随机事件、频率与概率-2025年高中数学一轮复习

第04讲随机事件、频率与概率

（3类核心考点精讲精练）

考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

抽样比、样本总量、各层总数、分步乘法计数原理及简单应用

2023年新II卷，第3题,5分

总体容量的计算实际问题中的组合计数问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解随机事件的定义

2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件

3.理解频率与概率的意义

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算

一起考查，需强化概念理解

Ir.考点梳理。

知识讲解

1.事件的分类

必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件

确定事件

不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件

1

随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

2.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件/发生，则事件3一定发生，这时称事件B包含事件或称事584（或44

包含关系

件/包含于事件8）B）

相等关系若8二4且4二8A=B

若某事件发生当且仅当事件4发生或事件2发生，称此事件为事件4与/U2（或/+

并事件（和事件）

事件B的并事件（或和事件）B）

若某事件发生当且仅当事件N发生且事件3发生,则称此事件为事件A

交事件（积事件）/A3（或AB）

与事件3的交事件（或积事件）

互斥事件若/A3为不可能事件，则称事件Z与事件3互斥4n5=0

4G5=0；

若4nB为不可能事件，NU3为必然事件，那么称事件4与事件8互为P（AUB）=

对立事件

对立事件尸⑷+P（8）

=1

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有

一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.

3.频率与概率

（1）在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件N是否出现，称〃次试验中事件/出现的次数想为事件

A出现的频数，称事件/出现的比例%（/）=3为事件/出现的频率.

n

（2）对于给定的随机事件a如果随着试验次数的增加，事件/发生的频率力（⑷稳定在某个常数上，把这个

常数记作尸（/）,称为事件/的概率，简称为/的概率.

考点一、事件的判断

*典例引领

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生B.至少有1个男生C,3个都是女生D.至少有1个女生

【答案】B

【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解.

【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，

2

故选：B.

2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压

下，水在1。（2结冰；④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有（）

A.①②B.①④C,①③④D.②④

【答案】B

【分析】根据事件的知识求得正确答案.

【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.

故选：B

即时检测

I___________________

1.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）抛掷一块石子，下落；.

（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；

（3）某人射击一次，中靶;

（4）如果a>b、那么。-6〉0；

（5）掷两枚硬币，均出现反面；

（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；

（7）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；

（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

（9）绿叶植物，不会光合作用；

（10）在常温下，焊锡熔化；

（11）若。为实数，则同20;

（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；

其中必然事件有;不可能事件有;随机事件有

【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）

【分析】由必然事件，不可能事件以及随机事件的概念逐一判断即可.

【详解】（1）抛掷一块石子，下落，是必然事件；

（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰不可能融化，是不可能事件；

（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；

（4）如果a>6,那么a-b>0必然成立，是必然事件；

（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；

（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12,所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；

（7）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件;

（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；

3

（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；

（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；

（11）若。为实数，则问上0必然成立，是必然事件；

（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；

故答案为：⑴、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、⑺、（8）、（12）

考点二、事件的关系和运算

典例引领

1.（2024・重庆•模拟预测）对于两个事件42,则事件NUB表示的含义是（）

A./与8同时发生B./与3有且仅有一个发生

C.4与8至少一个发生D.4与3不能同时发生

【答案】C

【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案.

【详解】由/U8表示的是A与3中至少一个发生.

故选：C.

2.（2023・四川宜宾•三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数"，事件2表

示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3",事件4表示“骰子向上的点数小于3"则

（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

【详解】由题可知，事件1可表示为：/={1,3,5},事件2可表示为：5={2,4,6）,

事件3可表示为：C={4,5,6},事件4可表示为：D={1,2},

因为/口。={5},所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为/C8为不可能事件，/UB为必然事件，

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为8口。={4,6},所以事件2与事件3不互斥，C错误；

因为Cc。为不可能事件，不为必然事件，

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；

故选：B.

3.（21-22高一下•河南安阳•期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件/为"三件产品全

不是次品"，事件3为"三件产品全是次品"，事件C为"三件产品不全是次品"，事件。为"第一件是次品"则

4

下列结论正确的是（）

A.3与。相互独立B.8与C相互对立

C.4屋DD.Ar>C=0

【答案】B

【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.

