线性代数第5版课件：向量与线性方程组

线性代数一、消元法二、解的存在性

齐次线性方程组解的判定定理非齐次线性方程组有解判定定理

向量与线性方程组为叙述方便，本章所讨论的方程组给予固定编号:非齐次齐次(1)(2)（2）通常称为（1）的导出方程组返回(2)－(1)×3;(3)－(1)×2得一、消元法一一对应消元3x1＋6x2－2x3＝11x1＋3x2－2x3＝42x1＋x2＋x3＝3－3x2＋4x3＝－1－5x2＋5x3＝－5－3x2＋4x3＝－1x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1x1＋3x2－2x3＝4换2、3例1线性方程组的初等变换矩阵的初等

变换:行消

元阶梯形方程组行阶梯形矩阵1.交换两方程1.交换矩阵的两行2.某方程两边同乘以非零数2.矩阵某行乘以非零数3.某方程k倍加至另一方程3.矩阵某行k倍加至另一行－3x2＋4x3＝－1x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1返回x3＝2x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1结论：对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换,所得矩阵对应的新方程组与原方程组同解.

回代系数矩阵:A(m×n矩阵);x3＝2x1＋3x2＝8x2

＝3x3＝2x1

＝－1x2

＝3增广矩阵:(m×(n+1)矩阵)例2

解下列线性方程组：解:（1）0=-2为矛盾方程,故原方程组无解.（2）x3＝1＋x4x1＝2－2x2－x4取得方程组全部解:x4＝k2x2＝k1x3＝1＋k2x1＝2－2k1－k2x2＝k1x4＝k2(k1、k2为任意常数)∴x2、x4称为自由未知量①用初等行变换化方程组的增广矩阵为行阶梯形消元法解线性方程组一般步骤:(必要时可重新排列未知量的顺序)…

cii≠0(i=1,2,…,r)二、解的存在性原方程组(1)的同解方程组为：显然，末尾的“0＝0”是多余方程(原方程组中的相应方程可由其它方程经初等变换得到),去掉.②方程组解的判定1o若dr+1≠0,则原方程组无解(0=dr+1≠0是矛盾方程)2o若dr+1＝0

，则原方程组有解：③有解时回代求出解(回代过程全在矩阵上进行!)当r=n时，有唯一解；当r<n时，有无穷多解.用初等行变换化行阶梯形矩阵为简化行阶梯形!返回r＝n时，r<n时,将x1,x2

…,xr用自由未知量xr+1,xr+2,…,xn表示，x1＝令xr+1=k1,xr+2=k2,…,xn=kn-r(k1,k2,…,kn-r为任意常数),得无穷多个解的一般形式.如唯一解为：xi＝di¢

(i＝1,2,…,n).d1¢－c1¢r+1xr+1－c1¢r+2xr+2－…－c1¢nxn;定理1设非齐次方程组Am×nX＝b，则(1)r(A)≠r(A)，原方程组无解(2)r(A)＝r(A)＝n，原方程组有唯一解(3)r(A)＝r(A)<n，原方程组有无穷多组解返回非齐次线性方程组有解判定定理例4

解方程组:解:x3＝6＋2x4x1＝-8取自由未知量x4＝k得方程组全部解:x3＝6＋2kx1＝－8x2＝3＋kx4＝k(k为任意常数)x2＝3＋x4∴简化行阶梯形矩阵

每行首非零元为1，且其所在列其它元均为零.

r(A)=r(A)=3<n=4，原方程组有无穷多组解.例5解方程组:解:

r(A)＝2≠r(A)＝3，原方程组无解返回推论1当齐次线性方程组方程个数m<未知数个数n时，必有非零解.定理2

设齐次方程组Am×nX＝O，r(A)＝r，则(1)

r＝n，原方程组有唯一零解(2)

r<n，原方程组有非零解(有无穷多组解)∵r(A)≤m<n推论2

若齐次方程组An×nX＝O系数行列式|A|＝0，则必有非零解.∵r(A)

<n齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组解的判定定理例6解方程组解:(对系数矩阵作初等行变换即可,不必用增广矩阵)取

得x4＝k2x3＝k1

为何值时,线性方程组

(1)有唯一解；解:例7(2)无解；(3)有无穷多组解，有无穷多组解时求出解.

