历年全国各地中考数学压轴题专题汇编-函数（100题）

近6年全国各地中考数学压轴题专题汇编一一函数(100题)

1.(2014•甘肃中考真题)如图，抛物线尸一9^9+口与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴

2

交x轴于点D,己知A(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；

如果不存在，请说明理由；

(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形

CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

1a

【答案】U)抛物线的解析式为：尸・七X2+±X+2

22

33535

(2)存在，P,(-,4),P2(-,-),P3(-,--)

22222

13

(3)当点E运动到(2,1)时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CW的面枳破大二一.

2

【解析】

试题分析：(1)将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

(2)根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于

P);以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2,P3；作CH垂直于对称轴与点H,由等腰三角形的性质及勾股定理

就可以求出结论；

(3)由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F

的坐标，由四边形CDBF的面积MSABCB+S△.+$位"可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

试题解析：(1)•・•抛物线y=--x2+mx+n经过A(-1,0),C(0,2).

2

3

解得:阳=5,

77=2

17

・・・抛物线的解析式为：y=--X2+-X+2；

22

・•・抛物线的对称轴是x=23.

2

3

.\0D=-.

2

VC(0,2),

/.0C=2.

在Rt^OCD中，由勾股定理，得

CD=—.

2

VACDP是以CD为腰的等腰三角形，

ACP1=CP2=CP3=CD.

作CH_Lx轴于H,

•••HP尸HD=2,

ADPi=4.

3353

Ah(-,4),P2(-,-),P3(-,--

2222：

I.3

(3)当y=0时，0=-—x?+—x+2

22

Axi=-1,X2=4,

AB(4,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象，得

2=b

0=4Z”’

1

b=2

工直线BC的解析式为：y=--i-x+2.

2

Ii3

如图2,过点C作CM_LEF于M,设E(a,--a+2),F(a,--a2+-a+2),

222

i3ii

EF=--a'+—a+2-(--a+2)="-a'+2a(0WxW4).

2222

VS四边形a*二SaBai+SziciF+SaBEF=—BD*0C+—EF•CM+—EF•BN,

222

=­x—x2+—a(-—a2+2a)+—(4-a)(--a2+2a),

222222

=-a2+4a+—(0WxW4).

2

.•・a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，，

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

2.(2017•四川中考真题)如图，已知二次函数尸ax2+bx+c(ar0)的图象经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)

三点.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足NDBA=NCAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；

(3)点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC,y轴与点E、F,若APEB、ACEF的

面积分别为Si、S2,求Sl・§2的最大值.

i38

【答案】(1)抛物线解析式为y二-5工2+耳/+2；(2)点D的坐标为(3,2)或(5-18)：(3)当l=g时，有

S1-S2有最大值，最大值为三.

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)当点D在x轴上方时，则可知当CD〃AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时,

可证得BD〃AC,利用AC的解析式可求得直线BD的解析式,再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；

(3)可设出P点坐标，表示出APAB、AAFO.ACOS,利用S|-S2=SgAB$AFO&BOC可表示成关于P点坐标的二

次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值.

【详解】

1

a=——

2

a-b+c=0

解：(1)由题意可得16。+4/?+。=0,解得，

2

c=2

c=2

13

抛物线解析式为y=—x2H—x+2；

22

(2)当点D在x轴上方时，过C作CD〃AB交抛物线于点D,如图1,

,:A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称,

・•・四边形ABDC为等腰梯形，

AZCAO=ZDBA,即点D满足条件,

AD(3,2)；

当点D在x轴下方时，

VZDBA=ZCAO,

ABD//AC,

VC(0,2),

・••可设直线AC解析式为丫=心+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

・•・直线AC解析式为y=2x+2,

・••可设直线BD解析式为y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

・•・直线BD解析式为y=2x-8,

—Icx=4rx=_5

联立直线BD和抛物线解析式可得41,33解得《八或〈1。，

y=--x~+—x+2[y=0[y=-18

AD(-5,-18)；

综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(-5,-18)；

(3)设尸，，-g/+g/+2)・.・AB=5,OC=2,

If123Qu5215「

**•SAPAB=——/H—/4~2x5=—tH---1+5

2122J44

OF1

,13~~"

2r+1，

—t+—1+2

22

...OF=-1(r-4),

••SA"O=JX1X--(f-4)=一/-4),且S"=1x2x4,

・•・当t=g时，有Si-S2有最大值，最大值为巧.

