高中数学(人教B版)必修二同步讲义第4章第05讲指数函数与对数函数的关系(学生版+解析)

第05讲指数函数与对数函数的关系课程标准学习目标1．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a＞0且a≠1)2．能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题．1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系．2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．知识点01反函数的概念一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④知识点02反函数的性质一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．【即学即练2】函数ylog3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)知识点03求反函数的步骤(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．知识点04指数函数与对数函数的关系(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数．(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称．【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数yax与ylogax的图像只能是()ABCD题型01反函数存在的条件【典例01】判断下列函数是否有反函数．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（）A．B．C．D．【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是．【变式4】判断下列函数是否存在反函数．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．题型02求反函数的解析式【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数y=fx的反函数为，则y=fx的解析式为【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则.【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为.题型03反函数过定点问题【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点．【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是.【变式2】已知函数y=fx存在反函数y=f【变式3】已知函数f−1x为函数fx的反函数，且函数fx−1题型04根据反函数求参数【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是、．【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线A．−e B．−1e C．e 【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为题型05反函数的定义域问题【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（

）．A． B．C． D．【变式2】函数的反函数的定义域为．【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（）A．B．RC．D．【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（）A．它们互为反函数B．它们的定义域与值域正好互换C．它们的单调性相反D．它们的图像关于直线对称题型06反函数的图像【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（）A．B．C．D．【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，题型07单调性问题【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（

）A． B．C． D．题型08反函数与零点问题【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．1 B．2023 C． D．4046【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（

）A． B．2023 C． D．4046【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型09指数函数与对数函数的综合应用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【变式1】已知指数函数的反函数为．(1)求函数的解析式；(2)已知函数，求不等式的解集．【变式2】设函数（其中a>0且）．(1)求函数的解析式；(2)设函数，，如果当时，恒不成立，求a的取值范围．【变式3】已知，(1)求的反函数；(2)已知，若，使得，求的最大值．一、单选题1．下列命题组真命题的个数为（

）①存在反函数的函数一定是单调函数②偶函数存在反函数③奇函数必存在反函数A．0 B．1 C．2 D．32．函数是与函数的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称3．若函数是函数（且）的反函数，且，则（

）A． B． C． D．4．已知函数的反函数为，则的图像为（

）A． B．C． D．5．已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（

）A． B． C． D．6．函数的反函数的解析表达式为（

）A． B． C． D．7．若函数的反函数为，则必有（

）A．，为任意实数； B．，为任意实数；C．，； D．，或，为任意实数．8．已知函数的反函数图像的对称中心是，则实数的值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．设且，函数，下列说法正确的是（

）A．与在各自的定义域内有相同的单调性B．与两者的图象关于直线对称C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数D．与有相同的定义域和值域10．设分别是方程与的实数解，则（