时，方程组有唯一解

时,方程组有唯一解(1)(2)

时,(3)时,原方程组有无穷多组解.原方程组等价于：(c1、c2为任意常数)取得方程组全部解:x3＝c2x2＝c1x1＝1－x2－x3x3＝c2x1＝1－c1－c2x2＝c1

r(A)＝2≠r(A)＝3，原方程组无解

r(A)＝r(A)＝1<n作业：

P95-96

习题3.1

1（1）（3）；2；3；4历史寻根

线性方程组及其解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述．我国《九章算术》中，方程章的第一个问题是：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中三禾秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何．”翻译成现代的语言，就是线性方程组：如果把古人排成的长方形的数表横过来，就是我们现在使用的增广矩阵形式．线性方程组

在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的．他曾研究含两个未知量的三个线性方程组成的方程组．在18世纪上半叶，英国数学家麦克劳林研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果．克莱姆不久也发表了这个结果．18世纪下半叶，法国数学家贝祖证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零．19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数，个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同．这正是现代方程组理论中的重要结果之一．史密斯和道奇森

18世纪克莱姆和贝祖给出n元线性方程组的重要结论，到19世纪，英国数学家史密斯(H.Smith，1826～1883)和道奇森(C-L.Dodgson，1832～1898)继续研究线性方程组理论。

史密斯引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念。

道奇森证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。

道奇森在儿童文学创作和趣题及智力游戏方面名垂青史，著名的《爱丽丝漫游奇境记》就是他（笔名刘易斯．卡罗尔

LewisCarroll）的作品。

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

线性代数n维向量概念与运算线性表示(线性组合)线性相关与线性无关关于线性相关性的几个定理3.2

向量组的线性相关性

一、n维向量概念

1.定义n维行向量(1×n矩阵)——

m维列向量

(m×1矩阵)矩阵每一行都是n维行向量每一列都是m维列向量

n个数组成的有序数组称为n维向量.用等表示。

①向量的相等②零向量：③负向量：

O＝(0,0,…,0)④向量的几何意义

2.向量的线性运算①加减

②数乘

向量的线性运算满足如下8条运算律：

(也看作特殊的矩阵作运算!)线性空间的八条公理例1

已知求例2(05考研)设均为3维列向量,记3阶矩阵且

，求＝2解：思考：

分块矩阵法语数英物化

李群尚环左模教师：成绩评定C=30﹪×A+70﹪×B画家：色彩处理

三基色原理红色+绿色+蓝色=白色红色+绿色=黄色期中期末二、线性表示(线性组合)

1.概念的建构给定一组向量

,

若存在一组数k1,k2,…,ks,使

,

则称向量

可由向量组线性表示，

也称向量是

向量组

的线性组合。例3

设,则253

定义253向量的线性表示xyz2(1,0,0)5(0,1,0)2(1,0,0)+5(0,1,0)3(0,0,1)(2,5,3)几何解释矩阵的乘法与线性方程组记

从而得：线性方程组的矩阵形式——AX＝B向量的线性运算：线性方程组的系数列向量与常数列向量间的关系x1+x2+…

+xn

＝线性方程组有解即常数向量可表示成系数列向量组的线性关系式。x1+x2+…

+xn＝线性方程组的系数列向量与常数列向量间的关系:也称是的线性组合。——称向量可由向量组线性表示;线性方程组的向量形式若存在一组数，k1,k2,…,ks,使

则称向量

可由向量组线性表示，

也称向量是

向量组

的线性组合。一般地,任一n维向量都可由Rn的基本单位向量组线性表示为:2(-3)4例4

零向量是任一组同维向量的线性组合：

例5向量组中任一向量都可由该向量组线性表示：可由线性表示线性方程组有解.2.结论00000100例6.已知

可否由线性表示,若可以,写出表示式.先考虑可由线性表示线性方程组有解.结论:解:①2k1－k2＝3k1＋2k2＝4－k1＋k2＝－15k1＋k2＝11亦即即设可省步骤②设∴原方程组无解则

不可由线性表示r(A)≠r(A)②重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.不可由线性表示由此及例1的一般结论，可不经过方程组这一中间步骤直接理解例4解题过程。(第三分量无线性关系:1≠k1·0＋k2·0)

小结：可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

例7(00考研)设向量组（1）可由线性表示，且表示唯一；试问a、b、c满足什么条件时（2）不能由线性表示；（3）可由线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.