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想

仅分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出D点的位置是解题的关键，在(3)

中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度

较大.

3.(2019•山西中考真题)综合与探究

如图，抛物线y二奴?+加+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与)'轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点D

的横坐标为m(lvwv4).连接AC,BC,DB,DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)ABCD的面积等于△AOC的面积的一时，求〃?的值：

4

⑶在⑵的条件下，若点M是工轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B,

D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)>=一:％2+,工+6；(2)3；(3)”|(8,0),加2(°，°)，诩3(e，°)，加4(-^,0).

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法进行求解即可；

3

(2)作直线DE_LX轴于点E,交BC于点G,作CF_LDE,垂足为F,先求出SaAc=6,再根据SABCD=-SAAOC,得

4

9.33

到S&BCD=],然后求出BC的解析式为y=-3*+6,则可得点G的坐标为(〃7,—5机+6),由此可得

乙乙Xr

八1

2

DG=--m+3m,再根据SABCD=SACDG+S4BDG=^,OG,8。，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点

D的坐标可得点N点纵坐标为土:，然后分点N的纵坐标为与和点N的纵坐标为-"两种情况分别求解；以BD

为对角线时，有1种情况，此时Ni点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BMi=NQ=4,继而

求得OMi=8,由此即可求得答案.

【详解】

(1)抛物线》=以2+加+。经过点A(-2,0),B(4,0),

4。一2b+6=0

•••〈，

16a+4/?+6=0

3

a=—

解得彳4，

b=_

2

33

，抛物线的函数表达式为》=一^炉+51+6；

(2)作直线DE_LX轴于点E,交BC于点G,作CF_LDE,垂足为E

V点A的坐标为(・2,0),・•・OA=2,

由R=0,得y=6,・••点C的坐标为(0,6),；.0C=6,

SAOAC=—OA-OC=-x2x6=6,

22

..3

•SABCD=—SAAOC»

4

.g3/9

••SABCD=_xo=—»

42

设直线BC的函数表达式为丁=履+〃，

4Z+〃=0

由B,C两点的坐标得《,,解得＜

yz=6

n=6

3

・•・直线BC的函数表达式为y=--x+6,

3

：•点G的坐标为(m,一1m+6),

2

333Q

:、DG=——w24-—7W+6-(——机+6)=——nr+3m，

4224

•:点B的坐标为(4,0),・・・OB=4,

VSABCD=SACDG+S&BDG=-DGCF+-DGBE=-DG(CF+BE)=LDGBO,

2222

[33

SABCD=—(—+3ni)x4=—m~+6m,

242

・32(9

22

解得叫=1(舍)，nt,=3,

：・m的值为3；

y

1

AI°\X

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,

以BD为边时，有3种情况，

・・・D点坐标为(3,?),・••点N点纵坐标为±岸，

当点N的纵坐标为号时，如点N2,

4

33IS

此时—A2H—x+6=—»解得：％=-1,X,=3(舍)，

424

^V2(—1,-^-),M2(0,0)；

当点N的纵坐标为一叵时，如点N3,N4,

4

2

此时一一A+-x+6=-i-,解得：x=1-V14,x2=1+>/14

424」二

・・・乂(1+而—%(1-714,-^),

A(V14,0),M4(-V14,0)；

以BD为对角线时，有I种情况，此时N1点与Nz点重合，

1,二)，D(3,：),

44

/.N|D=4,

.•.BM)=N|D=4,

.*.OMi=OB+BMi=8,

.*.Mi(8,0),

综上，点M的坐标为：必(8,0),M2(0,0),M3(V14,0),M4(-714,0).

本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，

运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关犍.

4.(2018•四川中考真题)如图，抛物线y=；x2+bx+c与直线产;x+3交于A,B两点，交x轴于C、D两点，连

接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴1上找一点M,使IMB-MDI的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ_LPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q

为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式是y=gx2+|^+3；(2)IMB-MDI取最大值为&；(3)存在点P(1,6).

