属于中考常考题型.

41经典模型三旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.

【常见模型】

【例3】（2023•浙江•八年级假期作业）如图，在RJASC中，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,D、E是斜

边8C上两点，且NZME=45。，若3。=3,CE=4S,ADE=15,则△ASD与△AEC的面积之和为（

A.36B.21C.30D.22

【答案】B

【分析】将VADE关于AE对称得到AA/话，从而可得八4/话的面积为15,再根据对称的性质可得

AF=AD,ZEAF=45°,然后根据三角形全等的判定定理证出“lb三AA?。，从而可得

CF=BD=3,ZACF=ZABD=45°,SACf=S^ABD,最后根据AABD与△AEC的面积之和等于AAFE与△CEF

的面积之和即可得.

【详解】解：如图，将VADE关于AE对称得到ZX4花，

则A尸=A£>,NE4尸=45°,SAAFE=SAADE=15,

ZCAF+ACAD=ZDAE+ZEAF=450+45°=90°,

•/ABAD+ACAD=ABAC=180°-ZABC-ZACB=90°,

Z.CAF=/BAD,

AC^AB

在AACF和△ABD中，|/CAF=/BAD,

AF=AD

:.^ACF=AABD(SAS),

7

CF=BD=3,ZACF=ZABD=45°,7S△ACFS^AD.nL)n,

.-.ZECF=ZACB+ZACF=90°,即4CEF是直角三角形,

SrFP=-CE-CF=-x4x3=6,

KEF22

一S^ABD+S^AEC=S^ACF+1^AAEC=^AFE+^CEF=15+6=21,

即△ABD与△AEC的面积之和为21,

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三

角形和直角三角形是解题关键.

■【变式训练】

1.（2023・浙江•八年级假期作业）如图，在中，AB=AC,。、E是斜边BC上两点，且=45。，

将△ADC绕点A顺时针旋转90。后，得到△AFB,连接以下结论：①△ADCdAFB；②

△ABE丝△ACD；③△AED四△AEF；®BE+DC=DE.其中正确的是（）

A.②④B.①④C.②③D.①③

【答案】D

【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全

等三角形的性质、三角形的三边关系判断④.

【详