(1)a≠-4时，D≠0，方程组有唯一解解:

设,则该方程组的系数行列式＝-(a＋4)

可由线性表示,且表示唯一.

即:a≠-4时(2)a＝－4时，对增广矩阵作初等行变换，有x3=2b＋1x2＝－b－1－2x1由得一般表达式:(3)a＝-4且3b－c＝1时,

(k为任意常数)

3b－c≠1时，方程组无解

即:a＝-4且3b－c≠1时,不能由线性表示.方程组有无穷多组解，

可由线性表示，且表示不唯一；三、线性相关与线性无关

齐次线性方程组的向量形式:齐次线性方程组必有零解齐次线性方程组有非零解

存在不全为0的k1,k2,…,kn

使得——称1.定义给定向量组,若存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使,则称向量组线性相关；(“线性无关”定义?)线性相关若当且仅当k1=k2=…=ks=0时上式成立,则称线性无关.(2)一个向量

线性相关(4)线性相关

有非零解

r<n

(无)(仅有零解)(r＝n)

(3)两个向量线性相关对应分量成比例．向量个数向量维数＝未知量个数；＝方程个数.(1)

含有零向量的任一向量组必线性相关．2.结论定理1n个n维向量线性相关(无关)定理2

n＋1个n维向量必线性相关(∵方程个数<未知量个数,必有非零解)

(≠0)重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列

是否线性相关——竖排行变换

四、关于线性相关性的几个定理例8.

基本单位向量组线性无关

例9.判断

是否线性相关？

∵r=2<3＝向量个数，

线性相关

解:设则例10.证明：若线性无关,则线性无关证:设

(*)则而线性无关∴方程组只有零解ki=0(目标:ki=0)即只有k1=k2=k3=0时(*)式才成立.线性无关

线性无关线性无关?×

(奇数个向量时结论成立)思考：证:设

,则:推论:向量组线性无关当且仅当其中任一向量都不能由其余向量线性表示.定理3

向量组线性相关其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.

,设kj≠0，则:定理4

若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.

(记：部分相关，则整体相关；注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未必线性无关.例(1,0),(0,1),(1,1).定理5若向量组线性无关，则每个向量在相同位置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一些分量后所得低维向量组线性相关.（记：短无关，则长无关；长相关，则短相关）

逆否命题：整体无关，则部分无关)定理6.

线性无关，线性相关，证①②设

线性相关

∴存在不全为0的数k,ki,使

∴k≠0

(反证可得)线性无关线性无关即由线性表示方法唯一.

则可由唯一线性表示.

∴ki=li(i=1,2,…,s)例如:任一n维向量可由Rn的基本单位向量组唯一地线性表示为：例11设向量组线性相关，线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论；(2)能否由线性表出?证明你的结论.解:(1)∵线性无关,∴而线性相关∴能由唯一线性表出(2)设由(1)代入上式整理得即可由表出,从而线性相关,∴不能由线性表出线性无关矛盾!作业:

P103

习题3.2

1,2(1)(3)，4(2)

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

向量的运算早在高斯关于复数的几何表示的论文中就已隐现．有了坐标系后，人们意识到需要建立几何运算空间．1803年，法国数学家卡诺提出了设想，在《位置几何学》中，有指向的量第一次被系统地应用于综合几何．1844年，n

维几何的奠基人之一的格拉斯曼发表了《线性广延论》一书，其中已有一般的n维几何的概念，给出了向量外乘法的递推定义，建立了格拉斯曼代数和格拉斯曼流形的结构，以及外微分形式.格拉斯曼不只是考虑实数有序四元数组，而是考虑实数有序元数组，格拉斯曼使每一个这样的数组与一个形式为的结合代数相联系，其中是该代数的基本单位．格拉斯曼实际上已经引入了向量的一般运算，包括向量的加减法、向量的内积、向量的外积．几何向量自然地过渡到维向量．格拉斯曼的工作（和爱尔兰数学家哈米顿的四元数）导致了代数的解放，并且打开了现代抽象代数的大门，开创了张量分析的研究．向量线性代数复习向量组的极大无关组等价向量组向量组的秩典型例题2.

