练素养 等腰三角形中作辅助线的八种常用方法

苏科版八年级上第二章轴对称图形练素养等腰三角形中作辅助线的八种常用方法集训课堂

12345678温馨提示：点击进入讲评习题链接【2023·南京外国语学校月考】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：1(1)EF⊥AB；证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD.又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即EF⊥AB.(2)△ACF为等腰三角形．证明：∵EF⊥AB，AE＝BE，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF.又∵∠ABD＝∠BAD＝36°，∴∠FAD＝∠FBD＝36°.∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB－∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．2如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAC＝2∠DBC.证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.∴∠CAE＋∠C＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE.∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°.∴∠CAE＝∠DBC.

∴∠BAC＝2∠DBC.【点方法】几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化．3如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.证明：如图，过点E作EG∥AC，交BC于点G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG.又∵BE＝CF，∴EG＝CF.4【2023·苏州外国语学校模拟】如图，在等边三角形ABC中，点D在AC上，延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BC于点G.求证：

(1)DB＝DE；证明：如图，过点D作DF∥BC，交AB边于点F.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.∵DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ACB＝60°.∴∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.

∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.

∵AD＝CE，∴FD＝CE.又易知∠DFB＝∠DCE＝120°，∴△BFD≌△DCE(SAS)．∴DB＝DE.(2)BG＝EG.证明：∵DB＝DE，DG⊥BC，∴BG＝EG.5如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.6如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.证明：如图，延长BA，CD，交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠CBD＝∠EBD，∠BDC＝∠BDE＝90°.又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(ASA)．∴CD＝ED，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.

又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.

∴BF＝2CD.7【点方法】延长CB构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明．8【2023·南通启秀中学模拟】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