几何图形中新定义型问题 中考数学

抢分秘籍12几何图形中新定义型问题

（含三角形，特殊的平行四边形，圆综合）（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

（I中考预测

二角形.特殊的平行四边形.圆中新定义型问题是全国中考的热点和压轴内容,更是全国中考的必考

内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，三角形，特殊的平行四边形，圆中新定义型问题主要是依据基本图形的性质定理去

解决新提出来的新问题，也是高频考点、必考点综合性较强。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！

■（抢分通关

题型一三角形中的新定义问题

典例精讲

［例I］（新考法，拓视野）（2023•江苏苏州•二模）定义：如果三角形的两个a与夕满足a-/=9（F,那么

我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形

⑴若。3c是“奇妙互余三角形〃，ZA>90°,NB=20。,则NC的度数为

9

⑵如图1,在RlZXA8c中，NA=90。，若48=4,BC=5,点。是线段A8上的一点，若AO=:，判断△BCD

4

是否是“奇妙互余三角形"，如果是，请说明理由；

（3）如图2,在四边形ABCD中，AC,80是对角线，AC=4,8=5,ZBAC=90°,若NACD=2NABC,

且△5C。是“奇妙互余三角形”，求8。的长.

通关指导

本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识.解题

的关键在于理解题意并对知识进行灵活运用.

【例2】（2023•吉林长春•二模）【定义】如图①，若内一点尸满足NB4B=N?8C=NPC4,则点尸

为“BC的布洛卡点.

【探究】（1）如图②，在JSC中，AB=AC,点P是'C的一个布洛卡点.

求证：△ABP^ABCP.

【应用】（2）如图③，在【探究】的条件下，若NB4c=90°,且PBvPC.判断AP与CP的数量关系，

并说明理由.

名校模拟

1.（2023•山东青岛•一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形.如

图①，AO是y8C的中线，户是AD的中点，贝曙F8C是中原三角形.

A

£W

BD

(D

⑴求口原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）.

（2）如图②，4。是的中线，E是边AC上的点，AC=3AE,BE与40相交于点凡连接C尸.求证:

二F8C是中原三角形.

⑶如图③，在（2）的条件下，延长C产交AB于点连接ME,求△阳/与M8C的面积之比.

2.（2023•江苏扬州•二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合

且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三

角形

图③

⑴如图①，乂和VAOE互为“友好三角形”,点。是边上一点（异于B点），AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=nf,连接CE,则CEBD（填"<"或"="或ZBCE=_____。（用含用的代数式表

示）.

⑵如图②，以和VAOE互为“友好三角形”，点。是8C边上一点，AB=AC,AD=AE,

N84C=ND4E=60°,M、N分别是底边8C、OE的中点，请探究MN与C石的数量关系，并说明理由.

（3）如图③，J3C和VAZ陀互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点、,AB=AC,AD=AE,

NB4C=ND4£=90。，BC=6,过。点作O/_LAO，交直线CE于尸点，若点。从8点运动到C点，直接

写出尸点运动的路径长.

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2023•湖北随州•模拟预测）定义：长宽比为6:1（〃为止整数）的矩形称为«，

我们通过折叠的方式折出一个&矩形

操作1：将正方形48所沿过点A的直线折叠，使折叠后的点8落在对角线AE上的点G处，折痕为

操作2：将在沿过点G的直线折叠，使点尸，点E分别落在边"，BE上.

⑴证明：四边形A8CD为夜矩形；

⑵点M在直线A8上一动点.

①如图人。是对角线AC的中点，若点N在边BC上,OMA.ON,连接MV.求lanNOMV的值；

②若AM=AD,点、N在边BC上,当二OWN的周长最小时，求g：

NB

③连接CM,作切?_LCM,垂足为H,若A8=4,则OR的最大值=.

通关指导

本题是相似形综合题，主要考查了新定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质和

判定等知识，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键.

