2024-2025学年福建省部分高中高二上学期第二次阶段性质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第二次阶段性质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为.故选：D.2.已知数列满足，则（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】由，可得，同理可得，所以数列是周期为3的数列，则.故选：B.3.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故选：D．4.已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆离心率为（）A B. C. D.【答案】D【解析】设,则，因，由余弦定理：，则，，则.故选：D5.已知等差数列的前和为，，则（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故选：A.6.在平面直角坐标系中,点为圆上一动点,点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知的圆心为，半径为；且直线过定点0,2，当圆心与定点的连线与直线垂直时，圆心到直线距离最大为，因此可知圆上的点到直线距离的最大值为.故选：B7.已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，，即，设点，，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故选：B.8.经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，抛物线的准线方程为，因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，与联立得，设，显然，则，，故，设直线倾斜角为，则，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是B.直线经过第一、二、三象限C.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为D.过点，且倾斜角为90°的直线方程为【答案】ABD【解析】对于A，令x=0，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确；对于B，直线

的斜率为，在y轴上的截距为，易知直线经过第一、二、三象限，B正确；对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为y=2x；当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得，此时直线方程为，故C错误；对于D，倾斜角为90°的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.故选：ABD.10.给出下列命题，其中是真命题的是（）A.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是B.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量为D.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为【答案】BC【解析】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题；显然不共面，，所以选项B为真命题；向量在向量上的投影向量为，所以选项C为真命题；由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二，当三点共线的时候有最小值为,由题可知，由余弦定理可知，所以选项D为假命题；故选：BC11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为,其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，所以B错误，所以由，得，，，所以A正确，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，因为，所以，因为，，所以，所以，所以C错误，故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是椭圆上的一点,且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为_____________.【答案】【解析】设，且，由可得故，故，，则，平方可得，化简可得，求得，故，故答案为：13.已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．【答案】【解析】由题知，设Ax则，，又，所以，抛物线方程为，联立，得，无解，则直线与抛物线没有公共点，设与抛物线相切且与平行的直线为，则联立，得，则，解得，则的最小值为.故答案为：14.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），给出下列结论：①存在点，使得；②不存在点，使得异面直线与所成的角为；③点到平面的距离有最小值无最大值；④当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大．其中正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，对于①，假设存在点，使得，则，所以，解得，不符合题意，所以①错误；对于②，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，所以，此时方程无解，所以不存在点使得异面直线与所成的角为，所以②正确；对于③，如图所示，连接，设，因为，所以，无最小值也无最大值，又因为平面，且是线段的中点，可得点到平面的距离为，所以三棱锥的体积，无最大值也无最小值，又的面积为定值，则三棱锥的高也即点到平面的距离，也无最大值和最小值，所以③错误；对于④，由，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为，设直线与平面所成的角为，可得，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，单调递增，因为在为增函数，所以也逐渐增大，所以④正确.故答案为：②④.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．解：（1）设圆的方程为，由已知得，解得，，，所以圆的方程为，即；（2）①若直线有斜率，可设的方程为，即，由已知，则圆心到直线的距离解得，此时，直线的方程为，即；②若直线没有斜率，则的方程为，将其代入，可得或，即得，，满足条件，综上所述，直线的方程为或．16.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．（1）求抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线AB过定点；解：（1）抛物线，,其焦点为，准线方程为，可得，且，解得，或（舍去），，则抛物线的方程为；（2）如图，设直线的方程为，，联立，可得，则，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直线恒过定点.17.在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为.（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成夹角的正弦值.解：（1）底面为矩形，则，又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，而平面，所以，又侧面为正三角形，是中点，所以，又，平面，所以平面；（2）取中点，连接，则，又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，则，，平面的一个法向量是，因为与平面所成角的正弦值为.，所以，解得（负值舍去），，，所以直线与直线所成角的余弦值为；（3）由（2）知，设平面的一个法向量是，则，取，则，，所以为平面的一个法向量，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，所以为平面的一个法向量，，设平面与平面所成夹角为，则，从而．所以平面与平面所成夹角的正弦值为．18.