2011年全国各地高考数学试题评析

PAGE82011年全国各地高考数学试题评析2011年全国高考数学试题非课标地区有：全国大纲卷（河北、广西、云南、贵州、甘肃、青海、内蒙古、西藏）、湖北卷、重庆卷、四川卷；课标地区有：全国课程卷（河南、宁夏、海南、黑龙江、吉林、山西、新疆）、北京卷、天津卷、江西卷、安徽卷、湖南卷、广东卷、福建卷、浙江卷、陕西卷、辽宁卷、山东卷、江苏卷；教育综合改革试点地区为：上海卷.除江苏是文理科合卷外，其余均是文理科分卷。共计35套试题.需要说明的是，上海是自己的考试大纲，其余均是国家考试中心的高考大纲.当然，自主命题的省份一般有本省的高考大纲的说明.综观这些试题，笔者感到有以下特点，对今后的高考备考有一定启迪作用.试题设计鲜活:试卷的结构变化，破除了以往“八股式”的试卷结构。诸如：陕西卷第18题改变了传统的三角函数试题的结构形式，设计为“叙述并证明余弦定理”，体现了课本基础知识和数学本质的考查，既能考核向量方法，又可考核解析方法；江西卷将立体几何作为整卷的压卷题；安徽理科卷第19题里出现了单独的不等式证明题；安徽理科卷第18题（文科压卷题）把数列与三角函数结合；全国大纲理科卷压卷题将函数、概率与不等式证明综合；江西卷第10题理科圆运动形成的曲线（文科“凸轮”）趣味题；福建卷理科第10题将函数图象、点列、等差数列、三角形形状判定综合为一体；福建卷文科第16题里“商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格”；广东理科卷第21题里将抛物线、切线、一元二次方程、不等式、函数最值综合，呈现了问题的选拔性。广东文科卷第18题里“直圆柱沿过轴的平面切开后“的平移，体现了问题的新颖性.应当说，今年数学试卷新颖灵活的结构模式，是对考生应变能力的一次大检验，也会对今后的高中数学教与学带来深刻的启示.例1(北京理科8)设，，，．记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（）A．B．C．D．讲解：在平面直角坐标系中,画出平行四边形ABCD，其中A是原点，B在轴正半轴上，设（=1,2,3）与AD边的交点为，与BC边的交点为，四边形ABCD内部（不包括边界）的整点都在上.因为||=|AB|=4，所以线段上的整点有3个或4个，得9=3×3≤≤3×4=12，易求得点,,.当不上整数时，,,都不是整点，=12；当为型整数时，，，都是整点，=9；当为型整数时，，，中只有是整点，=11；当为或型整数时，,,都不是整点，=12.（）图1-1图1-2图1-3故知函数的值域为{9,11,12}，选C.点评:本题考查平面区域内的整点个数问题，考查数形结合思想、分类整合思想及分析解决问题能力，属于创新型的考题.例2（全国大纲12）设向量满足,则的最大值等于（）A．B．C．D．讲解：由知向量所成角为，由知终点与终点连线的夹角为，故的终点在以向量的终点所连线段为边，所夹的角为的两段圆弧上，点O在其中一段弧所在圆上，且弧所在圆的半径为1，所以的最大值为圆的图2直径2.选A.点评:考查平面向量的模的概念、数量积的概念、夹角的几何意义及平面几何知识解决向量问题的方法。属于“动态几何”问题，新颖独特．试题背景深刻：试题设计在坚持基础、稳定，考查基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验的前提下，一些题目的背景深刻，既有课本定理的证明与运用，还有经典试题的改变，更有著名数学背景的渗透，还有高等数学问题的下移。天津第19题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法，有着深刻的高等数学背景；四川理科第20题将二项式定理和等比数列结合，在解答试题里是很少见到的；四川文科第17题里“本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多”情景的概率题，更是与人们日常生活相联系.例3（全国课标12）函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8讲解：函数图象的对称中心是（1,0），这也是函数的对称中心，在上这两个函数的图象在x=1的左侧有4个交点，在x=1右侧也必有4个交点，不妨将其横坐标由小到大依次记为，则，故选D.MN点评：MN例4(江西理科10)如图3，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）图3ABCDABCD讲解：小圆沿大圆的内壁滚动时，在大圆上经过的弧长与小圆上滚动过的弧长是相等的，当小圆处于虚圆位置时，设大圆的圆心为O，，则的长度=，注意到，则的长度，则点P即为M运动后的点，说明是锐角时，点M在线段OM上运动；由，知的长度，则点Q即为点N运动后的点，说明是锐角时，点N在线段OE上运动.同样图4可以思考其它的情形.故知应当选A.点评：本题考查考生动手操作能力、阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力.试题设计新颖、独特，是考能力的好题目.新增内容强化:对于课程改革卷的试题，重视新增内容的考查，命题的设计得到了很好的关注与体现，并随相应省份的课程改革的推进，新增内容的考查的深度和广度得到了不断强化。