【例2】（2024•江西九江•一模）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形

为比例三角形.例如：三边的长分别为A8=l,BC=2,AC=0.因为AC2=/\B.8C,所以“WC

是比例三角形.

【问题提出】

（1）已知“8。是比例三角形,AR=2,BC=4,求AC的长:

【问题探究】

(2)如图1,P是矩形A8C。的边8c上的一动点，4Q平分NP4。，交边8c于点0,ZAPD=ZPQD.

①求证：△APD^DQP；

②求证：△■「£>是比例三角形.

【问题延伸】

(3)如图2,在(2)的条件下，当AB=1,八2=。时，点C与点。能否重合？若能，求出/的值；若不

能，请说明理由.

名校模拟

1.(23・24九年级上•吉林松原•期末)定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无

重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形.

①②③

(1汝口图1,将以IBC纸片沿中位线四折登，使点A落在边上的。处，再将纸片分别沿E尸，用折叠,

使点3和点C都与点O重合，得到双层四边形瓦6〃，则双层四边形EAG”为形.

⑵YA5CD纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形瓦’G〃为矩形，若EF=5,EH=12,求AO的长.

(3)如图3,四边形ABC。纸片满足AO〃5C,AD<BC,ABJ.BC,A6=8,8=10.把该纸片折叠，

得到双层四边形为正方形.请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时8C的长.

2.(2023•广东广州•一模)定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四

边形.

图①图①备用图图②

（1）如图①，等腰直角四边形ABC。，AB=BC=4,ZABC=90°.

①若8=3,AC_LC。于点C,求AO的长；

②若AO=OC,zfADC=45°,求5。的长；

⑵如图②，在矩形A8C0中AB=6,8c=15,点尸是对角线80上的一点，且BP=2PD,过点尸作直线

分别交边A。，BC于点、E,F,要使四边形45在:是等腰直角四边形，求AE的长.

题型三菱形中的新定义问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•黑龙江哈尔滨•一模）请阅读下面材料，并完成相关任务：

定义：点P是“8c内部或边上的点（顶点除外），在&PBC,3或VPC4中，如果有一个三角形与以8c

相似，那么称点P是“BC的"相似点”.

例：如图①，点P在J3C的内部，4PBe=/BCA,NPC8=NA,则故点P为“3。的

“相似点”.

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

（1）如图②，在中，AB=AC,ZA=36°,尸。平分NAC8,求证：点P为的"相似点”；

⑵如图③，若J3C为锐角三角形，点E是乂的“相似点”，且点6与点A对应，点E在/A8C的平分

__廿BC3_p.BF

线BF上，连接CE,若二入="^，求F7的值；

AC5AB

(3)如图④，在菱形AS8中，E是AB上一点，尸是“BC内一点，且AC=4石尸，连接。石与AC交于点G,

连接。凡GF,若点G是/)斯的“相似点”，且NEDF=NBAC=NFGC,求证：DE=2EF.

通关指导

本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键.

【例2】(22-23八年级下•江苏南京•期末)定义：若一个四边形只有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的

对角线平分一个内角，则称这样的四边形为"近似菱形例如：如图①，在四边形ABCO中，AB=AD,

若8£＞平分/ABC,则四边形A8C拉是近似菱形.

AA

图①图②图③

(1)如图②，在四边形A8C。中，AB=AC,AD//BC,ZCAD=2ZDBC.

求证：四边形ABC。是"近似菱形"，

⑵如图③，已知线段B。，求作“近似菱形"A8C。，使得=BO平分/ABC,且NA与/C互补.

要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明.

(3)在(2)的条件下，"近似菱形"A3CO中NA的取值范围是.

名校模拟

1.定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形.

£­D

⑴如图（a）,“BC是中垂三角形，分别是ACBC边上的中线，且即_LAE于点0,若如E=45。,

求证：是等腰三角形.

⑵如图M在中垂三角形A8C中，AE,8。分别是边8C,AC上的中线，且于点O,求证:

AC2+BC2=5AB2.