任一n

维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解

(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合复习有非零解

(无)(只有零解)r<n

(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关定理4.

短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.

线性无关，线性相关

可由唯一线性表示.

定理1.

n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关

线性无关向量组的部分组线性无关,一、向量组的极大线性无关组

1.定义若向量组的部分组满足:(1)线性无关;

则称为向量组的一个极大线性无关部分组,简称极大无关组.(2)从向量组中任意另取一个向量(若还有),添到中,所得新部分组都线性相关.线性相关向量组的部分组未必线性相关：一个向量非零即无关,两个向量对应分量不成比例则无关，三个向量…

…

，逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念——向量组的极大线性无关组由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任意一个向量都可以由线性表示.(2)线性无关向量组的极大无关组就是该向量组.(1)向量组有极大无关组当且仅当向量组含有非零向量.

为Rn的一个极大无关组.

（Rn中向量个数无限）(4)向量组的极大无关组可能不止一个.例如，对于向量组：向量组的所有极大无关组含向量个数相同(?)

都是的极大无关组.二、等价向量组1.定义

设两个向量组:(I)(II)若(I)中每一向量可由(II)线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示；若两向量组可相互线性表示,则称两向量组等价.

3.定理8.向量组与其极大无关组等价.

推论向量组的任意两个极大无关组等价.

等价关系具有：2.定理7.

向量组(I)可由(II)，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示1.反身性；2.对称性；3.传递性.

推论3

向量组的所有极大无关组所含向量个数相等。证明思路：构造法定理理解:消去可得推论1(逆否命题)推论2

两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等.线性表示∵t≤s，s≤t

线性无关，且可由间关系式定理9

向量组可由线性表示,若t>s，则线性相关.三、向量组的秩定义向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记秩().规定:

(1)零向量组的秩为0(2)向量组线性无关当且仅当秩等于s例如：的秩是2.的秩是n.定理10等价等价可由线性表示∴可由线性表示由定理9推论1：r1≤r2证：推论：等价的向量组秩相等.

可由线性表示

?≤四、典型例题例1求的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.对应分量不成比例，线性无关线性相关线性相关为极大无关组繁！解：

重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.线性无关为极大无关组

一石三鸟

例2

求向量组的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.为…解：练习(94考研)设向量组求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式.r＝3答案：例4设有两个向量组(I)的秩为r1,向量组(II)的秩为r2,且向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则r1与r2的关系为r1≤r2D例3

若向量组的秩为r

，则(

)(A)必定

r<s

(B)向量组中任意小于r个的部分向量组线性无关

(C)向量组中任意r个向量线性无关

(D)向量组中任意r+1个向量必线性相关

例5(03考研)

设有向量组(I)：和向量组(II)：试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？解(1)(1)a≠

1时,有唯一解可由(I)线性表示又可由(II)线性表示(I)≌(II)(2)a＝1时，无解(I)与(II)不等价例6(95考研)已知向量组(I);(II);(III).如果各向量组的秩分别为r(I)＝r(II)＝3，r(III)＝4，证明向量组的秩为4.

线性无关,线性相关可由线性表示:证：设线性无关∴

k1

=k2

=k3

=k4

=0线性无关作业:

P111习题3.3

2,3,4

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

线性代数复习向量组的秩与矩阵的秩向量空间概念

基、维数与坐标子空间及其维数2.

任一n

维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解

(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合复习有非零解

(无)(只有零解)r<n

(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关定理4.

短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.

线性无关，线性相关

可由唯一线性表示.

定理1.

n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关

定理8.向量组与其极大无关组等价.

推论向量组的任意两个极大无关组等价定理7.

向量组(I)可由(II)

，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9

向量组可由线性表示,若t>s，则向量组线性相关.推论1(逆否命题)线性表示

线性无关，且可由定理10推论：等价的向量组秩相等.

可由线性表示

3.3

向量组的秩一、极大无关组二、等价向量组三、向量组的秩四、典型例题推论2

等价的线性无关向量组所含向量个数相等.推论3

向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.