【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，

3为三件全是次品，

C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，

。为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.

由此可知A与3是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，8与C对立

故选:B.

4.（21-22高一下•全国•开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3

件产品，设事件A"3件产品都是次品"，事件8"至少有1件是次品"，事件C"至少有1件是正品”，则下列

结论正确的是（）

A.A与C为对立事件B.8与C不是互斥事件

C.Ar\B=AD.P（J8）+P（C）=1

【答案】ABC

【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.

【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正

品，3件产品都是正品.

事件8的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

事件C的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.

A与C为对立事件，故A正确；

BcC={2件次品1件正品，1件次品2件正品},则3与C不是互斥事件，故B正确；

,:A=B,AoB=A,故C正确；

由上知尸（8）+尸（C）>1,故D错误.

故选：ABC

5.（2024•河北沧州•一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科

技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活

动；事件C：只参加一种科普活动；事件一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，

则下列说法正确的是（）

A.A与。是互斥事件B.8与E是对立事件

C.E=CuDD.A=CcE

【答案】ABC

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.

5

【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A：只参加科技游艺活动，

与事件一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；

对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B和事件E满足两个特点，故B正确；

对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件E,故C正确；

对D：CflE表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.

故选：ABC

♦即时检测

■____________

1.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒

子里随机取2个球.记事件至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（）

A.M+N=NB.MN=N

C.M与N互斥D.M与N独立

【答案】B

【分析】根据事件至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件N：

一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解N发生，W一定发生，M发生，N不一定发生即可判断和

事件，积事件，互斥关系，独立关系.

【详解】解：现从盒子里随机取2个球.记事件M：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个

白球，有两个红球；

A.M+N=M,故选项错误，不符合题意；

B.MN=N,故选项正确，符合题意；

C.QMN-N,故M与N不互斥，故选项错误，不符合题意；

D.QMN=N,即N发生，M一定发生，“发生，N不一定发生，故”与N不独立，故选项错误，不符

合题意；

故选:B.

2.（2023・四川内江•三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A.事件"两次均击中"与事件"至少一次击中"互为对立事件

B.事件"第一次击中"与事件"第二次击中"为互斥事件

C.事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"互为对立事件

D.事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件

【答案】D

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.

【详解】一个人连续射击2次，其可能结果为击中。次，击中1次，击中2次，

其中"至少一次击中"包括击中一次和击中两次，

事件"两次均击中"包含于事件"至少一次击中"，故A错误；

事件"第一次击中"包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，

6

事件"第二次击中"包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；

事件"两次均未击中"与事件"至多一次击中"可以同时发生，故C错误；

事件"恰有一次击中"与事件"两次均击中"为互斥事件，故D正确；

故选：D

3.（2023•广西柳州•模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不

对立的两个事件是（）

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

【答案】D

【分析】总的可能的结果为"两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治"，然后写出各个事件包含的事件,

结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.

【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，

可能的结果有："两本政治"，"两本数学"，"一本数学一本政治"，

“至少有一本政治"包含事件：“两本政治"，"一本数学一本政治”.

对于A,事件“至少有一本政治"与事件"都是数学”是对立事件，故A错误；

对于B,事件“至少有一本政治"包含事件"都是政治"，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；

对于C,事件“至少有一本数学"包含事件："两本数学"，"一本数学一本政治"，因此两个事件都包含事件“一

本数学一本政治"，不是互斥事件，故C错误；

对于D,“恰有1本政治”表示事件"一本数学一本政治"，与事件"恰有2本政治"是互斥事件，但是不对立，

故D正确.

故选:D.

4.（2024・全国•模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记"点数之和为5"是事件A,“点数之和为

4的倍数"是事件3,则（）

A.4+8为不可能事件B.A与8为互斥事件

C.为必然事件D.A与B为对立事件

【答案】B

【分析】利用事件的基本关系判断即可.

【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

"点数之和为5"是事件A有（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）共有4种情况；

"点数之和为4的倍数"是事件B有。,3）,（3,1）,（2,2）,（2,6）（6,2）0,5）6,3）也4）£6）共有9种情况；

对于选项A:/+B表示"点数之和为5或是4的倍数"，不是不可能事件.故A错误；

对于选项B：/与8不可能同时发生.故B正确；

对于选项C：48表示"点数之和为5且是4的倍数"，是不可能事件，故C错误；

对于选项D：A与3不能包含全部基本事件，故D错误.

