第九章 解三角形 B卷 高一数学人教B版(2019)必修四单元测试卷（含解析）

第九章解三角形（B卷能力提升）

——高一数学人教B版(2019)必修四单元测试AB卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，则A等于()A. B. C. D.2.在中，，则()A. B. C. D.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为()A. B. C. D.5.在中，，，，且交于点D，，则()A. B. C. D.6.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边.若的面积为，，则周长L的取值范围是()A. B. C. D.7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为()A. B. C. D.8.已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，若，则面积的最大值为()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则下面说法错误的是()A.B.是锐角三角形C.的最大内角是最小内角的2倍D.内切圆半径为10.如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为，在某天观察到某航船在A处，此时测得，后该船行驶至B处，此时测得，，，则()A.当天时，该船位于观测点C的北偏西方向B.当天时，该船距离观测点C的距离为C.当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为D.该船在由A行驶至B的这内行驶了11.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则()A.B.若，则周长的最大值为C.若D为AC的中点，且，则的面积的最大值为D.若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且，则的最小值为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，则外接圆的半径为___________.13.山东省科技馆新馆（如图1）目前成为济南科教新地标，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和科技无限.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为___________米.14.在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c.若，其外接圆半径，且，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，证明：为直角三角形.16.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A.（2）若的面积为，，求BC边上的高.17.（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，，求的面积；(2)若角C为钝角，求的取值范围．18.（17分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且___________.（1）求角C的大小；（2）已知，D是边AB的中点，且，求CD的长.19.（17分）在钝角三角形ABC中，内角，B，C的对边分别为a，b，c，，且.（1）求角B的大小.（2）若点D在边BC上，且，求的值.

答案以及解析1.答案：C解析：因为，由正弦定理可得，又因为，由余弦定理得，又因为，所以.故选C.2.答案：B解析：因为，所以由正弦定理得，即，则，故.又，所以.故选B.3.答案：B解析：由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形状为直角三角形.故选B.4.答案：D解析：由及正弦定理，得，可得，由余弦定理得，又，所以.又，，由，得.故选：D.5.答案：B解析：由，，得，而为锐角，则，在中，由余弦定理得，所以.故选：B6.答案：C解析：因为的面积为，，所以，得.由余弦定理得，所以由基本不等式得，所以，当且仅当时等号成立.又，所以，即.故选C.7.答案：B解析：在中，，，，所以.因为中，，，所以，由题意得，，故.在中，由正弦定理得，即，故，故，故选B.8.答案：C解析：由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面积的最大值为，故选：C.9.答案：BC解析：因为中，，，，由正弦定理，可得，故A正确；因为，所以，由余弦定理可得，又，所以C为钝角，所以为钝角三角形，故B不正确；由题意可知，最大内角为C，最小内角为A，由余弦定理可得，可得，故C不正确；由，可得，可得的面积为.设内切圆的半径为r，可得，解得，故D正确.故选BC.10.答案：ABD解析：对于A选项，，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西方向，故A正确；对于B选项，在中，，，则.由正弦定理，得，故B正确；对于C选项，在中，，，则，则，于是，故C不正确；对于D选项，在中，由余弦定理得，即，故D正确.故选ABD.11.答案：ACD解析：由及正弦定理可得，又，所以，，则，因为，所以，故A正确；若，则的外接圆直径，，，，所以，所以周长的最大值为9，故B错误；若D为AC的中点，且，则，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；由题意得，即，即，即.所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ACD.12.答案：3解析：因为，所以，又，，所以，又，所以，因为，所以，则，记的外接圆半径为R，则由正弦定理得，所以.13.答案：解析：由题意，，，所以，则在中，，.因为，，所以.解法一：在中，由正弦定理得，，所以.在中，，由余弦定理得，，所以，故A，B两点之间的距离为米.解法二：.在中，由正弦定理得，，所以.在中，，由余弦定理得，所以，故A，B两点之间的距离为米.14.答案：1解析：因为，所以，，又因为，所以，即.因为，所以，则，进而有，于是.因为，，所以.15.答案：(1)；(2)证明见解析解析：（1）由，可得，所以，所以，则，即.（2）证明：由（1）可得.又，所以，即，故，所以，即，因为，所以C为锐角，解得（负值舍去），即，，所以为直角三角形.16.答案：（1）（2）解析：（1）由已知条件及正弦定理，得.又，，则，，则.又，，则，解得.（2）由的面积为，得，，则.由余弦定理，得，.又，，解得.，.设BC边上的高为h，则，.17.答案：(1)(2)解析：(1)因为，所以由余弦定理可得：，由正弦定理得：，又因为则有，因为，所以，则，因为，所以由余弦定理得：，因为，所以，解得，所以的面积(2)因为C为钝角，所以，解得，由正弦定理，得，且代入化简得：因为，所以，即，所以的取值范围是18.答案：（1）（2）解析：（1）方案一：选条件①.由及正弦定理，可得，即，由余弦定理，得.又，所以.方案二：选条件②.由及正弦定理得，所以，因为，所以，又，所以，又，所以.方案三：选条件③.由及正弦定理，可得，因为，所以，所以.在中，，可得，故.因为，所以，故，因此.（2）解法一：因为D是边AB的中点，所以，由（1）知，因为，所以，故，故.由余弦定理得，故，因为，所以，.易知，所以，所以，故CD的长为.解法二：因为D是边AB的中点，所以，由（1）知，因为，所以，故，故.由余弦定理得，故，因为，所以，.在中，，，所以，即CD的长为.解法三：由余弦定理得①，因为，所以，由余弦定理得，，因为D是边AB的中点，所以，故②，在中，③，由②③得，，代入①，得.因为，所以，.所以，即CD的长为.解法四：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，因为D是边AB的中点，所以.因为，所以直线AC的斜率为，所以.又，所以，所以，故CD的