2025高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用【课件】

第二章函数第12节函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调______单调______单调______增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增递增y轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.常用结论与微点提醒×××√2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(

) A.40万元

B.60万元 C.80万元

D.120万元D解析当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).

C解析由题意知4.9＝5＋lgV，4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.506∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程例1

已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(

)D解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.训练1(2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的是(

)A.y＝mx2＋n(x＞0)B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1)D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.考点二已知函数模型解决实际问题AA感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练2(1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(

)A.17周

B.24周

C.28周

D.26周D解析由题意，f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，两式相减得loga9＝1，则a＝9，所以logak＋2＝3，得k＝9.该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08，即f(x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通风26周.故选D.(2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)(

)A.0.3小时 B.0.5小时C.0.7小时 D.0.9小时B解析设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时，由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数并整理，得则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)，故选B.考点三构建函数模型解决实际问题解析已知水池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240，40感悟提升在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.训练3

某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(

)D课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgX＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)(

) A.22.2%

B.43.8%

C.56.2%

D.77.8%D解析由题意知，lg(1000X0)＝12lg(1＋p)＋lgX0，即lg103＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，即3＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.故选D.B解析由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)(

) A.0.12

B.0.11

C.0.07

D.0.01A解析由题意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，两边取自然对数得，－10K＝ln3－ln10＝ln3－ln2－ln5，ACBD解析在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(

)A.a＝－ln5

B.k＝15C.一等奖的面值为3130元 D.三等奖的面值为130元ACD解析由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等奖的面值为3130元，故C正确.8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.10所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.9.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.610000解析M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，462故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；解由题意得，当0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减，(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解设年生长量为f(x)千克/立方米，所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.B解析如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30000，解得AB＋BC