2024成都中考数学B卷专项强化训练十四 (含答案)

2024成都中考B卷专项强化训练十四班级：________姓名：________得分：________(满分：50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)19.已知关于x的一元二次方程ax2－4x＋1＝0有两个相等的实数根，则函数y＝eq\f(a,x)中，当x>0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．20.若三角形的三边长为4，7，x，且x是方程eq\f(a,x－8)＝1－eq\f(3x,8－x)的解，则a的取值范围为________．21.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(4，－1)，点D的坐标为(6，3)，以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点B的对应点B′的坐标为__________.第21题图22.新定义：如果三角形的两个内角α，β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“亚互余三角形”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AC＝4，BC＝5，E是BC边上一点(不与点D重合)，当△ABE是“亚互余三角形”时，则BE的长为________．第22题图23.如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕与边BC交于点F.(1)∠DEF＝________；(2)若点E是AB的中点，则DF的长为________．第23题图二、解答题(本大题共3个小题，共30分)24.(本小题满分8分)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，阳春三月，正是放风筝的好时节，某商店购进一批风筝．已知成批购进时的单价是30元/个．调查发现：销售单价是40元/个，月销售量是300个，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10个，但每个风筝售价不能高于60元．设每个风筝的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每个风筝的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？25.(本小题满分10分)如图，在矩形ABCD中，点E为边AD的中点，点F为AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰Rt△FHG，且∠FHG＝90°.(1)如图①，若点H恰好落在BC上，连接BE，EH.①求证：AD＝2AB；②若tan∠BEH＝2，GD＝1，求△FHG的面积；(2)如图②，点H落在矩形ABCD内，连接CH，若AD＝4，AB＝3，求四边形FHCB面积的最大值．图①图②第25题图26.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，顶点坐标为D(1，2eq\r(3))．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，在x轴上平移线段AB得到线段EF(点A对应点E，点B对应点F)．①若点G是第四象限内抛物线上一点，当△GEF是等边三角形时，求点G的坐标；②如图③，连接BC，过点D作BC的平行线交y轴于点H，连接DF，HE，请判断四边形DHEF的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．图①图②图③第26题图

参考答案与解析19.减小【解析】∵关于x的方程ax2－4x＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4)2－4×a×1＝0，解得a＝4，∴在函数y＝eq\f(4,x)中，当x>0时，y随x的增大而减小．20.4＜a＜36且a≠24【解析】由题意得3＜x＜11，解方程eq\f(a,x－8)＝1－eq\f(3x,8－x)，得x＝eq\f(a＋8,4)，∴3＜eq\f(a＋8,4)＜11，且eq\f(a＋8,4)≠8，解得4＜a＜36且a≠24.21.(4，－eq\f(3,2))或(－4，eq\f(3,2))【解析】如解图，过点A作x轴的垂线EF，过点B作BE⊥EF于点E，过点D作DF⊥EF于点F，∴∠AFD＝∠BEA＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAF＋∠BAE＝90°.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠ABE.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴△DAF≌△ABE(AAS)，∴AF＝BE，DF＝AE.∵点A的坐标为(4，－1)，点D的坐标为(6，3)，∴点B的坐标为(8，－3).∵以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，∴点B的对应点B′的坐标为(8×eq\f(1,2)，－3×eq\f(1,2))或[8×(－eq\f(1,2))，－3×(－eq\f(1,2))]，即点B′的坐标为(4，－eq\f(3,2))或(－4，eq\f(3,2)).第21题解图22.eq\f(9,5)【解析】如解图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°.∵△ABE是“亚互余三角形”，∴2∠B＋∠BAE＝90°.∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B.∵∠C＝∠C＝90°，∴△CAE∽△CBA，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CE,CA)，即CA2＝CE·CB，解得CE＝eq\f(16,5)，∴BE＝BC－CE＝5－eq\f(16,5)＝eq\f(9,5).第22题解图23.(1)90°【解析】(1)由翻折可得∠AED＝∠GED，∠BEF＝∠HEF，∴∠GED＋∠HEF＝∠AED＋∠BEF.