中考数学二轮培优复习专题30 中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用（解析版）

专题30中考命题核心元素全等三角形的基本模型的应用（解析版）模块一典例剖析+针对训练模型一平移模型【模型解读】有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．基本图形：典例1（2022春•广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．思路引领：根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，AB=DE∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEF（SAS）．总结提升：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．针对训练1．（2021春•高州市校级月考）如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F．（2）若EA＝CA，∠A＝40°，求∠D的度数．思路引领：（1）由EA∥FB，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠A＝∠EBD，由AB＝CD可得出AC＝BD，结合EA＝FB即可证出△EAC≌△FBD（SAS），再利用全等三角形的性质可证出∠E＝∠F；（2）由EA＝CA，利用等边对等角可得出∠E＝∠ACE，结合∠A＝40°可求出∠ACE＝70°，由△EAC≌△FBD，再利用全等三角形的性质可求出∠D＝70°．（1）证明：∵EA∥FB，∴∠A＝∠EBD．∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD．在△EAC和△FBD中，EA=FB∠A=∠FBD∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F．（2）解：∵EA＝CA，∴∠E＝∠ACE．∵∠A＝40°，∴∠ACE=12×（180°﹣40°∵△EAC≌△FBD，∴∠D＝∠ACE＝70°．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS，证出△EAC≌△FBD；（2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠ACE的度数是解题的关键．2．（2022秋•武城县月考）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE∥BC，∠ADE＝∠ECB，（1）求证：△AED≌△EBC；（2）当AB＝6时，求CD的长．思路引领：（1）根据平行线的性质得∠AED＝∠B，再利用AAS证明△AED≌△EBC即可；（2）利用SAS证明△DEC≌△BCE，得CD＝BE，从而得出答案．（1）证明：∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，在△AED与△EBC中，∠ADE=∠ECB∠AED=∠B∴△AED≌△EBC（AAS）；（2）解：∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵△AED≌△EBC，∴ED＝BC，在△DEC和△BCE中，DE=BC∠DEC=∠ECB∴△DEC≌△BCE（SAS），∴CD＝BE，∵点E为AB的中点，∴BE=12∴CD＝BE＝3．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．模型二对称模型【模型解读】所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．基本图形：典例2（2021秋•黄埔区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．（3）在“筝形”ABCD中，已知AC＝6，BD＝4，求“筝形”ABCD的面积．思路引领：（1）根据SSS即可得出结论；（2）由△ABC≌△ADC，得出∠BAC＝∠DAC，进而根据SAS判断出△ABO≌△ADO，即可得出结论；（3）由∠BOA＝∠DOA判断出AC⊥BD，即可求出答案．（1）证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABO和△ADO中，AB=AD∠BAC=∠DAC∴△ABO≌△ADO（SAS），∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA；（3）由（2）知，∠BOA＝∠DOA，∵∠BOA+∠DOA＝180°，∴∠BOA＝90°，即AC⊥BD，∴“筝形”ABCD的面积为12BD•AC=12总结提升：此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，“筝形”的面积求法，判断出△ABC≌△ADC是解本题的关键．针对训练1．（2022秋•梁溪区校级期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．（1）求证：△ABO≌△DCO；（2）若∠OBC＝34°，求∠OCB的度数．思路引领：（1）根据AAS即可得出结论；（2）由△ABO≌△DCO，得出OB＝OC，即可推出结果．（1）证明：在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCO∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝34°．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．模型三一线三垂直【模型解读】一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC⊥CD)，分别过直角两边上的点向过直角顶点的直线作垂线(AB⊥BC，DE⊥CE)．利用“同角的余角相等”找等角(如∠1＝∠2)．基本图形：典例3（2017秋•汝城县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上运动，且始终保持BE＝CF．连接AE、BF．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）求证：AE⊥BF；（3）若AB＝10cm，红蚂蚁P以2.6厘米/秒的爬行速度从点B出发，黑蚂蚁Q以3厘米/秒的爬行速度从点C同时出发，都逆时针沿正方形ABCD的边爬行，求经过多长时间，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的哪条边上相遇？思路引领：（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等；（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF；（3）由黑蚂蚁Q的路程﹣红蚂蚁P的路程＝30cm，列出方程可求解．证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS）；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CAF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF；（3）设经过x秒，两只蚂蚁第一次相遇，由题意可得：3x﹣2.6x＝30∴x＝75秒，∴75×3＝5×40+25，∴经过75秒，两只蚂蚁第一次在正方形ABCD的AB边上相遇．总结提升：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．针对训练1．（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC思路引领：（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），∴AB+CDBC总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（2022•定远县模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点．（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是AP⊥BC；（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是CF＝BE+EF；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP＝AM；（4）如图4，已知BC＝4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．思路引领：（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用AAS证明△ACF≌△BAE，得CF＝AE，AF＝BE即可；（3）由（2）同理可证CF＝AE．