故选:B.

5.（23-24高二上•四川攀枝花•期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A为"第一次中靶"，事件8为

7

"至少一次中靶”，事件C为"至多一次中靶"，事件。为"两次都没中靶”.下列说法正确的是（）

A.A[}B=AB.B与C是互斥事件

C.CU£>=QD.B与D是互斥事件，且是对立事件

【答案】AD

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.

【详解】由题意可知，事件。为"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶两次都中

靶""两次都没有中靶"；

事件8为"至少一次中靶"，即"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都中靶";

事件。为“至多一次中靶"，即"第一次中靶且第二次没有中靶""第一次没有中靶且第二次中靶""两次都没有

中靶”；

事件。为"两次都没中靶”；

故/门2=4,3与C不是互斥事件，8与。是互斥事件，且是对立事件，CUOwC.

故选:：AD.

1.（2022•山东威海•三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评

价.甲在网站4查到共有840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站8查到共有1260人参与评价，其

中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根据已知数据直接计算可得.

【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为弘°义~％+1260*85%=89%

840+1260

故选：B.

2.（22-23高二上•湖北武汉•期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验,

发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.55,0.55B.0.55,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.55

【答案】B

【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，

440

那么出现正面朝上的频率为—=0.55,

800

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是g,

8

故出现正面朝上的概率为1=0.5,

故选：B.

3.（2021•全国•模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温

（单位：。C）有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20℃,25℃）,需

求量为300瓶；如果最高气温低于20℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6

月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数45253818

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x

瓶的概率估计值为0.1,则x=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【分析】根据频数分布表确定概率

【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃,

由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为需=0.1,

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.

故选：B.

即0^（

1.（23-24高二上•四川达州•阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件

A,则事件4出现的概率为.

【答案】1/0.5

【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.

43

【详解】由题意可知事件4出现的频率为而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，

80

由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件/出现的概率为二,

2

故答案为：—

2

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝•期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3

局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机

产生1~5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了

如下20组随机数：

9

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

【答案】0.65

【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.

【详解】20组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13组数据表示甲获得冠军,

故估计甲获得冠军的概率为孟=0.65.

故答案为：0.65

3.（2023・陕西西安・模拟预测）在一个口袋中放有，"个白球和”个红球，这些球除颜色外都相同，某班50

名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次,

以频率估计概率，若从口袋中随机摸工个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一位

小数）

【答案】0.7

【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.

【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，

所以摸到红球概率的估计值为0.7.

故答案为：0.7

IN.好题冲关

基础过关

1.（22-23高二下•湖北荆州•阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次

试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.56,0.56B.0.56,0.5

C.0.5,0.5D.0.5,0.56

【答案】B

【分析】根据频率和概率的定义求解.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，

那么出现正面朝上的频率为湍=0.56,

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是:，

2

故出现正面朝上的概率为1=0.5.

2

10

故选:B.

2.（24-25高三上•重庆•开学考试）某池塘中饲养了48两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀

分布的.在池塘的东、南、西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品

种/约有（）

采样点品种/品种B

东209

南73

西178

A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾

【答案】C

【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.

【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，

20+7+1711

所以品种/约所占比为:

20+7+17+9+3+816

所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种N约有匚*20。13尾,

16

故选：C

3.（23-24高二上•广东清远•阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为1.②如果某种彩票的中奖概率为:，

那么买10张这种彩票一定能中奖.③某事件的概率为1.1.④互斥事件一定是对立事件.其中正确的说法

是（）

A.①②③④B.①C.③④D.①④

【答案】B

【分析】由必然事件的概念即可判断①；根据互斥事件概率的计算公式即可判断②；由随机事件概率的性

质即可判断③；根据互斥事件和对立事件的区别与联系即可判断④；

【详解】根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为L不可能事件的概率为0,故①正确；

根据随机事件的概率可知，买10张这种彩票也会有的可能性不中奖，所以②错误;

根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为［0』，即③错误；

互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生其他情况，

所以互斥事件不一定是对立事件，即④错误；

故选：B

4.（23-24高二上•河南信阳•阶段练习）同时掷两枚硬币，"向上的面都是正面"为事件A,"向上的面至少有

一枚是正面"为事件B,则有（）

A.A=BB.A^BC.A=BD.A与B之间没有关系

11

【答案】c

【分析】根据题意，结合列举法求得事件A和事件B,进而得到两事件的关系，得到答案.