（3）如图（c）,四边形A8CO是菱形，对角线AC3O交于点0,点M,N分别是04,0。的中点，连接

并延长，交于点E.求证：二8CE是中垂三角形；

题型四正方形中的新定义问题

典例精讲口

【例1】（新考法，拓视野）（2024•江西宜春•一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边

形”.如图1,四边形A6C。中，AD=CD,4+NC=180,则四边形A6CD叫作“等补四边形”.

①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

②等补四边形ABCO中，若NB:NCND=2:3:4,则N4=_；

③如图1,在四边形A8C及中，80平分/ABC,AD=CD,BC>BA.求证：四边形A8CD是等补四边

形.

(2)探究发现

如图2,在等补四边形A8CO中，AB=AD,连接AC,AC是否平分N8C。？请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,在等补四边形A3CO中，=其外角NEW的平分线交8的延长线于点尸，CD=IO,Af=5,

求。尸的长.

通关指导

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形"

的概念，正确引出铺助线解决问题是解题的关键.

【例2】(2024・浙江•一模)定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边

的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形.例如图1,ZAMB=NCMD=90。,

MA=MB,MC=MD,则四边形ABCO为蝴蝶四边形.

(1)【概念理解】如图2,正方形ABCD中，对角线AC与6。相交丁O.求证：正方形〃68为蝴蝶四边形；

⑵【性质探究】如图3,在蝴蝶四边形ABCD中，Z4MB=ZCAfD=90°.求证：AC=BD；

⑶【拓展应用】如图3,在蝴蝶四边形ABC。中，NAM8=NCMD=90°,MA=MB=&MC=MD=1.当

▲ACO是等腰三角形时，求此时以8。为边的正方形的面积.

名校模拟

1.定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形.如图1,四边形A8CO中，AB=BC,

ZB+ZD=180°（或NA+NC=180°）,则四边形A8CO叫作完美四边形.

⑴概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是"完美四边形"的

是;（填写序号）

⑵性质探究：如图2,完美四边形A8C。中，AB=AD,NBAO=90°,请用等式表示线段4C,BC,CD

之间的数量关系，并证明，

⑶拓展应用：如图3,已知四边形A8CD是完美四边形，ZADC=60°,AB+BC=6,BCHCD,

当14BCX3时，求四边形4BCD面积的最大值.

2.（2023•湖南•一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形

⑴下列选项中一定是“等补四边形”的是:

A.平行四边形；B.矩形；C.正方形；D.菱形

⑵如图1,在边长为〃的正方形A8co中，E为。。边上一动点（E不与C、。重合），AE交BD于点、F,过

?作用_LAE交于点

图1图2备用图

①试判断四边形4778是否为“等补四边形”并说明理由;

②如图2,连接切，求△CE"的周长：

③若四边形EC”厂是“等补四边形"，求CE的长.

3.（2024•江苏淮安•模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定理，并且

能用相关知识解决问题.

【问题再现】

己知：如图1,在“BC中，。、E分别是边48、AC的中点，求证：DE〃BC,DE.BC

【简单应用】

(1)如图2,4、8两地被建筑物阻隔，为测量A、8两地的距离，在地面上选一点C,连接C4、CB,分

别取C4、C3的中点。、E.测得0E的长为20m,贝ijA、8两地的距离为m.

图2图3

(2)如图3,在四边形A8C。中，AD〃BC,悬E、尸分别是8。和AC的中点，AZ)=3,8C=5,求痔的

长.

【灵活运用】

如图4,在边长为6的正方形ABCO中，点E是BC上一点,点尸是A8上一点，点尸关于直线OE的对称

点G恰好在8c的延长线上，FG交DE于点H,点M为AD的中点,若MH=M，求鸵的长.