再利用ASA证明△CFP≌△AEM，得CP＝AM；（4）用两种方法表示△ABC的面积，可得d1+d2=8AP，当AP解：（1）∵点D是BC的中点，∴AP⊥BC，故答案为：AP⊥BC；（2）CF＝BE+EF，∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∠BAE＝∠ACF，∵AB＝AC，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴CF＝AE，AF＝BE，∴CF＝BE+EF，故答案为：CF＝BE+EF；（3）CP＝AM，理由如下：证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP．∴∠AFC＝∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°．∴∠BAE＝∠ACF．又∵AB＝AC．∴△ACF≌△BAE（AAS）．∴∠BAE＝∠ACF，CF＝AE．∵在等腰Rt△ABC中，点D是BC的中点．∴∠BAD＝∠ACD＝45°∵∠BAE＝∠ACF．∴∠EAM＝∠FCP．在△CFP和△AEM中，∠FCP＝∠EAM，CF＝AE，∠CFP＝∠AEM∴△CFP≌△AEM（ASA），∴CP＝AM；（4）∵AD⊥BC，∴S△ABC由图形可知，S△ABC∴d1∴当AP⊥BC时，AP最小，此时AP＝2；∴d1+d2最大值为4．总结提升：本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出d1模型四旋转模型【模型解读】可看成将三角形绕着公共顶点旋转一定角度，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：(1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中．(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差得到等角．典例4（2021秋•长丰县月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．思路引领：（1）根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而可以解决问题；（3）连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根据AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AFB＝∠CFO，∴∠COF＝∠BAC＝48°，∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，答：∠COD的度数为132°．（3）证明：如图，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵AD＝AE，GE＝OD，在△ADO和△AEG中，AD=AE∠ADO=∠AEG∴△ADO≌△AEG（SAS），∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，∵AG＝OC，∴OA＝OC，∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，由（2）知：∠COF＝∠BAC，∴∠COF＝∠OAG，∵AG∥BD，∴∠AOF＝∠OAG，∴∠COF＝∠AOF，∵OA＝OC，∴BD⊥AC．总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质以及角之间的关系，判断出∠COF＝∠AOF，是解本题的关键．针对训练1．（2022春•驻马店期末）如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）试说明：△ABE≌△DBC；（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．思路引领：（1）根据SAS可证明△ABE≌△DBC；（2）证得∠BAM＝∠BDN．证明△ABM≌△DBN．得出BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．得出∠ABD＝90°．则结论得证．（1）证明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°．在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN，在△ABM和△DBN中，AB=DB∠BAM=∠BDN∴△ABM≌△DBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，∴MB⊥BN．总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2021•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，AG=AE∠GAD=∠EAB∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝32．∴由勾股定理得：EG=(3AH＝GH=12∴DH=A∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．总结提升：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，能求出△AGD≌△AEB是解此题的关键模块二2023中考押题预测1．（2021秋•西山区期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．思路引领：根据BE＝CF求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）．总结提升：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．2．（2020秋•开福区月考）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；（2）若AD平分∠BDE，求证：AE＝AC．思路引领：（1）由AD＝AB，得∠B＝∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC＝∠C，那么∠C+∠DAC＝∠EAC+∠DAC，即∠ADB＝∠DAE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，那么∠B＝∠BAC．已知∠C＝40°，根据三角形内角和定理求得∠B＝70°．（2）欲证AE＝AC，可证△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA＝∠ADE，那么∠B＝∠ADE．由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，从而推断出△ABC≌△ADE．解：（1）∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB．∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C．又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠C．∵∠BDA＝∠C+∠DAC，∴∠BDA＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC．又∵∠B＝∠BDA，∴∠B＝∠BAC．∵∠C＝40°，∴∠B+∠BAC＝180°﹣∠C＝140°．∴2∠B＝140°．∴∠B＝70°．（2）由（1）得：∠B＝∠ADB．∵AD平分∠BDE，∴∠BDA＝∠ADE．∴∠B＝∠ADE．∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．∴∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA）．∴AE＝AC．总结提升：本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．3．（2022秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．（1）求证：△ACB≌△EBD；（2）若DB＝12，求AC的长．思路引领：（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠DEB＝∠A，在△ACB和△EBD中，∠ACB=∠EBD=90°∠A=∠DEB∴△ACB≌△EBD（AAS）；（2）解：∵△ACB≌△EBD，∴BC＝DB，AC＝EB，∵E是BC的中点，∴EB=1∵DB＝12，BC＝DB，∴BC＝12，∴AC＝EB=12总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图（1）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP∽△PCD（填：“≌”或“～”）；（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，PEPF（3）拓展延伸：设AE＝t，当△EPF面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．