【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为。=｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝,

其中事件/=｛（正，正）｝,事件3=｛（正，正），（正，反），（反，正）｝,

所以/=反

故选：C.

5.（2023・山东•模拟预测）己知事件4B满足尸（"）=0.5,P（8）=0.2,则（）

A.若8=4,则尸（48）=0.5

B.若A与B互斥，则尸（/+8）=0.7

C.若A与B相互独立，则尸（7司=0.9

D.若尸修⑶=0.2,则A与B不相互独立

【答案】B

【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,若8=4,贝1」尸（/8）=尸（8）=0.2,所以A错误；

对于B,若A与5互斥，贝1］尸（/+8）=尸（4）+尸（8）=0.7,所以B正确；

对于C,若A与B相互独立，可得7与否相互独立，

所以？（7百）=尸（彳＞尸（4）=（1一。5）（1-0.2）=0.4,所以C错误;

对于D,由尸（8|4）=0.2,可得尸（圻/）=4誓=为等=0.2,

所以尸（/团=0.1,所以尸（N5）=尸（N）P（2）,所以A与3相互独立，所以D错误.

故选：B.

6.（23-24高二下•上海•期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是0.01%,则这件事

发生（填"必然"、"可能"或"不可能"）.

【答案】可能

【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果.

【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是0.01%,

表示刮出500元的可能性是0.01%,所以这件事可能发生.

故答案为：可能

7.（22-23高三上•河南关B州•阶段练习）有下列事件：

①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；

②实数的绝对值不小于零；

③某彩票中奖的概率为正篇，则买100000张这种彩票一定能中奖；

12

④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.

其中必然事件是.

【答案】②

【分析】根据必然事件一定会发生逐个判断即可

【详解】因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以①不是必然事件；

因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；

因为某彩票中奖的概率为高而，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必

然事件；

抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件

故答案为：②

8.（2020高三•全国•专题练习）"键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在

网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的

50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠"持反对

态度的有人.

【答案】6912

【解析】计算出对"键盘侠"持反对态度的频率，由此计算出该地区对"键盘侠"持反对态度的人数.

【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1-9=1|,则可估计该地区对“键盘侠"持反对态度

[8

的有9600x—=6912（人）.

25

故答案为：6912

【点睛】本小题主要考查利用频率进行估计，属于基础题.

9.（2023•全国•模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别

的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个

白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数

吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了"是"，48人回答了

"否则问题二"考试是否做过弊"回答"是"的百分比为（以100人的频率估计概率）.

【答案】54%/0.54

【分析】计算出摸到黑球且回答"是"的人数，可求得摸到白球且回答"是"的人数，即可求得结果.

【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5,

所以，100人中回答第一个问题的人数为100x0.5=50,则另外50人回答了第二个问题，

在摸到黑球的前提下，回答"是"的概率为工，即摸到黑球且回答"是"的人数为50x1=25,

则摸到白球且回答"是"的人数为52-25=27,

27

所以，问题二"考试是否做过弊"且回答"是"的百分比为二=0.54=54%.

13

故答案为：54%.

10.（22-23高一下•全国,课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6"为事件向

上的点数是1或2"为事件8,"向上的点数是1或2或3或4”为事件C,"向上的点数大于3”为事件。，则

下列结论正确的是.（填序号）①/与8是互斥事件，但不是对立事件；②B三C；③/与C是互

斥事件；@A=D.

【答案】①②④

【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.

【详解】试验的样本空间O={123,4,5,6},

根据题意，/={4,5,6},8={1,2},C={1,2,3,4},D={4,5,6）.

因为/口3=0,/口8={1,2,4,5,6}/。，所以/与3是互斥事件，但不是对立事件，故①正确；

因为8={1,2},C={1,2,3,4},所以BqC,故②正确；

因为/nc={4},所以/与C不是互斥事件，故③错误；

因为/={4,5,6},。={4,5,6},所以/=〃，故④正确.