诸如：对线性回归的考查，如陕西第9题、广东第13题、安徽文科第20题；全国新课程卷第23、24、25题，对选考内容的设计，增强了试题的综合度，在坐标系与参数方程里添加了向量的成分；在不等式选讲里，添加了字母的处理；在几何证明选讲里，融入了一元二次方程知识。北京卷理科第17题、文科第16题对茎叶图等知识的考查.例5（陕西理科8）右图中，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）A．11B.10C.8D.7讲解：当，,不成立,即为“否”，所以再输入；由绝对值的几何意义和不等式知，点到点的距离小于点到的距离，所以当时，成立，即为“是”，此时，所以，即，解得，不合题意；当时，不成立，即为“否”，此时，所以，即，解得，符合题意，故选C．图5点评：在读懂框图里的逻辑顺序的前提下，进行计算判断，当中，判断条件是否成立是解答本题的关键．把评阅试卷的实际情景设计为算法内容的考试题目，新颖独特，使人耳目一新.例6（广东理科13）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.讲解：设回归直线方程为.抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”,提炼数据易计算得平均值,于是，，从而，,，于是，线性回归方程为，当时，.应填185.点评：本题考查回归分析的基础知识，考查学生应用回归分析的方法收集数据、处理数据的能力，考查考生化归能力、分析问题、解决问题的能力.重视数学应用:数学是一种工具，这体现了数学无处不在，数学有着十分广泛的应用，体现设计实际应用性的考题，在多个试卷的解答题目（概率解答题除外）里得到了呈现．江苏卷第17题“请你设计一个包装盒”的最值题；福建卷第18题的“商品每日的销售量y（单与销售价格x的函数关系，求利润最大”的问题；湖北理科第17题、文科第19题“提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况”的城市交通问题；湖南理科第20题“长方体物体E移动时单位时间内的淋雨量”的最少问题；湖南文科20题“企业设备更新”问题；山东卷第21题“容器的建造费用最小”问题.例7（陕西理科14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．讲解：把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．设树苗放在第个树坑旁边，如图1，12……1920图6于是，各个树坑到第i个树坑距离的和为，所以，当或时，的值最小，最小值是1000.故往返路程的最小值是2000米.点评:若能猜想到往返路程的最小值在“中间”的位置，考题解法就更简单了.例8（湖北理科17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）讲解：（1）由题意，当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得解得故函数的表达式为=（2）依题意并由（1）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．点评：本题考查运用数学知识分析、解决实际问题的能力.同时考查函数、分段函数最值、解方程组、2元均值不等式等基础知识，考查分类讨论思想、方程观点、转化与化归的数学思想方法.知识交汇凸显:知识交汇、知识综合、知识网络的考查，在以往的结合点上，又有了一些新的发展，这对检查考生分析问题、变更问题和解决问题的能力，考核考生的发展潜能是很好的题型，试卷做了比较好的探索．例9(安徽理科18)在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.讲解：（1）设构成等比数列，其中则 ① ② 由①×②，并注意到有 （2）由题意和（1）中计算结果，知 利用 得 所以点评:本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基础知识分析、解决问题的能力、综合运算能力和创新思维的意识.两角差的正切公式的变形，使得数列裂项求和成为可能.例10(全国大纲理22)（1）设函数，证明：当时，；（2）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：.讲解：(1)因为，当时，，所以在上是增函数.因为，所以，当时，（2）.又，同理所以由(1)，当时，,即有，所以. 在上式里，令，得，即故.点评:本题主要考查函数、导数、概率和不等式证明，综合性较强，其中的证明不等式是难点所在.用n元均值不等式证明是比较容易的.事实上.文理区别合理:除江苏卷外，其余试题均为文理科分卷，命题人在设计试题时，很好的把握了文理科数学的不同教学实际和大纲的不同要求，对应的试题里，既有文理科相同的题目、不同的题目、姊妹题目.在不同题或姊妹题里，有文理科因知识要求差异的，也有思维、运算难度区别的，恰当、合理的设计与打磨，无不闪现出命题人的独具匠心、数学功底和对高中数学教学的整体把握．课改理念深化:今年的全国各地高考数学试卷，不同程度上冲破了传统的命题组卷模式的束缚，探索了新的试卷结构，这对市场流行的模拟卷是一次致命的打击，有利于引导高三数学教学回归课本，回归基础——基本知识、基本技能、基本思想方法，基本活动经验；对立体几何试题与解析几何试题命制的大胆尝试，力求降低运算量，彰显空间想象能力和坐标思想、向量