已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，是双曲线上的两点，且线段AB的中点为，求直线AB的方程；（3）设双曲线C：的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率.解：（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，解得，则所求双曲线的标准方程为；（2）不妨设,，,，因为线段的中点为，所以，，因为，两点都在双曲线上，所以，可得，即，则，所以直线的方程为，即，联立，则，故直线与双曲线有两个交点，从而可得直线方程为，即.（3）由题可设直线的方程为，即，由原点到直线的距离为得，即，两边同时除以得，整理得，解得或，故双曲线的离心率为或.19.已知数列中，，数列满足：．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求的值；（3）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．解：（1）因，又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．∴.（2）由，得，即时，；时，，∴（3）由，得又函数在和上均是单调递减．由函数的图象，可得：，.福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第二次阶段性质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为.故选：D.2.已知数列满足，则（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】由，可得，同理可得，所以数列是周期为3的数列，则.故选：B.3.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故选：D．4.已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆离心率为（）A B. C. D.【答案】D【解析】设,则，因，由余弦定理：，则，，则.故选：D5.已知等差数列的前和为，，则（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故选：A.6.在平面直角坐标系中,点为圆上一动点,点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知的圆心为，半径为；且直线过定点0,2，当圆心与定点的连线与直线垂直时，圆心到直线距离最大为，因此可知圆上的点到直线距离的最大值为.故选：B7.已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，，即，设点，，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故选：B.8.经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，抛物线的准线方程为，因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，与联立得，设，显然，则，，故，设直线倾斜角为，则，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是B.直线经过第一、二、三象限C.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为D.过点，且倾斜角为90°的直线方程为【答案】ABD【解析】对于A，令x=0，求得，则直线在y轴上的截距为，故A正确；对于B，直线

的斜率为，在y轴上的截距为，易知直线经过第一、二、三象限，B正确；对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为y=2x；当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得，此时直线方程为，故C错误；对于D，倾斜角为90°的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.故选：ABD.10.给出下列命题，其中是真命题的是（）A.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是B.已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量为D.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为【答案】BC【解析】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题；显然不共面，，所以选项B为真命题；向量在向量上的投影向量为，所以选项C为真命题；由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二，当三点共线的时候有最小值为,由题可知，由余弦定理可知，所以选项D为假命题；故选：BC11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为,其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，所以B错误，所以由，得，，，所以A正确，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，因为，所以，因为，，所以，所以，所以C错误，故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是椭圆上的一点,且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为_____________.【答案】【解析】设，且，由可得故，故，，则，平方可得，化简可得，求得，故，故答案为：13.已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．【答案】【解析】由题知，设Ax则，，又，所以，抛物线方程为，联立，得，无解，则直线与抛物线没有公共点，设与抛物线相切且与平行的直线为，则联立，得，则，解得，则的最小值为.故答案为：14.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），给出下列结论：①存在点，使得；②不存在点，使得异面直线与所成的角为；③点到平面的距离有最小值无最大值；④当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大．其中正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，对于①，假设存在点，使得，则，所以，解得，不符合题意，所以①错误；对于②，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，所以，此时方程无解，所以不存在点使得异面直线与所成的角为，所以②正确；对于③，如图所示，连接，设，因为，所以，无最小值也无最大值，又因为平面，且是线段的中点，可得点到平面的距离为，所以三棱锥的体积，无最大值也无最小值，又的面积为定值，则三棱锥的高也即点到平面的距离，也无最大值和最小值，所以③错误；对于④，由，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为，设直线与平面所成的角为，可得，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，单调递增，因为在为增函数，所以也逐渐增大，所以④正确.故答案为：②④.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．解：（1）设圆的方程为，由已知得，解得，，，所以圆的方程为，即；（2）①若直线有斜率，可设的方程为，即，由已知，则圆心到直线的距离解得，此时，直线的方程为，即；②若直线没有斜率，则的方程为，将其代入，可得或，即得，，满足条件，综上所述，直线的方程为或．16.已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．（1）求抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线AB过定点；解：（1）抛物线，,其焦点为，准线方程为，可得，且，解得，或（舍去），，则抛物线的方程为；（2）如图，设直线的方程为，，联立，可得，则，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直线恒过定点.17.在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为.（1）求证：平面