故答案为：①②④.

匕能力提七

1.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如

果最高气温不低于25。（2,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20。（2,25。。内，需求量为300瓶；如果

最高气温低于2（TC,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温

数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数36253818

将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x

瓶的概率估计值为0.1,则无=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【详解】命题意图本题考查用样本频率估计总体的概率.

解析由表格数据知，最高气温低于25P的频率为詈=01，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300

瓶的概率估计值为0.1.

2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设人={2名全是男生},3={2名全是女生},

C={恰有一名男生},{至少有一名男生},则下列关系不正确的是（）

A.A^DB.BC\D=0C.AuC=DD.AuB=BuD

14

【答案】D

【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，则Nq。，AuC=D,可判断A,C;事

件5与。是互斥事件，判断B;/U8表示的是2名全是男生或2名全是女生，2U。表示至少有一名男生，

由此判断D.

【详解】至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故AuC=D,

故A,C正确；

事件8与D是互斥事件，故5口。=0,故B正确，

ZU3表示的是2名全是男生或2名全是女生，8U。表示2名全是女生或名至少有一名男生，

故ADBWBDD,D错误，

故选：D.

3.（23-24高二上•四川遂宁•阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为"，其中

，=1,2,3,4,5,6；2="点数不大于2",2="点数大于2",2="点数大于4”下列结论是判断错误的是（）

A.C1与a?互斥B.Dl'uD2=n,D]D2=0

C.r>3cD2D.c2,为对立事件

【答案】D

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD,由事件的运算判断B,由事件间关系判断C.

【详解】由题意G与C?不可能同时发生，它们互斥，A正确；

2中点数为1或2,4中点数为3,4,5或6,因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此22

为不可能事件，B正确；

2发生时，，一定发生，但，发生时，2可能不发生，因此C正确；

Q与G不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；

故选：D.

4.（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

1005518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件投中三分球为事件2,没投中为事件C,用频率估计

概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）

A.P（A）=0.55B.P（5）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（8+C）=0.55

【答案】ABC

【分析】求出事件/,8的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.

【详解】依题意，F（^）=—=0.55,P（B）=—=0.18,

显然事件4,B互斥,尸（C）=l-尸（4+0=1-尸（⑷-尸（0=0.27,

15

事件2,C互斥，贝i]P（8+C）=P（3）+P（C）=0.45,

于是得选项A,B,C都正确，选项D不正确.

故选:ABC.

5.（2024•云南昆明•三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件4瓦C发生的概率满足

尸（N）=P（8）=P（C）=；,P（/U8）=g,/与C互斥，则下列说法正确的是（）

A.P[AC）=-B./与3相互独立

1Q

C.P（ABC）^—D.尸（NUBUC）v]

【答案】ABD

【分析】A选项，根据互斥得到尸（/C）=0,P（AC）=P（A）-P（AC）=y,B选项，根据

尸（/。3）=尸（/）+尸（3）-尸（NcB）求出尸（/c5）=g,故尸（/cB）=尸（/）P（3）,B正确；C选项，4与C

QQ

互斥，故与C互斥，故C正确；D选项，根据尸（/uBuCjng-PlBCjWg求出D正确.

【详解】A选项，/与C互斥，故4cC=0,P（AC）=0,则3包含事件A,故尸（/C）=P（/）=g,A正

确；

B选项,P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）,

即:+[「（/»）=•!，故P（Nc2）=g,

故尸（NcB）=尸（4）尸（5）,4与3相互独立,B正确；

C选项，/与C互斥，故与C互斥，故尸（/8C）=P[（/5）cC]=0,C错误；

D选项，P（/u8uC）=P（/）+P（3）+尸（C）一P（/8）-P（3C）-P（/C）+尸（A8C）

=-+-+---x--P（5C）=--P（BC）,

33333v'9'）

oo

因为P（8C）20,故尸（/u3uC）=5—尸（3C）W§,D正确.

故选:ABD

,I真题感知

一、单选题

I.（重庆•高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）

12512012210513011411695120134,则样本数据落在[114.5,124.5）内的