）A． B． C． D．11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数三、填空题12．已知函数是函数的反函数，则过定点.13．已知函数，，则.14．定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是.四、解答题15．函数与互为反函数，若（x<0）．求函数的解析式，定义域，值域．16．已知(1)求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；(2)已知为的反函数，解不等式．17．已知(1)求的反函数；(2)若，求a的值.(3)如何作出满足（2）中条件的的图像18．我们知道与（且）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对称；②的定义域是的值域，的值域是的定义域，反之亦然；③若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上.(1)若函数与互为反函数，求实数a，b的值；(2)运用（1）题中得到的函数，若对，使得不成立，求实数a的取值范围.19．已知函数，且y=fx的反函数为y=gx(1)求的值；(2)若函数，问：ℎx是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数的取值范围：若不存在，请说明理由第05讲指数函数与对数函数的关系课程标准学习目标1．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a＞0且a≠1)2．能利用反函数与原函数图像、单调性等性质的关系解决相关的问题．1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图像间的对称关系．2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．知识点01反函数的概念一般地，如果在函数yf(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为yf(x)的反函数．此时，称yf(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数yf(x)的反函数的表达式，可以通过对调yf(x)中的x与y，然后从xf(y)中求出y得到．【即学即练1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】根据与之间是否一一对应逐个分析判断即可.【详解】对于①，当时，，所以没有反函数；对于②，当时，，所以没有反函数；对于③，与一一对应，所以有反函数；对于④，当时，或，所以没有反函数．知识点02反函数的性质一般地，函数yf(x)的反函数记作yf－1(x)．则(1)yf(x)的定义域与yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域与yf－1(x)的定义域相同．(2)yf(x)与yf－1(x)的图像关于直线yx对称．(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．【即学即练2】函数ylog3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)【答案】A【详解】由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域，故选A．知识点03求反函数的步骤(1)求值域：由函数yf(x)求y的范围．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x，y互换得yf－1(x)，注意定义域得反函数．提醒：求反函数时，若原函数yf(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．【即学即练3】函数yx＋3的反函数为__________．【答案】yx－3(x∈R)【详解】由yx＋3，得xy－3，x，y互换得yx－3，所以原函数的反函数为yx－3(x∈R)．知识点04指数函数与对数函数的关系(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数．(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图像关于直线yx对称．【即学即练4】已知a>0，且a≠1，则函数yax与ylogax的图像只能是()ABCD【答案】A【详解】因为a>1时，是减函数，恒过(0,1)点，ylogax为增函数，恒过(1,0)点，故选A．题型01反函数存在的条件【典例01】判断下列函数是否有反函数．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【分析】由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明．【详解】(1)令yf(x)，因为yeq\f(x＋1,x－1)1＋eq\f(2,x－1)，是由反比例函数yeq\f(2,x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．(2)令g(x)3，即x2－2x－30，解得x－1或x3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.对于A，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，A错；对于B，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，B错；对于C，当y为正数时，一个y对应两个x，不满足反函数的定义，C错；对于D，满足反函数的定义，D对.【变式2】若函数在上存在反函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数在上存在反函数，则函数在上单调即可，又因为函数在上递减，在上递增，所以，所以..【变式3】设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是．【答案】或.【解析】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，当，，；所以或所以或.【变式4】判断下列函数是否存在反函数．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．【解析】(1)yeq\f(1,x＋1)－2是由函数yeq\f(1,x)向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，对称轴为x1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．题型02求反函数的解析式【典例2】（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解.【详解】设指数函数且，点在的图象上，所以，解得.所以，故反函数.【变式1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y的反函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反函数定义求解即可.【详解】解：∵y，∴，∴，即，∴，将x，y调换可得，，故函数y的反函数是．．【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数y=fx的反函数为，则y=fx的解析式为【答案】【分析】根据反函数的定义求解即可.【详解】由，得，将互换得，，且函数的值域为R，因此，函数，故答案为：．【变式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则.【答案】9【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得，故.故答案为：9.【变式4】（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为.