图4

题型五圆中的新定义问题

典例精5

【例1】（新考法，拓视野）（2024•湖南长沙•一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四

边形

图1图2

⑴若Y48CD是圆的“奇妙四边形”，则YA8C。是（填序号）：

①矩形；②菱形；③正方形

⑵如图1,已知：。的半径为R,四边形A8CD是O。的“奇妙四边形求证：AB2+CD2=4R2;

（3）如图2,四边形A8CA是“奇妙四边形”，P为圆内一点，ZAPD=ZBPC=9O0,/ADP=/PRC,BD=4,

_AP

且=当DC的长度最小时，求能的值.

通关指导

本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练

的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键.

【例2】（2023•江苏泰州•三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

4

（1）如图1,已知在垂等四边形A8CD中，时角线4C与8。交于点E,若4B=4cm,cosZABD=-,

则AC的长度=cm.

【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全

等.如图2,在OO中，已知A8是弦，04、0B是半径，求作：的内接垂等四边形ABCQ.（要求：尺

规作图，不写作法，保留痕迹）

【问题解决】（3）如图3,已知A是。。上一定点，8为0O上一动点，以48为一边作出。。的内接垂等四

边形（A、B不重合且A、B、。三点不共线），对角线AC与8。交于点E,OO的半径为2式,当点£到AO

的距离为右时，求弦AB的长度.

图1图2图3

名校模拟

1.（2。23•江苏宿迁•模拟预测）数学活动课上，指导老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相

等的凸四边形叫做对等四边形.同时老师还给出如下几个问题，请同学们帮忙解决：

⑴如图1,在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为1,已知4、B、C、。在格点（小正方形的顶点）上,

且以48、BC为边的四边形A8CZ）是对等四边形，则顶点。的坐标为：

（2）如图2,在圆内接四边形ABCD中，AB是OO的直径，AC=BD.求证：四边形A3CZ）是对等四边形

⑶如图3,在RUP8C中，ZPCB=90°,fiC=10,tan^BPC=^,点、A为PB中点、,动点。从点P出发,

沿PC以1/秒的速度向终点C运动.设运动时间为，秒，若四边形ABCD是对等四边形时，求，的值.

2.（2023•四川遂宁•一模）定义1：如图1,若点//在直线/上，在，的同侧有两条以〃为端点的线段

满足Z1=Z2,则称MH和NH关于直线/满足“光学性质〃；

定义2：如图2,在AABC中，的三个顶点P、Q、R分别在8C、AC.A8上，若种和关于8C

满足“光学性质〃，和RQ关于AC满足〃光学性质〃，网和QR关于A8满足"光学性质"，则称二尸QR为58C

的光线三角形.

阅读以上定义，并探究问题:

在41BC中，ZA=30°,AB=AC,4）历三个顶点。、E、产分别在BC、AC、A6上.

⑴如图3,若FE"BC,OE和庄:关于AC满足“光学性质〃，求/瓦心的度数；

（2）如图4,在“8C中，作CrXAB于F,以48为直径的圆分别交AC,BC于点E,D.证明：AEF为

J3C的光线三角形.

3.（2023•广东阳江•三模）定义：二ABC中,ZA+2N8=90。，则称二ABC为倍余三角形.

图2备用图

⑴下列说法正确的是

①倍余三角形一定是钝角三角形；

②等腰三角形不可能是倍余三角形.

⑵如图1,..ABC内接于OO,点。在直径8c上（不与8,C重合），满足AB=AO,求证：一AC。为倍余

三角形:

（3）在（2）的条件下，

①如图1,连接A。，若薛4。。也为倍余三角形，求NC的度数；

②如图2,过点。作OE_LBC交4c于点E,若-ABC面积为心包定面积的7.5倍，求空的值.