五、向量组的秩与矩阵的秩矩阵的行秩:矩阵的行向量组的秩矩阵的列秩:矩阵的列向量组的秩定理11

矩阵A的行秩＝列秩＝秩(“三秩相等”定理)由“重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系”理解定理:

初等行变换行阶梯形,

r(A)=行阶梯形矩阵非零行的行数

=A的行秩=A的列秩同理三秩相等典型代表向量的线性运算满足如下8条运算公理：

一、向量空间概念

称（Rn

，+，．，

R

）为一个向量空间。所有二维向量的集合——二维向量空间R2

——即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几何空间.线性空间的八条公理概念的背景设某三维向量，即坐标为：即:任一三维向量的坐标即为该向量用三维向量空间R3的极大无关组线性表示时的组合系数.称为R3的一组基.实际上R3的任一极大无关组称作R3的一组基(秩即为空间的维数),某三维向量由其线性表示时的组合系数称作该向量在这组基下的坐标.(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)xyz二、基、维数与坐标定义设V是向量空间,若向量组满足

(1)线性无关;(2)V中任一向量都可由线性表示.则称

为空间V的一组基，n称为V的维数，记dimV=n，并称V为n维向量空间.若则称(a1,a2,…,an)为关于基的坐标.注:(1)

某n个向量是Rn的基其排成的行列式值≠0.

(2)n维向量关于某一组基的坐标唯一.

(3)标准正交基:关于标准正交基的坐标为(a1,a2,…,an)例1

证明是R4的一组基，并求在这组基下的坐标.

同时可以证明线性无关!直接将向量表示为的线性组合!分析：解:线性无关，且即是一组基,

向量在其下的坐标为三、子空间及其维数定义设V是向量空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成向量空间，则称W是V的一个子空间。是R3的一个非空子集---几何空间中Oxy平面上全体向量,是R3

的一个子空间如L＝{o}称为子零空间.不是子空间.{o}与V称为V的平凡子空间，V的其它子空间称为非平凡子空间.(加法、数乘封闭)规定:零子空间的维数为00≤dimW≤dimV维数dimW＝,一组基:2子空间构成条件子空间的维数则：是向量空间，称为Rn的由

生成的子空间.的任一极大无关组均为基.注:(1)区分

的维数与向量的维数!例2

设∈Rn，用表示的一切线性组合形成的集合，即:(2)等价向量组生成同一向量空间。例3设A=(aij)m×n,AX＝O的全体解向量的集合为L(1)若r(A)＝n，则：AX＝O只有零解,L＝{o}；(2)若r(A)＝r<n，则：AX＝O有非零解,称为齐次线性方程组AX＝O的解空间.当r(A)＝r<n时，解空间的维数?基?其全部解可用有限个解线性表示——请看下节——线性方程组解的结构补充作业：1.证明是R3的一组基,并求向量在这组基下的坐标.2.证明3.在R4中求出由向量生成子空间的维数和是R3的一组基，并求向量在这组基下的坐标.一组基.

作业：

P116

习题3.4

1；2；3；

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

线性代数复习线性方程组有解的判定定理齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构3.5

线性方程组解的结构复习非齐次齐次(1)(2)方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵记为：—

线性方程组的向量形式

2.

任一n

维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解

(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合向量的线性相关性有非零解

(无)(只有零解)r<n

(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关.定理4.

短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.

线性无关，线性相关

可由唯一线性表示.

定理1.

n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理5.向量组线性相关

定理8.向量组与其极大无关组等价.

推论向量组的任意两个极大无关组等价.

定理7.

向量组(I)可由(II)

，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9

向量组可由线性表示,若t>s，则向量组线性相关.推论1(逆否命题)线性表示

线性无关，且可由定理10推论：等价的向量组秩相等.

可由线性表示

推论2

等价的线性无关向量组所含向量个数相等.推论3

向量组的所有极大无关组所含向量个数相等.