【答案】【分析】利用反函数的定义求解即可.【详解】因为的反函数为，所以，则.故答案为：.题型03反函数过定点问题【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）函数（且）的反函数过定点．【答案】2,1【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.【详解】对于函数（且），令，即，所以，即函数（且）恒过点，所以函数（且）的反函数恒过点.故答案为：【变式1】（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是.【答案】.【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过，代入点的坐标待定系数可得.【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称，又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.则，解得.又函数的图象过点，则，解得.故.故答案为：.【变式2】已知函数y=fx存在反函数y=f【答案】−1,−1【分析】由已知可得f(1)=−1，再由反函数的性质可得f−1−1【详解】因为函数y=fx+2的图像经过点（1，1），所以所以由反函数的性质可得f−1−1=1，所以f−1−1−2=−1【变式3】已知函数f−1x为函数fx的反函数，且函数fx−1【答案】1,0【分析】先求出函数fx的的图象经过点的坐标，再由函数f−1x与函数f【详解】因为函数fx−1的图象经过点1,1，所以函数fx的的图象经过点0,1，因为函数f−1x与函数fx的图象关于y=题型04根据反函数求参数【典例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是、．【答案】－9【分析】根据反函数的定义即可求解.【详解】因为直线与直线关于直线对称，所以函数与互为反函数，又的反函数为，所以，．故答案为：；.【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线A．−e B．−1e C．e 【答案】A【分析】由题得f(x)=ln【详解】解：因为函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=【变式2】已知函数的图象关于直线对称，则实数m的值为【答案】1【解析】由得，即，即的反函数为，因为函数的图象关于直线对称，故与为同一函数，故.题型05反函数的定义域问题【典例5】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域.【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为，则反函数的定义域为..【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可.【详解】因为函数在单调递增，所以，即，因为反函数的定义域是原函数的值域，所以反函数的定义域为，．【变式2】函数的反函数的定义域为．【答案】【解析】∵，∴，∴函数的值域为．∵的定义域即函数的值域∴的定义域为．【变式3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（）A．B．RC．D．【答案】D【解析】∵当时，，∴函数，的值域为，又与互为反函数互为反函数，故的定义域为..【变式4】（多选）已知函数和，以下结论正确的有（）A．它们互为反函数B．它们的定义域与值域正好互换C．它们的单调性相反D．它们的图像关于直线对称【答案】ABD【解析】A选项，注意到，则其与函数互为反函数，故A正确；B选项，函数定义域为，值域为R.函数定义域为R，值域为.故B正确；C选项，当时，两函数均在定义域内单调递减.当时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误；D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线对称，故D正确.BD.题型06反函数的图像【典例6】（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，已知函数，则它的反函数的大致图像是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，函数的反函数是，这是一个在上的单调递增函数，且，所以只有选项C的图像符合..【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图像经过第二、第三象限，则的图像经过（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【答案】D【解析】∵的图像与的图像关于直线对称，若函数的图像经过第二象限，即的图像上的任意点满足，则关于直线的对称点在第四象限，且在的图像上，∴的图像经过第四象限；同理可得：若函数的图像经过第三象限，则的图像经过第三象限；故的图像经过第三、第四象限..【变式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.【详解】由题意函数与函数互为反函数，所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意..【变式3】（23-24高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用反函数的性质直接求解即可.【详解】因为直线与直线关于直线对称，显然，所以函数与函数互为反函数，又因为的反函数为，所以，即，题型07单调性问题【典例7】（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.【详解】因为函数与的图象关于直线对称，所以，因为，所以，解得：.所以，由，可得的定义域为，令，则在单调递减，而在定义域单调递增，由复合函数的单调性可知:在单调递减..【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.【详解】由题意，函数与互为反函数，则，所以，由，解得或，即函数的定义域为或，令，当时，单调递减；当时，单调递增，又在上单调递增，所以的单调递增区间为..【变式2】若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.【详解】∵函数与的图象关于直线对称，∴函数是的反函数，则，∴，由，解得，所以的定义域为，令，，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，∴的单调减区间为..题型08反函数与零点问题【典例8】（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】对于A，用函数图象的对称性来判断；对于B，利用零点存在定理来判断；对于C，直接计算可得答案；对于D，作差判断大小．【详解】对于A、C，方程与的根分别为，，即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，由题知，，与的图象关于对称，都与相交，可得点与点,关于对称，所以，即，故A，C正确；设，显然函数在R上单调递增，又，对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确；对于D，由B选项知，，，则，所以，D错误，．【变式1】（23-24高一上·北京·阶段练习）若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．1 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，所以，，即，，设函数与的交点为，则Ax1,y1，，设函数与的交点为，则Bx2,y2，，因为函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，而的图象也关于对称，所以点关于对称，即，所以由得，即..【变式2】（23-24高一上·广东·阶段练习）若，分别是方程，的根，则（