【解析】

分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据对称性，可得MC=MD,根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B,C,M共线，根

据勾股定理，可得答案；

(3)根据等腰直角三角形的判定，可得NBCE,NAC0,根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据

解方程，可得x,根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.

详解：(1)将A(0,3),C(-3,0)代入函数解析式，得

c=3

b——

9解得彳2,

——3Z?+c=0

[2c=3

抛物线的解析式是尸?x?+：x+3；

22

(2)由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称,

，对1上任意一点有MD=MC,

y=,x+3

联立方程组〈

15)

y=-x2+—x+3

22

x=()fx=-4

解得<”(不符合题意，舍)，〈,，

U=3[y=\

AB(-4,1),

当点B,C,M共线时，取最大值，即为BC的长,

过点B作BE_Lx轴于点E,

BC=7BE2+CE2=V2»

IMB-Ml)|取最大值为J5；

(3)存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与aABC相似,

在RtZXBEC中，VBE=CE=1,

/.ZBCE=45°,

在RtZXACO中，

VA0=C0=3,

AZAC0=45°,

AZACB=180°-45°-45°=90°,

过点P作PQJ_y轴于Q点,ZPQA=90°,

设P点坐标为(X,-X2+-X+3)(X>0)

22

①当NPAQ=NBAC时，△PAQs/\CAB,

VZPGA=ZACB=90°,ZPAQ=ZCAB,

/.APGA^ABCA,

.BCACPGBC1

••---=----,即nn----=----=-9

PGAGADAC3

x_1

/.~\~25_―3，

-X+-X+3

22

解得x1=LX2=0(舍去)，

・・・P点的纵坐标为1Xl2+-X1+3=6,

22

AP（1,6）,

②当NPAQ=NABC时，△PAQs^CBA,

VZPGA=ZACB=90°,NPAQ二NABC,

AAPGA^AACB,

.BCAC

••,

AGPG

PGAC

即an——=—=3,

AGPG

---------------------=3

・•・12,5,…，

—x4—x+3—3

22

13

解得x1=-7（舍去），x2=0（舍去）

,此时无符合条件的点P,

综上所述，存在点P（L6）.

点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只

差小于第三边得出M,B,C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，

以防遗漏.

5.（2019•辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量），（件）与销售单价*

（元）之间的关系如图所示.

（1）根据图象直接写出y与X之间的函数关系式.

（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式.

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少?

-x+180(40<x<60)-X2+210X-5400(40<x<60)

【答案】⑴尸〈⑵W=<°;（3）这种商品的销售单

-3x+300(60<x<90)-3x2+390x-9000(60<x<90)

价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675.

【解析】

【分析】

（1）当40<x<60时，设y与x之间的函数关系戈为y=kx+b,当60<x<90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n,

解方程组即可得到结论；

(2)当40WXW60时，当60VXW90时，根据题意即可得到函数解析式；

22

(3)当40WXW60时，W=-x+21Ox-5400,得到当x=60时，Wwx=-60+210x60-5400=3600,当60<xW90时,

22

W=-3x+390x-9000,得至lj当x=65时，WfflX=-3x65+390x65-9000=3675,于是得到结论.

【详解】

解.：（1）当40WxW60时，设y与x之间的函数关系式为5=丘+匕,

40Z+b=140

将(40,140),(60,120)代入得•

60k+b=\20

k=-l

解得：

力二180

・・・y与x之间的函数关系式为y=-x+180；

当60VxW90时，设y与x之间的函数关系式为）=的+〃,

90m+u=30

将(90,30),(60,120)代入得，

60/n+H=120

m=-3

解得：

n=300

/.y=-3A+3OO；

-x+180(40<x<60)

综上所述,y=\

-3x+300(60<x<90)

(2)当40—0时，W=(A-30)y=(x-30)(-x+180)=-r+21(k-5400,

当60VxW90时，W=(x-30)(-3x+300)=-+390x-9000,

-X2+210X-5400(40<x<60)

综上所述,

-3x2+390x-9000(60<x<90)

(3)当40WxW60时，W=-^+21Ox-5400.

210

":-1VO,对称轴x=-----=105,

-2

•••当40WxW60时，W随x的增大而增大，

，当x=6)时,卬取大=-602+210X60-5400=3600,

当604W90时，W=-3r+39(比-9000,

390

■:-3<0,对称轴x=-----=65,

—6

V60<x<90,

:.当x=65时，W奴大=-3X652+390X65-9000=3675,

V3675>3600,

.•.当％=65时，W姑大=3675,

答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675.

【点睛】

本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.根据题意分情况建立二次函数的模

型是解题的关键.

6.（2019•河南中考真题）如图，抛物线y=ar2+gx+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直线y=-gx-2

经过点A,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.

①当APCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点8,则平面内存在直线1,使点M,B,8到该直线的距离都相等.当点P在y轴右

侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线/：y=丘+6的解析式.（k,b可用含m的式子表示）

备用图

【答案】⑴/+2+呆一2⑵①（一2,-2）或（6』。）’②直线I的解析式为产一黑“一2’尸黑尸2

或y=%_3m_2.

4

【解析】

【分析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标，根据点A,C的坐标，利用待定系数法可求出二次

函数解析式；

（2）①由PMJ_x轴可得出NPMCR90。，分NMPC=90。及/PCM=90。两种情况考虑：⑴当NMPC=90。时，PC〃x

轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当NPCM=90。时，设PC与x轴交于点D,易证

△AOC-ACOD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C,D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC

的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标.综上，此问得解；

②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B,M的坐标，结合点C的坐标可得

出点W的坐标，根据点M,B,B，的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM,B，M和BB，的解析式，利用平行

线的性质可求出直线1的解析式.

【详解】

解：（1）当x=0时，y=-^x-2=-2,

.・•点C的坐标为（0,-2）；

当y=0时，一gx-2=0,

解得：尸一4,

•••点A的坐标为(-4,0).

将A(-4,0),C(0,—2)代入ynor?+]X+c,得:

1

16〃-2+c=0a=—

,解得：4,

c=-2

「•抛物线的解析式为y=%+^x-2.

(2)①轴,

/.NPMCH90°，

•••分两种情况考虑，如图1所示.

(i)当NMPC=90'时，PC〃不轴,

•••点P的纵坐标为-2.

当y=-2时，-X2+-X-2=-2,

42

解得：玉二-2,七=0,

二•点P的坐标为(-2,-2)；

(ii)当NPCM=90°时，设PC与x轴交于点D.

・・・NQAC+NOG4=90'，NOC4+NOCO=90。,

...ZOAC=ZOCD.

又・・・NAOC=NCO£>=90°，

...AAOC〜AC。。,

经.生，即空二

OC0A24

...OD=1,

点D的坐标为(1,0).

设直线PC的解析式为)，=kx+b(kw0),

将C(0,-2),0(1,0)代入产奴也，得:

b=-2k=2

解得:

k+b=Ob=-2

「•直线PC的解析式为y=2x-2.

y=2x-2

联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得:11

y=—x~2-\--x-2。

42

%二0x=6

解得：\2

）二一2%=10

点P的坐标为（6/0）.

综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（-2,-2）或（6,10）.

②当y=0时，^x2+^x-2=0,

解得：xi=-4,X2=2,

・••点B的坐标为（2,0）.

•・•点C的坐标为（0,-2）,点B,B，关于点C对称，

・••点B，的坐标为（-2,-4）.

•1点P的横坐标为m（m>0且m#2）,

:.点M的坐标为（八一；加一2）,

+4w?+4—tn+45m+4

利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=----x+--，直线B，M的解析式为y=——x

2m一4m-22ni+4tn+2

直线BB，的解析式为y=x-2.

分三种情况考虑，如图2所示:

6+4

当直线1〃BM且过点C时，直线1的解析式为y=——-X-2,

2m-4

—vn+4

当直线1〃B，M且过点C时，直线1的解析式为y=-_-JC-2,

2/n+4

（11、3

当直线1〃BB，且过线段CM的中点N时，直线1的解析式为y=x--m-2,

4J4

?n+4-m+43

综上所述：直线1的解析式为），=一；^--x-2,y=-~;■工一？或y=

2m-42m+44

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数

法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定

系数法求出二次函数解析式；⑵①分NMPC=90。及NPCM=90。两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平

行线的性质，求出直线1的解析式.

7.(2015•广西中考真题)(2015崇左)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),OM与)，轴相切于

点C,与*轴相交于4、B两点.

(1)则点A、B、C的坐标分别是4,8__)；

(2)设经过A、3两点的抛物线解析式为y=!(x-5)2+A,它的顶点为凡求证：直线必与。M相切；

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点尸，且点尸在x轴的上方，使APBC是等腰三角形.如果存在，请求出点P

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)4(2,0),8(8,0),C(0,4)；(2)证明见试题解析；(3)P(5,4),或(5,肝),或(5,4+J为).

【解析】

试题分析：(1)连接MC,则MC垂直于y轴，MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可计算AD和DB；

(2)把A、或B或C的坐标代入y=」(簧一；5”#废，确定二次函数表达式y=」(出一国2-日，连接MA,根据勾股

44旬

定理计算AF,由勾股定理逆定理判断MA_LAF,从而说明FA是切线；

(3)设P(x,4),当C为顶点时，在RsCMPi中用x表示CP”根据=BC?列方程求解；当B为顶点时,

在RSBDP2中用x表示CPz,根据。鸟2=8。2列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合.

试题解析：(1)连接MC,则MC垂直于y轴，MA=MC=5,MD=4,在RsAMD中，AD二屈尸二丽'二3,同

理在RQBMD中，BD=3,AA(2,0),B18,0),C(0,4)；

(2)把A(2,0)y=—(^*-3)^-Ifft,解得,，y=N(&一与)&i逑，；・F(5,),连接MA,则MF=4+?=

4qq司日司

豁：___________21^625

——，AF=JAD2+FD2=—»：•FA1+AD2=MF2=-----,:.MA_LAF,:.FA与。M相切；

硼硼16

(3)设P(x,4),BC2=80.当C为顶点时，在RsCMPi中，C/；2=25+(x-4)2,/.25+(x-4)2=80,

x二4±序，点P在x轴上方，故X=4+A，所以(4+病，4)；

当B为顶点时，在RQBDP2中，Cg2=9+(x-4)2,.\9+(X-4)2=80,x二4±J亓，点P在x轴上方，故

X=4+M，所以(4+6，4)；

当P是顶点时，P和M重合，P3(5,4).

综上当P(4+J为，4)、(4+J亓，4)或(5,4)时APBC是等腰三角形.

考点：二次函数综合题.

8.(2019•天津中考真题)己知抛物线y=f-bx+c(b,c•为常数，b>0)经过点4—1,0),点M(机,0)是x轴

正半轴上的动点.

(I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；

(II)点在抛物线上，当4V/=4。，加=5时，求〃的值：

(ID)点0S+g,)b)在抛物线上，当近AM+2QM的最小值为史也时，求人的值.

【答案】(I)(D；(H)/?=3>/2-1；UII)b=4.

【解析】

【分析】

(I)把b=2和点4(-1,0)代入抛物线的解析式，求Hlc的值，进行配方即可得出顶点坐标

(II)根据点A(-1,0)和)点。(小丁力在抛物线上和b>0得出点一人一1)在第四象限，且在抛物线对称轴

工二乡的右侧.过点。作轴，垂足为E,则点ES,O),再根据D、E两点坐标得出^ADE为等腰直角三

角形，得出AQ=&AE，再根据已知条件4M=4。，6=5,从而求出b的值

(HI)根据点QS+于%)在抛物线上得出点。(6+万,一；一［)在第四象限，且在直线x=b的右侧;取点N(0,l),

过点。作直线AN的垂线，垂足为G,或与入轴相交于点M，得出当AM二GM,此时&AM+2QM的值

最小；过点。作。轴于点H,则点〃S+g,0).再根据Q"=M”得出m与b的关系，然后根据两点间

的距离公式和

应AM+2QM的最小值为电2,列出关于b的方成即可

【详解】

解：(I)•・•抛物线y=f一区+c经过点4-1,0),

・・・l+b+c=O.即。=一6-1.