抢分秘籍12几何图形中新定义型问题

（含三角形，特殊的平行四边形，圆综合）（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

（I中考预测

二角形.特殊的平行四边形.圆中新定义型问题是全国中考的热点和压轴内容,更是全国中考的必考

内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，三角形，特殊的平行四边形，圆中新定义型问题主要是依据基本图形的性质定理去

解决新提出来的新问题，也是高频考点、必考点综合性较强。

2.从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！

■（抢分通关

题型一三角形中的新定义问题

典例精也

［例I］（新考法，拓视野）（2023•江苏苏州•二模）定义：如果三角形的两个。与夕满足&-2=90>那

么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”.

⑴若㈤是“奇妙互余三角形"，ZA>90°,ZB=20°,则/C的度数为

9

(2)如图1,在RtZXABC中，NA=90。，若45=4,8c=5,点。是线段AB上的一点，若=：，判断△BCD

4

是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；

(3)如图2,在四边形A8CD中，AC,BD是对角线,AC=4,8=5,ZBAC=90°,若NACD=2NA5C,

且△5C0是“奇妙互余三角形”，求处的长.

【答案】⑴35。或50。

⑵△3CD是“奇妙互余三角形”，理由见解析

(3)3万

【分析】(1)由题意知，“奇妙互余三角形”分44-/8=90。和44-/。=90。，两种情况求解：根据三角

形内角和定理计算求解即可；

(2)如图1,过点。作庞〃47交BC于E,由勾股定理得AC=⑪刃-=3，CD=jAD2+AC2=-^,

7

-

则皿=二，证明△8£>Es/ijMC,则也二巨=——,即4

-BEDE,解得BE=之，DE=—,

4ABBCAC4—=—1616

CE=BC-BE=—,由===，NDCE=NBCD,证明则/C0E=NCBO,

16CDBC

ZBDC-ZCBD=90P,进而可得△SCO是“奇妙互余三角形”；

(3)如图2,将“BC沿8c翻折到二EBC,DE=CE+CD=9,ZABE+Z4CE=180°,由

ZACD=2ZABC=ZABE,可得NACD+44CE=180。，则。、C、E三点共线，由N88-NABC=90°,

BEDFRF9

△BCD是“奇妙互余三角形”,可得ZBDC=ZABC=/CBE，证明..BED^.CEB，则——=—，即一=——,

CEBE4BE

解得跖=6,由勾股定理得80=7^而m,计算求解即可.

【详解】(1)解：由题意知，“奇妙互余三角形“分4一/5=90。和NA—NC=90。，两种情况求解：

①当乙4-46=90。时，

0/8=20°,

az4=iio°,

由NA+NB+NC=180°,可得NC=50。；

②当NA-NC=90。时，

0ZB=2O°,ZA+ZB+ZC=180°,

@ZA+ZC=160°,

解得NC=35。；

综上，NC的值为35。或50。，

故答案为:35。或50，

(2)解：△BCD是“奇妙百余三角形”，理由如下：

如图1,过点。作庞。交BC于E,

由勾股定理得AC=JBC2-4夕=3,CD=>JAD2+AC2=^,

9

^AD=~,

4

7

回8。=一，

4

^DE//AC>

团ABDEs公BAC,

7

-35

解

生

得

BDBEDE即45=---2I-

13--=--=--,-=-16DE

ABBCAC4316

0CE=BC-BE=——，

16

45

一3

C15

会73

0-16-

C154-

-一-

454

团在二空

NDCE=NBCD,

CDBC

MDCEs^BCD,

©NCDE=NCBD,

自4BDC—/CDE=%°,

BNBDC—/CBD=9Q°,

团△8C。是“奇妙互余三角形”;

（3）解：如图2,将以8c沿8。翻折到.E8C,

ZE=ZftAC=90°,

^\DE=CE+CD=9,NABE+NACE=180。，

^ZACD=2ZABC=ZABE,

0ZACD+ZACE=18O°,

回。、C、E三点共线，

^\ZBCD=ZACD+ZACB=2ZABC+ZACB=9(r+ZABC,

(3N8CD-NABC=90°,

团△BCO是“奇妙互余一:角形”，

田NBCD-NBDC=90°,

团4BDC=ZABC=/CBE，

9NBDE=NCBE,ZBED=ACEB,

⑦uBE*一CEB,

噜窄，即华=2'解得BE=6,

由勾股定理得8。=yjBE2+DE2=3>/13，

0友）的长为3M.