）A． B．2023 C． D．4046【答案】A【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.【详解】由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以.【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，

由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，由题意知，也即,由于函数和互为反函数，二者图像关于直线对称，而为和的图象与直线的交点,故关于对称，故..题型09指数函数与对数函数的综合应用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【分析】(1)判断奇偶性⇒奇偶性定义．(2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集．【详解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)eq\f(2x－1,2x＋1)．因为f(x)＋f(－x)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(2－x－1,2－x＋1)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(1－2x,1＋2x)0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)为奇函数．(2)因为f(x)yeq\f(2x－1,2x＋1)1－eq\f(2,2x＋1)，所以2xeq\f(1＋y,1－y)(－1<y<1)，所以f－1(x)log2eq\f(1＋x,1－x)(－1<x<1)．(3)因为f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)，即log2eq\f(1＋x,1－x)>log2eq\f(1＋x,k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)>\f(1＋x,k)，,－1<x<1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1－k，,－1<x<1，))所以当0<k<2时，原不等式的解集为{x|1－k<x<1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．【变式1】已知指数函数的反函数为．(1)求函数的解析式；(2)已知函数，求不等式的解集．【答案】(1)f(2)【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解；（2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式.【详解】（1）若为指数函数，则，且，解得，即，所以指数函数的反函数为fx=（2）因为，可知的定义域为R，且，可知为定义在R上的偶函数，又因为在上单调递增，且y=fx在定义域内单调递增，所以在上单调递增，且在内单调递减，对于不等式，可得，整理得，解得，所以等式的解集为.【变式2】设函数（其中a>0且）．(1)求函数的解析式；(2)设函数，，如果当时，恒不成立，求a的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据求反函数的基本方法求出反函数即可；（2）先求出ℎx的解析式，依题意，可得，根据，可转化为二次函数的恒不成立问题，即可求出a的取值范围．【详解】（1），．（2），，依题意，，即．由，得，解得，即，设，其对称轴，所以函数在单调递增．由，解得，又，所以a的取值范围是.【变式3】已知，(1)求的反函数；(2)已知，若，使得，求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）易得，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解；（2）易得，由，得到其定义域为，由在上单调递增，其中．根据，由得到求解.【详解】（1）解：，则其在上单调递增，其值域为．在中互换得，整理得，，即反函数，定义域为．（2）依题意，其中，解得，即的定义域为，则在上单调递增，其中．，，．，当且仅当，即时取得，此时不成立，的最大值为．一、单选题1．下列命题组真命题的个数为（

）①存在反函数的函数一定是单调函数②偶函数存在反函数③奇函数必存在反函数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可.【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误；对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误；对③，取奇函数函数，当时有和与之对应，即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误.2．函数是与函数的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的关系判断可得出结论.【详解】函数是与函数的图象关于直线对称..3．若函数是函数（且）的反函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，则，解得，因此，..4．已知函数的反函数为，则的图像为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先求出函数的反函数，进而得到，再利用单调性排除部分选项，再利用特殊值法求解.【详解】因为函数的反函数为，所以，是R上的减函数，排除AB，又当时，，排除D,.5．已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把点代入，求得解析式，可得反函数解析式，由，得的定义域为，可求值域.【详解】函数过点，则，解得，∴，的反函数为，得，由，∴的定义域为，当，有，则的值域为.6．函数的反函数的解析表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将中的互换位置，再化简得到.【详解】令，化简得：，即.7．若函数的反函数为，则必有（

）A．，为任意实数； B．，为任意实数；C．，； D．，或，为任意实数．【答案】A【分析】根据题意结合反函数的概念运算求解.【详解】由，解得，故函数的反函数为，由题意可得：，解得或，故A错误，B、C不一定不成立，D正确..8．已知函数的反函数图像的对称中心是，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可根据反函数性质得出函数的对称中心是，然后通过即可得出结果.【详解】因为函数的反函数图像的对称中心是，所以函数的对称中心是，则，即，解得，.二、多选题9．设且，函数，下列说法正确的是（

）A．与在各自的定义域内有相同的单调性B．与两者的图象关于直线对称C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数D．与有相同的定义域和值域【答案】ABC【分析】根据指对数的关系及指对数函数的性质判断各项正误.【详解】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对；由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对；由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R，所以与的定义域和值域都不同，D错.BC10．设分别是方程与的实数解，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用反函数性质结合图像求解即可.【详解】方程与分别变形为：因为和互为反函数，且关于对称，所以，故CD正确，画出和，的图像，易知A正确；又因为，结合图像，易知，故B错误.CD11．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数【答案】CC【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项.【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，则，，，则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误；函数在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以C正确，D错误.C.三、填空题12．已知函数是函数的反函数，则过定点.【答案】1,0【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解【详解】函数是函数的反函数，又函数过定点所以函数过定点1,0.故答案为：1,013．已知函数，，则.【答案】3【分析】求反函数的值的问题，只需利用原函数与反函数的内在联系，使原函数的函数值取反函数的自变量的值，在原函数的定义域内求得自变量的值即反函数的对应函数值.【详解】根据原函数与其反函数的关系，要求的值，只需使函数()的函数值取，即，解得，因，故，即得：故答案为：.14．