思路引领：（1）根据矩形的性质找出∠B＝∠C＝90°，再通过角的计算得出∠BAP＝∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B＝∠FHP＝90°、∠BEP＝∠HPF，由此即可得出△BEP∽△HPF，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S＝4.2求出t值，此题得解．解：（1）如图2中，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠BPA＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPA+∠CPD＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，故答案为：∽．（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，∵矩形ABCD中，AB＝2，∴∠B＝∠FHP＝90°，HF＝AB＝2，∴∠BPE+∠BEP＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPE+∠HPE＝90°，∴∠BEP＝∠HPF，∴△BEP∽△HPF，∴PEPF∵BP＝1，∴PEPF（3）分两种情况：①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．∵AE＝t，AB＝2，∴BE＝2﹣t．由（2）可知：△BEP∽△HPE，∴BEHP=PE∴HP＝4﹣2t．∵AF＝BH＝PB+PH＝5﹣2t，∴S＝S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF＝AB•AF−12AE•AF−12BE•PB−12PH•FH＝t2﹣4当S＝4.2时，t2﹣4t+5＝4.2，解得：t＝2±45∵0≤t≤2，∴t＝2−4②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，∵AE＝t，BP＝1，∴PK＝1﹣t．同理可证：△PKE∽△FCP，∴PKFC=EK∴FC＝2﹣2t．∴DF＝CD﹣FC＝2t，DE＝AD﹣AE＝5﹣t，∴S＝S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF＝CD•DE−12EK•KP−12DE•DF−12PC•FC＝t2﹣2当S＝4.2时，t2﹣2t+5＝4.2，解得：t＝1±55∵0≤t≤1，∴t＝1−5综上所述：当点E在AB上时，S＝t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S＝4.2时，t＝2−455；当点E在AD上时，S＝t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S＝4.2时，t总结提升：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出PEPF=BPHF；（3）分点E在5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C点任作一条直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N．（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，MN，AM，BN有什么关系呢？为什么？（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN与AM，BN之间的数量关系并说明理由.思路引领：（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC+∠ACM＝90°，又∠ACB＝90°，则∠ACM+∠NCB＝90°，可得∠MAC＝∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，即得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝MC+CN＝AM+BN；（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，故MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．解：（1）MN＝AM+BN；理由如下：∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCB∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN，CM＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN；（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN＝AM﹣BN．理由如下：∵AM⊥PQ于M，BN⊥PQ于N，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠NCB＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠CNB∠MAC=∠NCB∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN，CM＝BN，∴MN＝CN﹣CM＝AM﹣BN．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．6．（2021•泗洪县三模）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．思路引领：先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．7．（2021秋•迁安市期末）小明将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．猜想线段CD与BE的数量关系和位置关系，并证明．思路引领：证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题．解：BE＝CD．CD⊥BE．证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝45°，∴∠ACD+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BE．总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．8．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．思路引领：（1）结论：AG=2BC+EC．证明△AFM≌△EFC（SAS），推出EC＝AM，∠M＝∠ECF，再证明△ACM≌△BCG（AAS），推出AM＝BG（2）分两种情形：点E在线段DC的延长线上时，点E在线段CD的延长线上时，分别画出图形考虑问题即可．解：（1）结论：AG=2BC+EC理由：如图1中，延长CF到M，使得FM＝CF．∵AF＝EF，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AFM≌△EFC（SAS），∴EC＝AM，∠M＝∠ECF，∵GC⊥CF，∴∠GCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACM＝∠BCG，∵CD⊥AB，∴∠G+∠GCD＝90°，∠GCD+∠ECF＝90°，∴∠G＝∠ECF＝∠M，∵CA＝CB，∴△ACM≌△BCG（AAS），∴AM＝BG，∴EC＝BG，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴AB=2BC∴AG＝AB+BG=2BC+EC（2）①如图2﹣1中，当点E在线段DC的延长线上时，AG＝|2BC﹣EC|．理由：延长CF到H，使得FH＝CF．同法可证，△AFH≌△EFC（SAS），△ACH≌△BCG（AAS），∴EC＝AH，AH＝BG，∵AB=2BC∴AG＝|2BC﹣EC|．②如图2﹣2中，当等E在线段CD的延长线上时，AG=2BC+CE总结提升：本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．（2020秋•盐都区期末）已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．思路引领：根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，进而解答即可．证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BDAB=BA∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD解答是解题的关键．10．（2021•南通一模）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝32，求BE的长．思路引领：（1）根据正方形性质求出A＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠GAE＝90°，求出∠BAE＝∠DAG，根据SAS推出△AGD≌△AEB即可；（2）根据勾股定理求出DH、EG，求出GH，根据全等得出BE＝DG，即可求出答案．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG