历年全国各地中考数学真题压轴题训练-圆及其方程100题

近6年全国各地中考数学真题压轴题训练——圆及其方程（100题）（解析版）

L如图，在中，ZACB=90°,。为A8的中点，以8为直径。。的分别交AC,BC于技E,/两点,

过点尸作FG_LAB于点G.

（1）试判断尸G与。0的位置关系，并说明理由.

（2）若4>=3,8=2.5,求RG的长.

【答案】（1）FG与。切，理由见解析；（2）FG=1.

【解析】

【分析】

（1）如图，连接。尸，根据直角三角形的性质得到CD=BO,得到NO8C=NQC8,根据等腰三角形的性质得到

/OFC=NOCF,得到NOFC=NDBC,推出NOHG=90。，于是得到结论；

⑵连接。尸，根据勾股定理得到BC7AB2.AC?=4,根据圆周角定理得到NObCf）。，根据三角函数的

定义即可得到结论.

【详解】

（1）相产G与。0切，

理由：如图，连接Ob，

•••NAC8=90。，。为A8的中点,

:.CD=BDf

/DBC=/DCB,

•・・QF=OC,

:.ZOFC=ZOCFf

:"OFC=/DBC,

:.OF//DB,

ZOFG+ZDGF=[80°,

vFG±AB,

ZZX；F=90°,

.­.ZOFG=90°,

.•.尸G与。。相切；

（2）连接OF,

•••8=25

/.AB=^2CD=5f

BC=y]AB2-AC2=4

•;CD为00的直径，

ZDFC=90°,

:.FD±BC,

・.・DB=DC,

BF=-2BC=2

./AACFG

sinZABC=----=-----

ABFB

3FG

即nn一=----,

52

:.FG=~.

5

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关

键.

2.如图，四边形ABCD内接于。O,ZBAD=90°,点E在BC的延长线上，且NDEC=NBAC.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)若AC〃DE,当AB=8,CE=2时，求AC的长.

2

【答案】（D证明见解析；（2）AC的长为世叵.

5

【解析】

分析：（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD_LDE,即可得出结论；

（2）先判断出AC_LBD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BCDS/\DCE,求出CD,再用勾股定理求出BD,

最后判断出ACFDsaBCD,即可得出结论.

详解：（1）如图，连接BD,

二点O必在BD上，即：BD是直径,

・•・ZBCD=90°,

・•・ZDEC+ZCDE=90°.

VZDEC=ZBAC,

:.ZBAC+ZCDE=90°.

VZBAC=ZBDC,

:.ZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,即：BD±DE.

•・•点D在。O上，

・・・DE是G)O的切线；

(2)・.・DE〃AC.

■:ZBDE=90°,

:.ZBFC=90°,

1

r.CB=AB=8,AF=CF=-AC,

2

VZCDE+ZBDC=90°,ZBDC+ZCBD=90°,

:、ZCDE=ZCBD.

VZDCE=ZBCD=90°,

AABCD^ADCE,

.BDCD

''~CD~~CEy

18CD

••，

CD2

ACD=4.

在RSBCD中，BD=JBC2+C02=4石,

同理：ACFD^ABCD,

.CFCD

BCBD

.CF4

••方—访’

，CF=^~,

5

・・.AC=2AF=3叵.

5

点睛：此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出

BC=8是解本题的关键.

3.已知△ABC,以AB为直径的。0分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4,BC=2V3,求CD的长.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）-

翦

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到NEDC=NC,由圆外接四边形的性质得到NEDC=NB,由此推得NB二NC,

由等腰三角形的判定即可证得结论：（2）连接AE,由AB为直径，可证得AEJ_BC,由（1）知AB二AC,由“三线

合一“定理得到BE=CE=-i-BC=V3»由割线定理可证得结论.

4

试题解析：（1）VED=EC,/.ZEDC=ZC,VZEDC=ZB,AZB=ZC,.*.AB=AC：

（2）连接AE,TAB为直径，AAE±BC,由（1）知AB二AC,ABE=CE=-^BC=Vs，

VCE-CR=CD*CA.AC=AR=4＞，A/^2A/^=4CD,.\CD=-^.

M

考点：（1）圆周角定理；（2）等腰三角形的判定与性质；（3）勾股定理.

4.如图，AB,AC分别是半。O的直径和弦，ODJ_AC于点D,过点A作半。0的切线AP,AP与OD的延长线

交于点P.连接PC并延长与AB的延长线交于点F.

（1）求证：PC是半OO的切线；

（2）若NCAB=30°,AB=10,求线段BF的长.

【答案】见解析；5.

【解析】试题分析：（1）、连接OC,可以证得△oAPgaocp,利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定

理可以得到：ZOCP=90°,即OC_LPC,即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC_LPE,然后通过解直角三角

函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可.

试题解析：（1）、连接OC,

VOD±AC,OD经过圆心0,

/.AD=CD,

/.PA=PC,

OA=OC

在AOAP和aOCP中，PA=PC，

OP=OP

•••△OAPg△OCP（SSS）,

JZOCP=ZOAP

〈PA是CO的切线，

/.ZOAP=90°.

•••ZOCP=90°,

即OC_LPC

・•・PC是GO的切线.

(2)、:AB是直径，

/.ZACB=90°,

VZCAB=30°,

:.ZCOF=60°,

•・•PC是GO的切线，AB=10,

AOC1PF,OC=OB4AB=5,

2

考点：(1)、切线的判定与性质；(2)、解直角三角形

5.(2015崇左)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),与y轴相切于点。，与x轴相交于A、B

两点.

(1)则点A、B、C的坐标分别是A(_,_),BC(_,_)；

(2)设经过4、8两点的抛物线解析式为y=1(x-5)2+A,它的顶点为凡求证：直线E4与。M相切；

4

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使AP8C是等腰三角形.如果存在，请求出点产

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)A(2,0),B(8,0),C(0,4)；(2)证明见试题解析；(3)尸(5,4),或(5,J7T),或(5,4+痴).

【解析】

试题分析：(1)连接MC,则MC垂直于y轴，MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可计算AD和DB；

6

（2）把A、或B或C的坐标代入y=」（在一；5”#废，确定二次函数表达式y=」（窜一国2-日，连接MA,根据勾股

44磷

定理计算AF,由勾股定理逆定理判断MAJ_AF,从而说明FA是切线；

（3）设P（x,4）,当C为顶点时，在RtACMPi中用x表示CPi,根据。抬=8。2列方程求解：当R为顶点时，

在RtABDPz中用x表示CP2,根据Cg2=5C2列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合.

试题解析：3）连接MC,则MC垂直于y轴，MA=MC=5,MD=4,在RIAAMD中，3yjAM?-MD2=3,同

理在RsBMD中，BD=3,AA（2,0）,B18,0）,C（0,4）；

（2）把A（2,0）y=，（审一番）**最，解得k=-二，・•・）＜=，（酣一名产一二，,F（5,连接MA,则MF=4+—二

444司44

豁：___________岭625

——，AF=（AD?+尸I）2=—,/.FA1+AD2=MF2=-----,・'.MA_LAF,，FA与（DM相切；

硼q16

⑶设P（x,4）,BC2=80.当C为顶点时，在RsCMPi中,。甲=25+（x-4）2,・・・25+（二-4）2=80,

x二4±J5?，点P在x轴上方，故x=4+序，所以（4+后，4）；

当B为顶点时，在RSBDP2中，。厅=9+（工一4）2,A9+（x-4）2=80,x=4±JfT，点P在x轴上方，故

x=4十5,所以（4+M，4）；

当P是顶点时，P和M重合，P3（5,4）.

综上当P（4+厉，4）、（4+J7T，4）或（5,4）时4PBC是等腰三角形.

考点：二次函数综合题.

6.如图，AB是。。的直径，点C在AB的延长线上，AD平分NCAE交。0于点D,且AE_LCD,垂足为点E.

（1）求证：直线CE是。。的切线.

(2)若BC=3,CD=3V2，求弦AD的长.

【答案】（1）证明见解析（2）V6

【解析】

试题分析：（1）连结OC,如图，由AD平分NEAC得到Nl=/3,加上N1=N2,则/3=N2,于是可判断OD〃AE,

根据平行线的性质得OD_LCE,然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)由ACDBs^CAD,可得”=—=丝，推出CD2=CB・CA,可得（3、技）2=3CA,推出CA=6,推出

CACDAD7

AR=CA-RC=3,"=阻£=避，设RD二亚K,AD=2K,在RtAADR中，可得2k2+41<2=5,求出k即可解

助62

决问题.

试题解析：（1）证明：连结OC,如图，

YAD平分NEAC,

・・・N1=N3,

VOA=OD,

AZ1=Z2,

/.Z3=Z2,

AOD/7AE,

VAE±DC,

AOD±CE,

・・・CE是00的切线；

(2)VZCDO=ZADB=90°,

/.Z2=ZCDB=Z1,VZC=ZC,

/.△CDB^ACAD,

.CD_CB_BD

CACDAD

ACD2=CB<A,

:.(3血)2=3CA,

ACA=6,

丝=逑=且设BD=/K,AD=2K,

/.AB=CA-BC=3,

助62

在RSADB中，2k2+4k2=5,

8

6

/.AD=2^2.

3

考点：切线的判定与性质.

7.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点（不与B,C重合），PE是AABP的外接圆。O的直

径.

（1）求证：AAPE是等腰直角三角形；

（2）若。。的直径为2,求,挑济¥豳河的值

C

E

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出NC=NABC=NPEA=45。，再由PE是。O的直径，得出

NPAE=90°,NPEA=NAPE=45。,从而得证.

（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证^CPAg/XBAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.

试题解析：（1）证明：二•△ABC是等腰直角三角形，

・•・ZC=ZABC=45°,

・•・ZPEA=ZABC=45°

又・・・PE是。O的直径，

/.ZPAE=90°,

.\ZPEA=ZAPE=45°,

・•・△APE是等腰直角三角形.

（2）••・△ABC是等腰直角三角形，

・・・AC;AB,

同理AP=AE,

又丁ZCAB=ZPAE=90°,

・•・ZCAP=ZBAE,

/.ACPA^ABAE,

・・・CP=BE,

在RsBPE中，ZPBE=90°,PE=2,

APB2+BE2=PE2,

ACP2+PB2=PE2=4.

考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、

等腰直角三角形

8.如图，点。在N4P4的平分线上，。。与相切于点C.

（1）求证：直线尸5与。。相切；

（2）尸。的延长线与。。交于点若。。的半径为3,PC=4.求弦CE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）yV3

【解析】

试题分析：（1）连接。C,作OO_LP3于。点.证明。。=。。即可.根据角的平分线性质易证；

（2）设P。交。。于凡连接CK根据勾股定理得P0=5,则PE=8.证明APCFsAPEC,得CF：CE=PC：PE=\：2

.根据勾股定理求解CE.

试题解析：（1）证明：连接0C,作OO_LPB于。点.

与朋相切于点C,：.OCLPA.

（2）解：设P0交。。于F,连接CE

，：0C=3,PC=4,：.P0=5,P£=8.

•/。。与网相切于点C,/.ZPCF=ZE.

又Y/CPF=NEPC,:、△PCFSMEC,

：.CF：CE=PC：PE=4：8=1：2.

EF是直径,・•・NEC尸=90。.

设CF=x,则EC=2r.

则N+(2A)2=62>解得尸

则EC=2x号料.

10

9.如图，已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,ZBAD=105°,ZDBC=75°.

（2）若圆O的半径为3,求食的长.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）71

【解析】

试题分析：（1）直接利用圆周角定理得出NDCB的度数，再利用NDCB=/DBC求出答案；（2）首先求出面的度

数，再利用弧长公式直接求出答案.

试题解析：（1）•・•四边形ABCD内接于圆O,.*.ZDCB+ZBAD=180°,VZBAD=I05°,

:.ZDCB=180°-105°=75°,VZDBC=75°,:.ZDCB=ZDBC=75°,/.BD=CD；

（2）ZDCB=ZDBC=75°,/.ZBDC=30°,

＜

由圆周角定理，得，标的度数为：60。，故前=嚅36°僚、,

1oUloU

答：标的长为兀.

考点：（1）圆内接四边形的性质：（2）弧长的计算.

10.如图，AB为。O的直径，PD切。O于点C,与BA的延长线交于点D,DE_LPO交PO延长线于点E,连接

PB,ZEDB=ZEPB.

（1）求证：PB是的切线.

（2）若PB=6,DB=8,求。O的半径.

【答案】⑴证明见解析；（2）3.

【解析】

试题分析：（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得

到NOBP为直角，即可得证；

（2）在RSPBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC二PB,由PD-PC求出

CD的长，在RSOCD中，设OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，

即为圆的半径.

试题解析：（1）证明：•・•在ADEO和APBO中，ZEDB=ZEPB,ZDOE=ZPOB,

AZOBP=ZE=90°,

〈OB为圆的半径，

・・・PB为圆0的切线;

（2）解：在RtAPBD中，PB=6,DB=8,

根据勾股定理得：PD二府谓=10,

・・・PD与PB都为圆的切线，

/.PC=PB=6,

/.DC=PD-PC=10-6=4,

在RsCDO中，设OC=r,则有DO=8-r,

根据勾股定理得：（8・r）2=3+42,

解得：r=3,

则圆的半径为3.

考点：切线的判定与性质.

11.如图，AA3C中，AB=ACt以A3为直径的。。与SC相交于点O,与CA的延长线相交于点E,过点&作

刀尸_LAC于点尸.

（1）试说明。尸是。。的切线;

(2)若4C=3AE,求tanC.

【答案】（1）详见解析；（2）tanC=42.

2

12

【解析】

试题分析：（1）连接0D,根据等边对等角得出NB=NODB,ZB=ZC,得出NODB=NC,证得OD〃AC,证得

OD±DF,从而证得DF是。O的切线；

（2）连接BE,AB是直径，ZAEB=90°,根据勾股定理得出BE=20AE,CE=4AE,然后在RTABEC中，即可

求得tanC的值.

试题解析：（1）连接OD,

/.ZB=ZODB,

VAB=AC,

.*.ZB=ZC,

:.ZODB=ZC,

，OD〃AC,

VDF1AC,

AOD1DF,

・・・DF是(DO的切线；

(2)连接BE,

TAB是直径，

/.ZAEB=90°,

VAB=AC,AC=3AE,

/.AB=3AE,CE=4AE,

：•BE={AB?-AE?=2yf2AE,

在RTABEC中，lanO及二2&AE;旦

CE4AE2

考点：切线的判定.

12.如图，点4&C在半径为8的。。上，过点B作BD//AC,交。4延长线于点连接BC,且

ZBCA=ZOAC=30°.

（1）求证：是。。的切线;

（2）求图中阴影部分的面积.

【解析】

【分析】

（1）连接0B,根据圆周角定理求出NBQ4,根据三角形内角和定理求出NQ4C,根据切线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得到N0=3O。，解直角三角形求出80,分别求出AB。。的面积和扇形A08的面积，即

可得出答案.

【详解】

（1）证明：连接0B,交C4于E，

2

・•・ZBOA=60°,

*：ZBCA=ZOAC=30°,

・•・ZA£O=90°，

即O8_LAC,

,/BD//AC,

:.NDBE=ZAEO=90。,

・•・B力是。。的切线；

(2)解：・・•4C//BD/OCA=90°,AZD=NCAO=30°，

•・•/。6。=90。,08=8,

・•・BD=gOB=8£，

14

••S阴影"S^DO-s扇形A08=*8且携*32反军

【点睛】

本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比

较好，难度适中.

13.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，^ABC的三个顶点坐

标分别为A(1,4),B(1,1),C(3,1).

（1）画出aABC关于x轴对称的△AiBiG；

（2）画出^ABC绕点O逆时针旋转90。后的AAzB2c2;

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留冷.

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2n.

【解析】

【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；

（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；

（3）BC归过的面积=5向秘2-S扇开处犯，由此计算即可;

【详解】（1）AABC关于x轴对称的AAIBIG如图所示；

（2）AABC绕点O逆时针旋转90。后的AA2B2c2如图所示;

（3）BC扫过的面积二S扇开处0c2—S扇般JBB2

=90%（42$2,咆2』2,=2冗

360360

【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

14.如图，A5为。。直径，4c为。。的弦，过。。外的点。作OE_LO4于点E,交AC于点尸，连接OC并延长

交的延长线于点P,且NO=2NA,作于点H.

(D判断直线&C与。0的位置关系，并说明理由；

(2)若”8=2,cosD=|,请求出AC的长.

【答案】(1)。。与。。相切；(2)46.

【解析】

试题分析：(1)连接OC,易证NCO8=NO,由于NP+N£>=90。，所以N/^NCOB=90。，从而可知半径OC_LOC；

3

(2)由(1)可知：cosNCOP=cosNO=g,设半径为「，所以O”=r-2,从而可求出r的值，利用勾股定理即可求

出CH的长度，从而可求出AC的长度.

试题解析：解：(1)DC与。O相切.理由如下：

连接OC,VZC0B=2ZA,ZD=2ZA,AZCOB=ZD,VD£±AP,；.NDEP=90。,在RsOEP中，

NDEP=90。,AZP+ZD=90°,<NP+NCO5=90°,，NOCP=90。，J半径。C_LQC,二。。与。O相切.

3

(2)由(1)可知：ZOCP=90°,ZCOP=ZD,/.cosZCOP=cosZZ)=-,VCHLOP,：・/CHO=90。,设。。的

0Hr—13

半径为r,则OH=r-2.在RsCH。中,cosNHOC=——=^^=-,A/-5,：.0H=5-2=3,上由勾股定理可知：

OCr5

CH=4,：,AH=AB-HB=\0-2=8.

16

在RtZkAHC中，NCH4=90。，，由勾股定理可知：

点睛：本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理、锐角三角函数，切线的判定，解方程等知识，本题属于中等题型.

15.。0为4ABC的外接圆,请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1,图2中画出一条弦，使这条弦将AABC

分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）如图2,直线I与。O相切于点P,且1〃BC.

【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）过点C作直径CD,由于AC=BC,弧AC二弧BC,根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB,所以

CD将^ABC分成面积相等的两部分；

（2）连结PO并延长交BC于E,过点A、E作弦AD,由于直线1与。0相切于点P,根据切线的性质得OP_LL

而1〃BC,则PE_LBC,根据垂径定理得BE=CE,所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分.

试题解析：（1）如图1,直径CD为所求；

考点：1.作图一复杂作图；2.三角形的外接圆与外心；3.切线的性质；4.作图题.

16.如图，AB为。。的直径，C是OO上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE±DC,垂足为E,F是AE

与00的交点，AC平分/BAE.

(1)求证：DE是OO的切线；

(2)若AE=6,ZD=30%求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为-号.

【解析】

【分析】

（1）连接OC,先证明NOAC=NOCA,进而得至ij0C〃AE,于是得至ij0CJ_CD,进而证明DE是。O的切线；（2）

分别求出AOCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴产SACOD-S申形OBC即可得到答案.

【详解】

解：（1）连接OC,VOA=OC,ZOAC=ZOCA,

VAC平分NBAE,:.ZOAC=ZCAE,

AZOCA=ZCAE,A0C/7AE,NOCD=/E,

VAE1DE,/.ZE=90°,/.ZOCD=90°,A0C1CD,

•・•点C在圆O上，OC为圆0的半径，・・・CD是圆O的切线；

（2）在RSAED中，VZD=30°,AE=6,/.AD=2AE=12,

在RtAOCD中，vZD=30°,ADO=2OC=DB+OB=DB+OC,

ADB=OB=OC=-ADM,D0=8,

3

2

•*-CD=VPO2-OC=A/82-42=4G

CDOC

・•・SAOCD==4吊4=86,•・•ZD=30°,ZOCD=90°,

22

•1,8

••NDOC=60°,留影OBC=_xJixOC2=-71♦

63

•：S阴影=SACOD-S扇形OBC；・S用影=8、/5——

J阴影部分的面积为8石-y.

18

17.如图，。。中，弦A3与CO相交于点E,A3=CO，连接A。、BC.

求证：⑴AO=BC；

⑵AE=CE.

【答案】⑴见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由AB=CD知AB二CZ)'即AQ+AC二BC+AC'据此可得答案；

(2)由4O=5C知AD=BC,结合NADE=/CBE,ZDAE=ZBCEoJiiEAADE^ACBE,从而得出答案.

【详解】

证明(1)VAB=CD,

AAB=CD*即AO+AC=BC+AC'

：•AO=BC；

⑵VAD=BC^

・・・AD=BC,

XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,

/.△ADE^ACBE(ASA),

AAE=CE.

【点睛】

本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等,

②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.

18.如图，AB是。O的直径，ED切。O于点C,AD交。O于点F,NAC平分NBAD,连接BF.

（1）求证：ADJ_ED；

（2）若CD=4,AF=2,求。O的半径.

【答案】（1）证明见解析；（2）。。的半径为J万.

【解析】

【分析】

（1）连接OC,如图，先证明OC〃AD,然后利用切线的性质得OC_LDE,从而得到AD_LED；

（2）OC交BF于H,如图，利用圆周角定理得到NAFB=90。，再证明四边形CDFH为矩形得到

FH=CD=4,ZCHF=90°,利用垂径定理得到BH=FH=4,然后利用勾股定理计算出AB,从而得到。。的半径.

【详解】

（1）证明：连接OC,如图，

；AC平分NBAD,

・・・N1=N2,

VOA=OC,

/.Z1=Z3,

.\Z2=Z3,

AOC/7AD,

「ED切00于点C,

AOC1DE,

AAD±ED；

（2）解：OC交BF于H,如图,

VAB为直径，

20

NAFB=90。，

易得四边形CDFH为矩形，

AFH=CD=4,ZCHF=90°,

AOH1BF,

ABH=FH=4,

，BF=8,

在RtAABF中，AB=7AF2+BF2=>/22+82=2V17，

...oo的半径为JT7.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得

出垂直关系.也考查了垂径定理和圆周角定理.

19.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD〃BC,OD与AC交于点E.

(1)若NB=70。，求NCAD的度数；

(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.

【答案】(1)35°；(2)2--.

2

【解析】

试题分析：(1)根据圆周角定理可得NACB=90。，则NCAB的度数即可求得，在等腰AAOD中，根据等边对等角

求得NDAO的度数，则NCAD即可求得.

(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得.

试题解析：解：⑴・・・AB是半圆O的直径，・・・NACB=90。.

又・.・OD〃BC,AZAEO=90°,即OE_LAC.

ZB=70°,/.ZCAB=90°-ZB=90°-70°=20°.

VOA=OD,AZDAO=ZADO=55°.

・•・ZCAD=ZDAO-ZCAB=55°-20°=35°.

(2)在RSABC中，="2—32

VOE1AC,AAE=EC.

XVOA=OB,.,.OE=-BC=^,.

22

又•:OD=-AR=2,DE=OD-OE=2-立.

22

考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.三角形内角和定理；4.平行线的性质；5.勾股定理；6.垂径定理；7.

三角形中位线定理.

20.如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在3。上，且不与点B,D重合），ZACB=ZABD=45°.

（1）求证：BD是该外接圆的直径；

（2）连结CD,求证：V2AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,4M2,,三者之间满足的等量

关系，并证明你的结论.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DM2=BM2+2MA2理由详见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）易证AABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）如图所示作CA_LAE,延长

CB交AE于点E,再证4ACE为等腰直角三角形，可得AC=AE,再由勾股定理即可得CE=J5AC；利用SAS判

定△ABEg^ADC,可得BE=DC,所以CE=BE+BC,所以CE=DC+BC=0AC；（3）延长MB交圆于点E,

连结AE、DE,因NBEA二NACB=NBMA=45。，在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,由勾股定理可得

MA2+AE2=2MA2=ME2M^+AE2=2M^=ME2^再证NBED=90。，在RsMED中，有

ME2+DE2=MD2^所以2M42+^32=MD'

试题解析：（1）•・,弧AB=MAB,

AZADB=ZACB,

又•・,ZACB=NABD=45。，

.\ZABD=ZADB=45°,

・・・NBAD=90°,

22

•••△ABD为等腰直角三角形，

・・・BD是该外接圆的直径，

(2)如图所示作CA_LAE,延长CB交AE于点E

VZACB=45°,CA±AE,

•••△ACE为等腰直角三角形，

/.AC=AE,

由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2,

.・・CE=&AC，

由(1)可知AABD为等腰直角三角形，

・・・AB=AD,NBAD=90。，

又：ZEAC=90°,

ANEAB+ZBAC=NDAC+NBAC,

・・・NEAB=NDAC,

AB=AD

，在aABE和AADC中，ZEAB=ZDAC,

AE=AC

AAABE^AADC(SAS),

，BE=DC,

，CE=BE+BC=DC+BC=0AC,

(3)DM2=BM2+2MA2,

延长MB交圆于点E,连结AE、DE,

■:ZBEA=ZACB=ZBMA=45°,

・••在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,

・•・M42+AE2=2MA?=ME"

又：AC=MA=AE,

・•・AC=AE^

又.・•AD=AB^

AC-AD+CE=AE-AB+CE^

即DE=BC，

・・・DE=BC=MB,

•・・BD为直径，

，ZBED=90°,

在RTAMED中，有ME?+DE2=MD?，

•*­2A^A2+MB2=MD2

考点：圆的综合题.

21.已知四边形ABCD是。。的内接四边形，AC是。。的直径，DE_LAB,垂足为E.

（1）延长DE交。O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证：PC=PB；

（2）过点B作BG_LAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧，如图2.若AB二

73，DH=1,ZOHD=80°,求NBDE的大小.

【答案】（1）详见解析；（2）ZBDE=20°.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件易证BC〃DF,根据平行线的性质可得NF=NPBC；再利用同角的补角相等证得NF二NPCB,

所以NPBC=NPCB,由此即可得出结论；（2）连接0D,先证明四边形DHBC是平行四边形，根据平行四边形的性

质可得BC=DH=1,在RsABC中，用锐角三角函数求出NACB=60",进而判断出DH=OD,求出NODH=20。，再

求得NNOH=/DOC=40。，根据三角形外角的性质可得NOAD='ZDOC=20°,最后根据圆周角定理及平行线的性

2

24

质即可求解.

【详解】

(1)如图1,・・・AC是。0的直径,

AZABC=90°,

VDE1AB,

/.ZDEA=90°,

AZDEA=ZABC,

・・.BC〃DF,

AZF=ZPBC,

•••四边形BCDF是圆内接四边形，

/.ZF+ZDCB=180°,

VZPCB+ZDCB=180°,

AZF=ZPCB,

AZPBC=ZPCB,

.•.PC=PB；

(2)如图2,连接OD,

图2

〈AC是。O的直径，

:.ZADC=90°,

VBG1AD,

/.ZAGB=90°,

AZADC=ZAGB,

；.BG〃DC,

VBC/7DE,

，四边形DHBC是平行四边形,

.\BC=DH=1,

在RSABC中，AB=G，tanZACB=^=>/3,

BC

・•・ZACB=60°,

1

/.BC=-AC=OD,

2

ADH=OD,

在等腰△DOH中，ZDOH=ZOHD=80°,

/.ZODH=20°,

设DE交AC于N,

•・・BC〃DE,

AZONH=ZACB=60°,

AZNOH=180°-(ZONH+ZOHD)=40°,

AZDOC=ZDOH-ZNOH=40°,

VOA=OD,

:、ZOAD=-ZDOC=20%

2

:.ZCBD=ZOAD=20°,

•・・BC〃DE,

AZBDE=ZCBD=20°.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第(2)

问，作出辅助线，求得/ODH=20。是解决本题的关键.

22.如图，OO的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证PA=PC.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出=进而得出AO=C8,根据等弧所对的圆周角相等得出NC=

ZA,根据等角对等边证得结论.

【详解】

解：如图，连接AC.

26

-AB=CD,

・•・AB=CD

:•AB+BD=CD+DB，S|JAD=CB

:.ZC=Z4.

：.PA=PC.

【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

23.如图，在等腰AA8C中，AB=AC,以AC为直径作0。交8C于点。，过点。作垂足为£.

(1)求证：DE是的切线.

(2)若DE=6,Z-C=30°,求A。的长.

2

【答案】(1)见解析；(2)4

【解析】

【分析】

(1)连结8,根据等腰三角形性质和等量代换得N1=N8,由垂直定义和三角形内角和定理得N2+NB=90。，

等量代换得N2+N1=90。，由平角定义得NDOE=90。，从而可得证.(2)连结AD，由圆周角定理得Z47X?=9O°,

根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得ZAOD=60°,在RtADEB中，由直角三角形性质得BD=CD=?6

在RtAA。。中，由直角三角形性质得。4=OC=2,再由弧长公式计算即可求得答案.

【详解】

(1)证明：如图，连结8.

♦：OC=OD,AB=AC,

AZ1=ZC,NC=/B,

・•・N1=N3，

ADELAB,

・•・N2+N8=90。，

/.Z2+Zl=90°,

:.NODE=90。，

・・・OE为。。的切线.

(2)解：连结A。，•・•AC为。。的直径.

：.ZADC=90°.

•：AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD,

•••ZAOD=60°.

vDE=5

・•・BD=CD=Z5

••・OC=2,

560c2

:.AD=-----TIX2=—冗

1803

【点睛】

本题考查切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

24.如图1,AB是。。的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,P是。。上半部分的一个动点，连接OP,

CP.

(1)求AOPC的最大面积；

(2)求NOCP的最大度数；

(3)如图2,延长PO交。。于点D,连接DB,当CP=DB时，求证：CP是。。的切线.

28

【答案】(1)4；(2)30°；(3)见解析；

【解析】

【分析】

(1)^AOPC+，底边OC长度固定，因此要想AOPC的面积最大，则要OC边上的高最大；由图形可知，当OP_LOC

时局最大；

(2)要想NOCP的度数最大，由图形可知当PC与。O相切才能满足，根据切线的性质即可求得；

(3)连接AP,BP通过△ODBgZ\BPC可求得DP_LPC,从而求得PC是。O的切线

【详解】

解：(1)VAB=4,

/.OB=2,OC=OB+BC=4.

在AOPC中，设OC边上的高为h,

VSAopc=-OC-h=2h,

・二当h最大时，SAOPC取得最大值.

观察图形，当OP_LOC时，h最大，如答图1所示:

答图1

此时h二半径二2,SAOPC=2X2=4.

•••△OPC的最大面积为4.

(2)当PC与。。相切时，/OCP最大.如答图2所示:

'：tanZOCP=—==—，

，警窗徐行塞

・•・ZOCP=30°

，/OCP为最大度数为30。.

等图3

/.ZA=ZD=ZAPD=ZABD,

VZAOP=ZDOB

AAP=BD,

VCP=DB,

・・・AP=CP：

，ZA=ZC

ZA=ZD=ZAPD=ZABDZC,

在AODBtjABPC中

•Ls=x£i0@O,

AAODB^ABPC(SAS),

AZD=ZBPC,

•・・PD是直径，

；・ZDBP=90°,

・•・ZD+ZBPD=90°,

.\ZBPC+ZBPD=90°,

ADPIPC,

30

〈DP经过圆心,

・・・PC是。O的切线.

考点：1、最值问题；2、切线的性质与判定；3、圆周角定理

25.如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径的。O交AB于点D,交BC于点E.

（1）求证：BE=CE；

(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

【答案】证明见解析；（2）9.

【解析】

试题分析；（1）连结人£,如图，根据圆周角定理，由人。为。。的直径得到/人EC=90。，然后利用等腰三角形的性

质即可得到BE=CE；

（2）连结£>£如图，证明△BEDS/XBAC,然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长.

试题解析：（1）证明：连结AE,如图，:AC为（DO的直径，/.ZAEC=90°,：.AE1.BC,而AB=AC,：.BE=CE；

9

(2)连结OE,如图，：BE=CE=3t：.BC=61•:/BED;NBAC,而/O8E=/CBA,：・4BEDs/\BAC,:.

，：.BA=9,：.AC=BA=9.

点睛：本题考杳了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边

等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了

角平分线的性质和圆周角定理.

26.如图，在用A45C中，NC=90°,以BC为直径的。。交A5于点。，切线交AC于点E.

B

AEC

（1）求证：ZA=ZA£>EJ

（2）若4）=8,DE=5,求BC的长.

【答案】（1）见解析；（2）BC=^-

【解析】

【分析】

（1）只要证明/A+NB=90。，NADE+NB=90。即可解决问题；

（2）首先证明AC=2DE=10,在RtZkADC中，DC=6,设BD=x,在RsBDC中，BC2=x2+62,在Rt^ABC中，BC2=

（X+8）2.102,可得X?+62=（X+8）2-1。2,解方程即可解决问题.

【详解】

（1）证明：连接8,

•.•0E是切线，

ZO