2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：基本不等式

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编基本不等式一、单选题1．（2021·北京师大附中高一期中）某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（

）A．20 B．30 C．40 D．602．（2021·北京八中高一期中）函数的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·101中学高一期中）设，若关于的不等式对恒成立，则的最小值是（

）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）已知，则的最小值为（

）A． B．3 C．4 D．56．（2021·北京·人大附中高一期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知正数、满足，则有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值二、填空题8．（2021·北京市十一学校高一期中）不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________.9．（2021·北京·101中学高一期中）若正实数满足，则的最小值是___.10．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知均为正实数，则的最小值为___________.11．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）已知，则的最大值为____.12．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期中）定义运算“”：（）.当时，的最小值是_______.13．（2021·北京·北师大二附中高一期中）若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.14．（2020·北京八中高一期中）已知，且，则的最大值为_____．三、双空题15．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知，则函数在当等于________时函数有最小值为________.16．（2021·北京八十中高一期中）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是________，此时高是_________．

参考答案1．B【解析】先根据题意列出一年的总运费与总存储费用之和的关系式，然后利用均值不等式进行求解.【详解】某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，即吨时，等号成立，所以每次购买吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.故选：B.2．C【解析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以，故选：C3．A【解析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.【详解】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选：A4．C【解析】根据基本不等式，先求的的最小值，然后由再求解a值.【详解】因为由，当且仅当，即时取等号.则，可得，所以的最小值是9故选：C5．B【解析】利用均值不等式，即得解【详解】由题意，，根据均值不等式当且仅当，即时等号成立故选：B6．D【解析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.故选：D.7．C【解析】利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵正数、满足，∴，当且仅当时取等号，即有最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题.8．【解析】由题意可知，原问题等价于对任意恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，由此即可求出结果.【详解】因为，所以又对任意恒成立，所以对任意恒成立，又，当且仅当，即时取等号；所以.故答案为：.9．【解析】由基本不等式放缩得出关于的不等式，然后解不等式得结论．【详解】由已知，解得，当且仅当即，时等号成立，故答案为：．10．6【解析】利用均值不等式即得解【详解】由题意，均为正实数，则当且仅当，即时等号成立故的最小值为6故答案为：611．【解析】由基本不等式xy即可求解【详解】解：∵x，y均为正实数，x+y＝3，则xy，则x＝y＝时，xy的最大值是．故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．12．【解析】由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.考点：1.新定义运算；2.基本不等式.13．【解析】，当且仅当时等号成立.【考点】基本不等式.14．【解析】将化为后，根据基本不等式可求得结果.【详解】因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．

【解析】利用基本不等式可求得函数的最小值及其对应的的值.【详解】当时，，则，当且仅当时，因为，即当时，等号成立.故答案为