通关指导

本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识.解题

的关键在于理解题意并对知识进行灵活运用.

【例2】（2023•吉林长春•二模）【定义】如图①，若内一点P满足NP4B=NP8C=NPC4,则点P

为的布洛卡点.

【探究】（1）如图②，在“5C中，AB=AC,点P是以8c的一个布洛卡点.

求证：4AB—4BCP.

【应用】（2）如图③，在【探究】的条件下，若N8AC=90。，且PBvPC.判断AP与CP的数量关系，并

说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）CP=2AP,见解析

【分析】（1）找△ABPs/\3CP,证明过程利用等腰三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别

对应相等来证明;

（2）根据“1BC是等腰直角三角形，得到AB=^BC,由（1）知△A8Ps/\8CP,根据相似三角形的性

2

质得到"="=组=也，于是得到CP=®BP，即可得到C尸=2AP.

CPBPBC22

【详解】（1）证明：AB=AC,

ZABC=ZACBt

，点?是“BC的一个布洛卡点，

..ZPBC=NPCA

:.ZABP=ZBCP,

kABjBCP；

（2）解：C尸=2A尸，

理由：..ABC是等腰直角三角形，

AB=—BC^

2

由（1）知△ABW^BCP,

.BPAPAB。2

••—=--=-=—,

CPBPBC2

•••AP=—BP，CP二五BP，

2

:.CP=2AP.

【点睛】本题是相似形的综合题，考查了新概念问题、等腰三角形、等腰直角三角形、相似三角形的判定

定理和性质、涉及知识点多，综合性强，解题的关键是：通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，

然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答.

名校模拟

1.（2023•山东青岛•一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形.如

图①，人力是以BC的中线，下是八£＞的中点，则AF“C是中原三角形.

⑴求口原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）.

（2）如图②，AO是“的中线，E是边AC上的点，AC=3AE,6后与4。相交于点忆连接CF.求证:

二尸8c是中原三角形.

（3）如图③，在（2）的条件下，延长Cr交于点M,连接ME,求△庄M与的面积之比.

【答案】（1）中原三角形与原三角形的面积之比为1：2

(2)见解析

⑶AFEM与.ABC的面积之比为1:18

【分析】(1)由尸是A。的中点，可得S.Mc=gs&c，SDFB=；SD&B，即有5改=35.杵，故中原三角形

与原-:角形的面积之比为1:2；

(2)作CE的中点G,连接。G,由AD是的中线，可得DG是ABCE的中位线，CE=2EG,即得

BE//DG,即所〃DG,根据AC=3A£,CE=2AE,可得AE=EG,即得"=。尸，从而3fBe是中

原三角形；

(3)过。作O”〃CM交于H,由DH〃CM,。是8c中点，F是AO口点，可得AM=MH=BH，

AF1AMMFAF1

即知---=—=----»可得△AA/Es/\A5C,有NAA/E=N/3C,——=——=—»从而ME〃BC,

AC3ABBCAC3

q

，再根据FBC=^S,即得△阳与^ABC的面积之比.

△MEFs^CBF,即有巳典=1sABC0

2血

【详解】(1)解：•・/是AO的中点,

口SDFC=-5加c，SDFB=2S.DAB，

团SDFC+S[)FB='^^.DAC+DAB,

囹SF*=耳s八比，

13中原三角形与原三角形的面积之比为1：2:

(2)证明：作CE的中点G,连接。G,如图:

团AD是“IBC的中线，

(3。是8C中点，

13G是CE中点，

团ZX；是BCE的中位线，CE=2EG,

BBE〃DG,即律〃DG,

0AC=3AE,

^CE=2AE,

团AE=EG,

又丁EF//DG,

^AF=DF＞即尸是A。中点，

团&总C是中原三角形；

(3)解：过。作交A台于“，如图:

⑦DH〃CM,。是3C中点,

0DH!/MF、尸是A。中点，

回4M=M”，

⑦AM=MH=BH，

AM

0——=

AB3

0AC=3AE,

^团A--E-=-1=-A--M-，

AC3AB

又,:ZMAE=^BAC,

MEAE1

回NAME=NA8C,

SC-7C-3

BME//BC,

MEFS&CBF,

团△阳0叮一48c的面积之比为1:18.

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例以及相似三角形的判定

和性质，正确理解新定义是解题的关键.

2.（2023•江苏扬州•二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重

合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友

好三角形”.

⑴如图①，以灰7和VAOE互为“友好三角形”，点。是BC边上一点（异于8点），AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=nf,连接CE,则CEBD（填或"=”或"〉"），瓯E=。（用含机的代

数式表示）.

（2）如图②，和VADE互为“友好三角形”，点D是8c边上点，AB=AC,AD=AE,

NBA。=NAME：=60°,M、N分别是底边8C、。石的中点，请探究MN与C石的数量关系，并说明理由.

（3）如图③，和VA0E互为“友好三角形”，点。是8C边上一动点，AB=AC,AD=AE,

N84C=NZME=90°,BC=6,过。点作OF1AD，交直线CE于/点，若点O从B点运动到C点，直接

写出尸点运动的路径长.

【答案】⑴=,180-m

°MN>/3

⑷----=—

CE2

喧

【分析】（1）由0C=ZDAE=",可得NE4P=NC4E,证明△3AOg4C4E（SAS）,则BO=CE,

ZACE=ZABD,根据N8CE=N8C4+NACE=N/C4+NAB。，计算求解可求N8CE；

（2）如图②，连接AN,AM,由等边三角形的性质可得AN_LOE,AM±BC,NZMN=30。，ZBAM=30°,

则NM4N=NB4D,—=—=^,证明AMANSABA。，则丝=丝=走，同（i）可证

ADAB2BDAD2

△^D^ACAE（SAS）,则BO=CE,进而可得上凹=走；

CE2

（3）由题意知，/在直线CE上运动，由（1）可知，ZBC£=180°-ZE4C=90°,即CE_L5C,如图③,

过A作40SBC于O,则。为5c的中点，当点。在5点时，尸点与G点重合，由AB=AC,ZfiAC=90°,

BC=6,可得NABC=45。，AO=CO=3,则NCBG=-ZABC=45。,CG=BC=6,当点O运动到

O点时，尸点与C点重合，当点。运动到8点时，尸点与尸点重合，则N0A0=NSF',gADs.CDF',

则需"嗡‘即焉=¥，解得,.(3-十3,由T<O,可知当3号

334

3

时，CF最大，值为二，当点。从R点运动到C点，点尸从尸'回到。点，根据尸点运动的路径长为GC+2CF',

4

计算求解即可.

