第六章 导数及其应用 A卷 单元测试卷（含解析） 高二数学人教B版(2019)选修三

第六章导数及其应用（A卷基础夯实）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则()A.-1 B.-2 C.1 D.22.一质点的运动方程为，若该质点在时间段上的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是()A. B.3 C.6 D.3.已知函数，曲线在点处的切线方程为，则()A.-4 B.-2 C.2 D.44.已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为()A.和 B. C. D.和5.若函数，且恒成立，则实数a的最大值为()A.3 B.4 C. D.6.已知函数在处有极值0，则()A.27或54 B.27 C.54 D.27或587.长征五号B运载火箭是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号B运载火箭的整流罩外形是冯·卡门曲线外形，可以更好地减小空气阻力，减轻载荷所受影响.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高之比为，则该模型体积的最大值为()A. B. C. D.8.已知，定义运算@：，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意，恒成立，则a的最小值为()A. B. C.e D.2e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以是()A. B.C. D.10.已知函数，则()A.有两个极值点B.在上单调递减C.关于x的方程有唯一实数根D.有两个零点11.设函数，则()A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点为曲线的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则___________.13.已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________.14.若对任意，都有（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数，，.(1)当时，求函数的最小值；(2)若直线是曲线的切线，求证：对任意的，都有.16.（15分）已知函数，当时，有极大值.（1）求实数a，b的值；（2）当时，证明：.17.（15分）已知函数，.（1）判断的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.18.（17分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.19.（17分）已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程.（2）讨论的单调性.（3）当时，证明：.

答案以及解析1.答案：B解析：，，，解得.故选B.2.答案：D解析：由题意得，当无限趋近于0时，无限趋近于，故该质点在时的瞬时速度为.3.答案：B解析：由题得，所以，解得，所以，可得，所以切点为，将的坐标代入切线方程得，所以.故选B.4.答案：D解析：，令，即，由题图可得，故函数的单调递减区间为和，故选D.5.答案：C解析：由题得.令，则.令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数a的最大值为.6.答案：C解析：因为函数在处有极值0，所以，且.因为，所以解得或当时，，所以函数在处无极值，故舍去.当时，满足题意，所以，所以.故选C.7.答案：C解析：设圆锥的高为，则圆柱的高为3h，底面圆半径为，则该模型的体积.令，则，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取到最大值，模型的体积V取到最大值，故选C.8.答案：B解析：因为所以，即，所以，即对任意，恒成立.设，因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，，所以当时，单调递增.因为对任意，恒成立，所以对任意，恒成立.所以对任意，恒成立.即恒成立.设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，.所以对任意，恒成立，只需即可.故a的最小值为.故选：B9.答案：BC解析：由，得，设切点坐标为，则，则过切点的切线方程为，把点代入，可得，整理得，解得或.当时，切线方程为；当时，切线方程为.故选BC.10.答案：AC解析：由题知，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，故A正确；在上不具有单调性，故B错误；又，，，存在，使得，又，，有三个零点，故D错误；关于x的方程有唯一实数根，等价于曲线与直线有一个交点，因为，当时，，所以关于x的方程有唯一实数根，故C正确，故选AC.11.答案：AD解析：由题可知，.对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.12.答案：解析：因为，所以曲线在点处的切线斜率为3，则所求的切线方程为，即.因为直线与抛物线相切，联立方程得消去y得，，解得.13.答案：解析：由，得，即.由及的图象，知，所以.记，，则.因为，所以，所以.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以.14.答案：解析：因为对任意，恒成立，所以有恒成立.令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.15.答案：(1)0(2)证明见解析解析：(1)当时，，则，令，解得；令，解得，在区间上单调递减，在区间上单调递增.，函数的最小值为0.(2)由已知得，设切点为，则且，解得，，，.要证，即证，即证，即证，令，，原不等式等价于，即，设，则，在区间上单调递增，，即成立，所以对任意，都有.16.答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）函数的定义域为，且，因为时，有极大值，所以，解得，，经检验，当，时，在时有极大值，所以，.（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证.设，则，当时，，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，故当时，.17.答案：（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减（2）解析：（1）由题知的定义域为，.若，则，在上单调递减，若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上可得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）恒成立，即恒成立.设，则恒成立.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，因为恒成立，所以，易知，所以，即，所以实数a的取值范围是.18.答案：（1）（2）解析：（1）当时，，所以，所以.又，所以所求切线方程为，即.（2）.①当时，若，则，，所以，所以在上无零点，不符合题意.②当时，.令，则，所以在上单调递增，，.（a）若，则，所以时，在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在，上均无零点，不符合题意.（b）若，则，所以时，存在，使得.所以在上单调递减，在上单调递增.，，.（ⅰ）当，即时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以在上无零点，不符合题意.（ⅱ）当，即时，存在，，使得，所以在，上单调递增，在上单调递减.因为，所以，当时，所以在上存在一个零点，即在上存在一个零点，因为，当时，，所以在上存在一个零点，即在上存在一个零点.综上，a的取值范围是.19.答案：（1）（2）见解析（3）证明见解析解析：（1）当时，，则，所以，且.所以所求切线方程为，即.（2）函数的定义域为，则.①当时，由，得；由，得.所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.②当，即时，易得，所以函数在区间上单调递增.③当，即时，由，得或；由，得，所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减.④当，即时，由，得；由，得.所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.⑤当，即时，由，得或；由，得.所