定理11

矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩.一、线性方程组有解的判定定理定理1.线性方程组(1)有解

(cii≠0，i=1,2,…,r必要时可重新排列未知量的顺序)证明:行变换由3.1有推论1

线性方程组(1)有唯一解

推论2

线性方程组(1)有无穷多解

推论3

齐次线性方程组(2)只有零解

推论4齐次线性方程组(2)有非零解

例1讨论为何值时，方程组有解二、齐次线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的性质

1)两解之和仍是解

2)常数乘以解仍是解

一般地，解的线性组合仍是解

综上，若齐次线性方程组有非零解,则必有无穷多解,若能求出这个解向量组的一个极大无关组,则任一解向量均可用它们线性表示,因而可用它们的线性组合来表示原齐次线性方程组的全部解.2.齐次线性方程组解的结构

定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础解系。

定理2

对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r<n，则基础解系存在，且均含n-r个解。

齐次线性方程组(2)当不存在基础解系r(A)＝n时只有零解,当r(A)＝r<n时，有：证：(注意：该证明给出了求基础解系的方法!)(必要时适当交换未知量的顺序)(xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量)

行

变换同解方程组下证其为基础解系令，则有:（Ⅱ）设为任一解,则有：（Ⅰ）的后n-r个分量组成n-r维单位向量组线性无关.由“短无关,则长无关”得：线性无关.即是的线性组合.证毕.推论:若是齐次线性方程组(2)的一个基础解系,则(2)的全部解为：(k1,k2,…,kn－r为任意常数)解空间的维数为

即为解空间的一组基n－r基础解系例2

用基础解系表示方程组的全部解

r(A)=2<5,必有无穷多解!解:!令分别为得方程组的基础解系:

∴原方程组的全部解为:(k1,k2,k3为任意常数)x1＝－2x3－x4＋2x5x2＝x3－3x4＋x5三、非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(2)称为原方程组(1)的导出组

1.非齐次线性方程组解的性质

1)(1)的两解之差是其导出组的解

2)(1)的一解与其导出组的一解之和仍是(1)的解

注：非齐次线性方程组(1)两解之和不是解，但若

是(1)的解，则也是(1)的解.

一般结论是什么？思考2.非齐次线性方程组解的结构

定理3

若是非齐次线性方程组(1)的一个解,是其导出组(2)的全部解,则方程组(1)的全部解(通解,一般解)为(k1,k2,…,kn-r为任意常数)证：①由性质2)，是(1)的解②(1)的任一解,(均具通解形式?)由性质1)，是导出组的解。注：在方程组(1)有解的条件下，(1)有唯一解导出组(2)只有零解?例3用基础解系表示方程组的通解

(是否r(A)<5，必有无穷多解？

前提:有解!)解:(x1,x3作非自由未知量，但出现分数.故选x1,x4作非自由未知量)?!令得方程组的一个特解

x1＝－5－3x2＋7x3＋3x5x4＝－4

＋5x3＋2x5原方程组的同解方程组导出组的同解方程组为

分别为得导出组的基础解系：

∴原方程组的通解为：

(k1,k2,k3为任意常数)

令x1＝－3x2＋7x3＋3x5x4＝

5x3＋2x5例4线性无关,将用线性表示;若线性相关,能否表示?

重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.解:此时，线性无关可由唯一线性表示为：问为何值时:(1)可由线性表示,且表示法唯一.(2)可由线性表示,且表示法不唯一.(3)

不能由线性表示.表示法不唯一；不能表示.题目可换个形式：已知(如上)题目也可改为：解方程组(类似于本章首次课补充例题)例5(03考研)已知齐次线性方程组其中,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解？(2)方程组有非零解,在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。(1)b≠0且b≠－时，方程组仅有零解.(2)b＝0时，原方程组等价于…，设a1≠0,基础解系：a1x1+a2x2+…+anxn=0基础解系当时，实际上这个结果也可以不用算就可以获得例6(04考研)设线性方程组已知(1,－1,1,－1)T是该方程组的一个解，试求(1)方程组的全部解，并用对应齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足x2=x3的全部解.例6答案作业:

P124

习题3.5

1(1)，2(1),3,4,5

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

线性代数向量线性方程组典型例题

2.

任一n

维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解

(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合一、向量有非零解

(无)(只有零解)r<n

(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关定理4.

短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.

线性无关，线性相关

可由唯一线性表示.

定理1.

n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关

定理8.向量组与其极大无关组等价.

推论向量组的任意两个极大无关组等价定理7.

向量组(I)可由(II)

，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示定理9

向量组可由线性表示,若t