函数的极值与导数-图课件

函数的极值与导数函数的极值是函数在某一点取得的最大值或最小值。导数可以用来求函数的极值，因为它可以帮助我们找到函数的递增和递减区间。函数极值的概念函数的最大值在一个给定的区间上，函数取到的最大值称为该函数在该区间上的最大值。函数的最小值在一个给定的区间上，函数取到的最小值称为该函数在该区间上的最小值。局部最大值函数在某一点的函数值比该点附近其他点的函数值都大，则称该点为函数的局部最大值点。局部最小值函数在某一点的函数值比该点附近其他点的函数值都小，则称该点为函数的局部最小值点。寻找函数极值的步骤1求导求函数的一阶导数2解方程求导数为零或导数不存在的点3判断极值利用导数的符号变化判断极值4验证极值验证导数在临界点的符号一元函数的最大值和最小值最大值函数在定义域内取得的最大值，即函数值最大的点。最小值函数在定义域内取得的最小值，即函数值最小的点。一元函数的临界点定义一元函数f(x)的导数在x=a处不存在或等于0，则称点x=a为f(x)的临界点。这意味着在临界点处函数的斜率可能为0或不存在。分类临界点可以分为两类：驻点和不可导点。驻点是指导数为0的点，而不可导点是指导数不存在的点。重要性临界点是函数可能取得极值的点，它们是寻找函数极值的必要条件。因为在临界点处，函数的增长或下降趋势可能发生变化。一元函数的驻点1导数为零驻点是指一元函数导数为零的点，即函数图像的切线斜率为零的点。2可能极值点驻点可能是函数的极值点，但也可能是拐点，需要进一步判断。3寻找方法可以通过求导数并令其为零，解出方程来找到驻点。4图形意义驻点在函数图像上对应于切线水平的点，如函数图像的峰值或谷值。一元函数极值的判定法则一阶导数如果函数的一阶导数在某点处为零或不存在，则该点可能为函数的极值点。二阶导数如果函数的二阶导数在某点处为正，则该点为函数的极小值点；如果二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。图像分析通过函数图像的形状，可以判断函数的极值点，例如，函数图像在极值点处会发生方向变化。利用导数判断函数的单调性导数与单调性一元函数的导数可以帮助我们判断函数的单调性。当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。单调区间利用导数，可以求出函数的单调区间，即函数在哪些区间上是递增的或递减的。极值点函数的极值点往往出现在导数为0或导数不存在的点处，这些点被称为临界点。图像分析通过分析函数图像，我们可以更加直观地理解导数与单调性的关系，并进一步加深对函数性质的理解。利用导数判断函数的极值1一阶导数为零找到函数的一阶导数为零的点，即临界点。2二阶导数判断检查临界点的二阶导数：正值表示极小值，负值表示极大值，零值则需要进一步分析。3极值判定利用一阶导数和二阶导数的信息来确定函数的极值点，以及是极大值还是极小值。求导数的基本公式基本公式导数是微积分中最重要的概念之一，它用来描述函数的变化率，求导就是求函数的导数。幂函数幂函数的导数公式：d(x^n)/dx=nx^(n-1),其中n为常数。指数函数指数函数的导数公式：d(a^x)/dx=a^x*ln(a),其中a为常数。对数函数对数函数的导数公式：d(log_a(x))/dx=1/(x*ln(a)),其中a为常数。导数的运算规则11.和差法则两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差。22.积法则两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。33.商法则两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数。44.链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。导数的几何意义导数代表函数曲线在某一点的斜率。斜率反映了曲线在该点变化的快慢程度，即函数值变化率。导数的正负值决定了曲线在该点的上升或下降趋势。导数的应用优化问题导数可用于求函数的最大值或最小值，解决现实生活中的优化问题。函数图像分析通过导数，我们可以分析函数的单调性、极值、拐点等，绘制出更精确的函数图像。物理学导数在物理学中应用广泛，例如速度、加速度、力等概念都与导数密切相关。经济学导数可以用来分析经济指标的变化趋势，预测市场走向。利用导数求函数最大值和最小值1求导数找到函数的导数。2求临界点找到导数为零或不存在的点。3判断极值通过二阶导数或其他方法判断临界点是否为极值。4比较大小比较所有极值和函数在端点处的值，找到最大值和最小值。导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。通过求导数、找临界点和判断极值，我们可以有效地找到函数的最大值和最小值。利用导数求最大面积或最小体积1建立函数模型根据实际问题建立目标函数，表示要优化的面积或体积2求函数的导数对目标函数求导，找到临界点3判断极值利用导数的符号变化判断临界点是最大值还是最小值4求解最值将最值对应的变量代入目标函数，求得最大面积或最小体积导数是求解函数极值的强大工具，可以用于求解最大面积或最小体积等优化问题。