∵∠GED＋∠HEF＋∠AED＋∠BEF＝180°，∴∠GED＋∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°.(2)eq\f(14,5)【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD＋∠EHF＝∠A＋∠B＝180°，∴点D，G，F三点共线．如解图，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M.∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝eq\f(1,2)CD＝1，DM＝eq\f(\r(3),2)CD＝eq\r(3)，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2－x＋1＝3－x，DF＝2＋x，在Rt△DFM中，由勾股定理，得(2＋x)2＝(3－x)2＋(eq\r(3))2，解得x＝eq\f(4,5)，∴DF＝eq\f(14,5).第23题解图24.解：(1)依题意，得y＝(40＋x－30)·(300－10x)，即y＝－10x2＋200x＋3000，自变量x的取值范围是0＜x≤20，且x为正整数(或1≤x≤20，且x为正整数)；(2)y＝－10x2＋200x＋3000＝－10(x－10)2＋4000，∵a＝－10＜0，∴当x＝10时，y有最大值，且x符合0＜x≤20且x为正整数，∴当x＝10时，x＋40＝50，y＝4000.答：每个风筝的售价定为50元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是4000元．25.(1)①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°.如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，则EM＝AB，∵点E为AD的中点，∴AE＝ED.∵∠A＝∠EDG＝90°，∠AEF＝∠DEG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴FE＝GE，即点E为FG的中点．∵△FHG为等腰直角三角形，∠FHG＝90°，∴EH⊥FG，EH＝eq\f(1,2)FG＝FE，∴∠MEH＋∠FEM＝90°.∵∠AEF＋∠FEM＝90°，∴∠AEF＝∠MEH.∵∠A＝∠EMH＝90°，∴△EAF≌△EMH(AAS)，∴EM＝AE＝eq\f(1,2)AD，∴AD＝2EM＝2AB；第25题解图①②解：由①得∠FEH＝90°，∵∠FBH＝90°，∴F，B，H，E四点共圆，FH为直径，如解图②，∴∠BFH＝∠BEH，∴tan∠BFH＝tan∠BEH＝2，∴在Rt△BFH中，BH＝2BF.∵∠FHG＝90°，∴∠FHB＋∠CHG＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CHG＋∠HGC＝90°，∴∠FHB＝∠HGC.∵∠FBH＝∠C＝90°，FH＝HG，∴△FHB≌△HGC(AAS)，∴BF＝CH.∵AD＝BC＝2AB，BH＝2BF，AF＝GD＝1，∴BH＋CH＝2(AF＋BF)，即2BF＋BF＝2(1＋BF)，∴BF＝2，BH＝4，∴FH＝2eq\r(5)，∴S△FHG＝eq\f(1,2)FH2＝10；第25题解图②(2)解：如解图③，过点H作BC的平行线，分别交AB，DC于点N，O，连接BH，则四边形NOCB为矩形．(观察图形，矩形ANOD与(1)中矩形ABCD相同，考虑结合(1)中方法确定点H的轨迹，进而对四边形FHCB的面积进行分割求解)∵点F在AN上运动，∴点H在NO上运动．由①方法可证AD＝2AN，∵AD＝4，∴AN＝2，∴NB＝AB－AN＝1，由②方法可得FN＝HO，设FN＝HO＝x，则NH＝4－x，∴S四边形FHCB＝S△FHB＋S△BHC＝eq\f(1,2)FB·NH＋eq\f(1,2)BC·BN＝eq\f(1,2)(x＋1)×(4－x)＋eq\f(1,2)×4×1＝－eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(41,8)，∵－eq\f(1,2)＜0，∴当x＝eq\f(3,2)时，四边形FHCB的面积取得最大值，最大值为eq\f(41,8).第25题解图③26.解：(1)由题意，设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋2eq\r(3)，∵抛物线过点A(－1，0)，∴0＝a(－1－1)2＋2eq\r(3)，∴a＝－eq\f(\r(3),2)，∴抛物线的表达式为y＝－eq\f(\r(3),2)(x－1)2＋2eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2)；(2)①∵A(－1，0)，抛物线对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为(3，0)，∴EF＝AB＝4，∴当△GEF是等边三角形时，|yG|＝2eq\r(3).∵点G是第四象限内抛物线上一点，∴yG＝－2eq\r(3)，代入抛物线的表达式中，∴－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2)＝－2eq\r(3)，解得x1＝1＋2eq\r(2)，x2＝1－2eq\r(2)(舍去)，∴点G的坐标为(1＋2eq\r(2)，－2eq\r(3))；②存在．∵B(3，0)，C(0，eq\f(3\r(3),2))，∴直线BC的表达式为y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(3\r(3),2).∵HD∥BC，∴设直线HD的表达式为y＝－eq\f(\r(3),2)x＋m.将点D(1，2eq\r(3))代入，得2eq\r(3)＝－eq\f(\r(3),2)＋m，解得m＝eq\f(5\r(3),2)，∴直线HD的表达式为y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(5\r(3),2)，∴H(0，eq\f(5\r(3),2)).如解图，把点H向右平移4个单位长度至点M，连接FM，HM，∴M(4，eq\f(5\r(3),2)).∵EFHM，∴四边形EHMF为平行四边形，∴HE＝MF.∵四边形HEFD中HD与EF均为定值，FM＝EH，∴当DF＋FM最小时，四边形DHEF的周长最小．作点M关于x轴的对称点M′(