当b=2时，y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，抛物线的顶点坐标为(1,-4).

(II)由(I)知，抛物线的解析式为y二d一法一力一］.

・・•点。S,%)在抛物线y=f一版一人一1上，

2

:.yD=b-bb-b-\=-b-\.

由b>0,得一6—1<。，

2

・••点D(b-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴x=2的右侧.

2

如图，过点。作OE_Lx轴，垂足为E,则点E(b,O).

AAE=b+\,DE=b+\.得AE=£>E.

・••在RtAAOE中，NAOE=NDAE=45’.

・•・AD=42AE-

由已知AAZ=AZ)，m=5

5-(-1)=V2(Z?+1).

(III)•・,点QS+g,")在抛物线y=d-反一6-1上，

**•=(b+-b(b+-l=_g一挤.

1I%Q

可知点。仍十万,-5-^)在第四象限，且在直线x=b的右侧.

加

考虑到CAM+2QM=2(三AM+QM),可取点N(0,l),

如图，过点。作直线AN的垂线，垂足为G,QG与x轴相交于点M，

有NGAM=45°，得

2

则此时点必满足题意.

过点。作。〃，工轴于点”，则点H(b+；,O).

在RtAMQH中，可知ZQMH=NMQH=45°.

:,QH=MH,QM=42MH.

・・•点”(网0),

0—(————)=(/?+—)—/n.解得m=2-L.

24224

V>f2AM+2QM=过亚，

4

：•夜吟一》一㈠才+243+J)—4一|)］二孳•

242244

Z?=4.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性

质与判定等知识，关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答.

9.(2016•山东中考真题)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是

(0,4)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90。，得到平行四边形A，一。。.

⑴若抛物线过点GA、A，，求此抛物线的解析式；

⑵点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMK的面积最大？最大面积是多少？并求出

此时点M的坐标；

(3)若尸为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点。坐标为(1,0),当尸、N、R、。构成平行四边形时，求

点尸的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标.

【答案】（1）y=-/+3x+4.；（2）x=2时，AAM/V的面积最大，最大值为8,

M(2,6).(3)Pi(0,4),P2(3,4),P3(上画，-4),P4(上包，-4)；点N的坐标为：(0,0)或

22

(3,0).

【解析】

试题分析：（1）先由OA，=OA得到点A，的坐标，再用点C、A、A，的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA，,

过点M作，交AA，于点N,把△AMA分割为△A，MN,△AMA，的面积=△AMA，的面积+△AMN

的面积=^OA，・MN,设点M的横坐标为x,借助抛物线的解析式和AA，的解析式，建立MN的长关于x的函数关系

式，再据此建立△AMA，的面积关于x的二次函数关系式，再求△AMA，面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、

N、B、Q这四个点中，B、Q这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题

意的图形，再求解.

试题解析：（1）•・•平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90。，得到平行四边形AB9C,点A的坐标是（0,4）,

・••点A，的坐标为（4,0）,点B的坐标为（1,4）.

•・♦抛物线过点C,A,A\设抛物线的函数解析式为y=ax?+bx+c（a/））,可得：

a-b+c=0a=-1

<c=4.解得：，b=3.，抛物线的函数解析式为y=-X2+3X+4.

16a+4b+c=0c=4

（2）连接AA，，设直线AA，的函数解析式为丫=1«+忱可得

{窗，解得:{::;

，直线AA，的函数解析式是y=-x+4.

设M(x,-x2+3x+4),

SAAMA=^X4X[-X2+3X+4-(-x+4)]=-2x2+8x=~2(x-2)2+8.

，x=2时，△AMA，的面积最大SAAMA，=8.

AM(2,6).

(3)设P点的坐标为(x,-x2+3x+4),兰P、N、B、Q构成平行四边形时，

①当BQ为边时，PN〃BQ且PN=BQ,

VBQ=4,，-x?+3x+4=±4.

当一