例如，求长方形围成的最大面积，可以用导数求解。利用导数求最优化问题1建立数学模型将实际问题转化为数学问题，例如求最大面积、最小成本等。2求导数对目标函数求导数，得到导函数。3求解方程令导函数等于零，求解方程，得到驻点。4判断极值利用导数的符号变化判断驻点是否为极值点，并求出极值。5验证结果将极值点代回原函数，验证是否满足实际问题的约束条件。函数图像的特征与导数的关系函数的导数可以反映函数图像的特征，如单调性、凹凸性、拐点等。导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减。二阶导数为正，函数图像向上凹；二阶导数为负，函数图像向下凹。导数为零的点，可能是极值点或拐点。利用导数分析函数图像，可以更深入地理解函数的性质，为解决实际问题提供理论依据。例如，可以利用导数求函数的最大值或最小值，可以利用导数判断函数的极值点，可以利用导数分析函数的单调性和凹凸性等。函数图像与导数图像的关系函数图像和导数图像密切相关，可以相互推断。例如，当函数图像上升时，导数图像在x轴上方；当函数图像下降时，导数图像在x轴下方。函数图像的拐点对应导数图像的极值点。通过观察导数图像，可以了解函数的单调性、极值、凹凸性等信息。利用导数分析函数图像单调性导数为正，函数单调递增。导数为负，函数单调递减。凹凸性二阶导数为正，函数图像向上凹。二阶导数为负，函数图像向下凹。拐点二阶导数从正变负或从负变正，函数图像存在拐点。极值点一阶导数为零或不存在，函数图像可能存在极值点。利用导数分析函数的性质单调性导数的符号决定函数的单调性。导数为正，函数单调递增。导数为负，函数单调递减。极值导数为零或不存在的点称为临界点，临界点可能对应函数的极值。用一阶导数和二阶导数可以判定函数的极值。凹凸性二阶导数的符号决定函数的凹凸性。二阶导数为正，函数凹向上。二阶导数为负，函数凹向下。拐点二阶导数为零或不存在的点称为拐点。拐点是函数凹凸性变化的点。拐点对应函数图像上的转折点。导数的应用举例1速度与加速度利用导数可以求解物体的速度和加速度，其中速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数。最大利润导数可以用来求解企业的最大利润，例如，通过分析成本函数和收益函数的导数，找到利润最大的产量。最优尺寸导数可以用来求解容器的最佳尺寸，例如，通过分析容器的表面积和容积的函数，找到最小的表面积或最大的容积。导数的应用举例2优化生产成本利用导数，企业可以找到生产成本最低的产量，从而提高利润率。交通流量控制通过导数，可以分析交通流量变化趋势，优化交通信号灯设置，提高道路通行效率。投资组合管理导数可以帮助投资者分析投资组合的风险和收益，制定最佳的投资策略。导数的应用举例31最优设计例如，在工程设计中，需要优化产品的形状和尺寸，以最大程度地提高效率或降低成本。2经济学在经济学中，导数可以用于分析利润、成本、需求和供应的变化关系。3物理学物理学中，导数可以用于描述运动的加速度、速度的变化率和力的作用。导数的应用举例4滑梯速度我们可以使用导数来计算一个孩子在滑梯上的速度和加速度，这需要考虑滑梯的斜率和摩擦力等因素。汽车行驶路径导数可以用来分析汽车在公路上行驶的路径，并计算最佳行驶路线，例如，在弯道处减速，直道上加速。主要结论回顾导数的定义与性质导数定义了函数的变化率，反映函数在某一点的瞬时变化趋势。导数的性质包括导数的加减乘除运算规则，以及导数与函数单调性、极值、凹凸性的关系。导数的应用导数可以用来求函数的最大值和最小值，以及求函数图像的切线方程，还可以用来解决一些优化问题。函数图像的特征函数图像的特征可以通过导数来分析，例如函数的单调性、极值、拐点等，这些特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质。导数的应用场景导数在很多领域都有应用，例如物理学、工程学、经济学、金融学等，它可以帮助我们解决一些实际问题。重要概念总结函数极值函数极值指的是函数在某个点取得的最大值或最小值，可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质。导数导数是函数在某一点的变化率，可以用来判断函数的单调性，求函数的极值，以及分析函数的图像性质。临界点临界点是指函数导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的极值点，但也不一定是。驻点驻点是指函数导数为零的点，这些点可能对应函数的极值点，但也可能是函数的鞍点。思考与练习通过本节课的学习，你应该能够掌握函数极值与导数之间的关系，并能够利用导数求解函数的最大值和最小值，并能够应用导数解决实际问题。请尝试以下练习题，加深对本节课内容的理解和运用：求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值求函数g(x)=x^2/(x^2+1)的最大值和最小值一个长方形的周长为20cm，求这个长方形的最大面积课后延伸阅读深入学习您可以阅读更多关于微积分和导