【详解】(1)解：VZBAC=ZBAD+ZDAC,ZDAE=ZDAC+ZCAE,HC=ZmE=",

回N54)=NC4E,

在和VC4E中，

AB=AC

团(N8AO=NC4E,

AD=AE

团△&U屋△CAE(SAS),

回BO=CE,ZACE=ZABD,

0NBCE=ZBG4+ZACE=/BCA+ZABD=180°-ABAC=180°-//f,

故答案为：=,180—/7z：

(2)解：—=^,理由如下：

CE2

如图②，连接AN,AM,

图②

由题意知，一ABC和VAC近均为等边三角形，

团M、N分别是底边8C、OE的中点，

0/W1DE,AMLBC,ZZWV=30°,ZBAM=30°,

^ZDAN=ZDAM+^MAN,ZBAM=ZBAD+ZDAM，/DAN=4BAM,

24MAN=4BAD,

r^AN•6AM•G

0---=sinZ.ADE=—,----=sin/ABC=—,

AD2AB2

⑸ANAMG

ADAB2

团乙M4Ns«84。，

应

团□-M--N=-A--N=---

BDAD2

同（1）可证△BAOg2\CAE（SAS）,

^BD=CE,

6MNG

CE2

(3)解：由题意知，尸在直线CE上运动，

由(1)可知，NBCE=180°-N84C=90°,即CE_L3C,

如图③，过A作AO/BC于O,则O为3c的中点，当点。在B点时，尸点与G点重合,

0AB=AC,NB4C=90°,BC=6,

*ABC=45。，AO=CO=3,

0NCBG=ZABG-ZABC=45°，

⑦CG=BC=6,

当点。运动到O点时，F点号C*重合，

当点D运动到次点时，尸点与尸'点重合，则NOAD=NSF',

0ZAOty=Z£KCF=90°,

CF'DfCCF13-00'

0-----=------,gnpn------=----------，解得e_（3-0。）06

OD'AOOD'3C-i=

3

a-i<o,

33

0当。0=5时，CF最大，值为z，

当点。从DC点运动到C点，点尸从9回到C点,

团尸点运动的路径长为GC+2b'=6+2x：=?,

42

回点。从8点运动到C点，F点运动的路径长为与.

2

【点睛】本题考查「等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数

的性质，正弦，三角形内角和定理.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

3.(2023•浙江宁波•二模)定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似

三角形为会似三角形.

⑴如图1,四边形八38中，对角线AC平分NOM),NBCD+gN即。=180°,求证；△人C2和△ADC为

叠似三角形；

⑵如图2,/XACB和八4£心为叠似三角形，若AB〃CD,力。=4,AC=6,求四边形A8C。的周长；

⑶如图3,在中,/)是上一点，连接AO,点E在AO上，且。E=OC,F为AC中点，且4EC=ZA£F,

EF

若5c=9,AE=4,求——的值.

BE

【答案】(I)见解析

⑵23

(拈

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记定理内容进行几

何推理是解题关键.

(1)根据J/3AO+ND+NOCA=180。，结合条件NBCO+gN8A180。，可得NZ)+NDC4=NBC。：

再由N8G4+NDC4=N8CO可得ND=NBC4,即可求证；

(2)由条件可推出4)=CO=4,AC=BC=6；再根据相似三角形的性质黑=黑求出AB的长度即可

ACAD

求解；

CGCEGE

(3)作CG〃A。，证△8反32\反也得出H=H==；再证△HFE且△CFG得出AE=CG=4,

CEBCBE

EF=；EG.即可求解.

【详解】(1)证明：•・•AC平分NBA。,

团4DAC=Z.CAB=-ABAD

2

0Z£MC-t-ZD+ZDCA=180°,

0-/BAD+ZD+ZDCA=180°

2

回NBCD+gZBAD=180°,

0ZD-ZDC4=ZBCD

回/BCA+ZDCA=/BCD

回ND=N3C4,

团ZXACBsVAOC

团AACB和△ADC为叠似三角形

(2)解：VAB//CD,

回NDC4=NC4B

由(1)得：ZZMC=ZC4B

0ZZMC=ZDC4

@AD=CD=4

回△ACS和△APC为叠似三角形,

13ZDCA=NCBA，――=——

ACAD

(3NCB4=NCAB,

0AC=8C=6,

64

0AB=9

四边形ABC。的周长为：A6+BC+8+AP=9+6+4+4=23

(3)解：作CG〃4O,如图所示：

©DE=DC,

田/DEC=/DCE

^CG/7AD

NOEC=NGCE,ZAEG=ZG

:.ADCE=Z.GCE

©NBEC=ZAEF,

:.NBEC=NG

:ZECs^EGC

.CGCE二GE

'~CE~~BC~~BE

（3户为AC中