2025年高考数学二轮复习-微专题9-数列求和的常用方法【课件】

板块二数列微专题9数列求和的常用方法近几年高考，数列求和常出现在解答题第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档.1真题演练

感悟高考52热点聚焦

分类突破核心归纳热点一分组求和与并项求和例1(2024·济宁一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝9，S7＝49. (1)求数列{an}的通项公式；分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，然后再求和.规律方法(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

热点二裂项相消法求和核心归纳例2已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2.(1)求数列{an}的通项公式；解由题意可知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n＋1＋2，①当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)2n＋2，②①－②得nan＝(n－1)2n＋1－(n－2)2n，即an＝2n，当n＝1时，a1＝2满足上式，所以an＝2n(n∈N*).裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.规律方法训练2(2024·武汉模拟)已知正项等差数列{an}满足：a3n＝3an(n∈N*)，且2a1，a3＋1，a8成等比数列. (1)求{an}的通项公式；

解设等差数列{an}的公差为d，由a3n＝3an得a1＋(3n－1)d＝3[a1＋(n－1)d].则a1＝d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd.又2a1，a3＋1，a8成等比数列，所以(a3＋1)2＝2a1·a8，即(3d＋1)2＝2d·8d.所以7d2－6d－1＝0，热点三错位相减法求和核心归纳如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.解若选条件①.因为Sn，2Sn＋1，3Sn＋2成等差数列，所以4Sn＋1＝Sn＋3Sn＋2，即Sn＋1－Sn＝3(Sn＋2－Sn＋1)，所以an＋1＝3an＋2，

一要先“错项”再“相减”；二要注意最后一项的符号.易错提醒训练3(2024·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以an＝2n(n∈N*).(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.解由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，3高分训练

对接高考C一、基本技能练1.已知数列{an}满足an＋1－an＝2(n∈N*)，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(

)A.9 B.15 C.18 D.30解析∵an＋1－an＝2，a1＝－5，∴数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，B2.(2024·深圳模拟)在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k等于(

) A.10 B.9 C.8

D.7

解析令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，

所以an＋1－an＝3，

所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，D3.数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(

)A.3690 B.3660 C.1845 D.1830解析因为an＋1＋(－1)nan＝2n－1，故有a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a50－a49＝97.从而可得a3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a5＋a7＝2，a8＋a6＝24，a9＋a11＝2，a12＋a10＝40，a13＋a15＝2，a16＋a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列.C4.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}(n∈N*)的前

2023项和为(

) A.1011 B.1010 C.－2023 D.－2022

解析由题意得a3＋a5＝2a4＝a4＋7，解得a4＝7，则a1＝a4－3d＝7－3×2＝1，所以an＝2n－1，设bn＝ancosnπ，则b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝－a1＋a2＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝－a3＋a4＝2，……，∴数列{ancosnπ}(n∈N*)的前2023项和S2023＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2021＋b2022)＋b2023＝2×1011－4045＝－2023.BAC6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则下列结论一定正确的是(

) A.a5＝1 B.Sn最小时n＝3 C.S1＝S6

D.Sn存在最大值对于选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确.XC(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*)解析由题意4Sn＝(an＋1)2，①4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，②两式相减得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，即(an＋1－an－2)(an＋1＋an)＝0，∵an＞0，∴an＋1＋an≠0，an＋1－an＝2，∴{an}是公差为2的等差数列，∵a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝2nan＝(2n－1)2n.由错位相减法可求得Tn＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*).10.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023是斐波那契数列{an}中的第________项.

解析依题意，得1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋

a2023＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2023＝a6＋a7＋a9＋…＋a2023＝…＝a2022＋a2023＝a2024.202411.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝S5＝－20.(1)求数列{an}的通项公式；

解设等差数列{an}的公差为d，由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20，解得a1＝－8，d＝2，则an＝－8＋2(n－1)＝2n－10(n∈N*).(2)已知数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{an}与{bn}的公共项为am，记m由小到大构成数列{cn}，求{cn}的前n项和Tn.解数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，∴bn＝4·4n－1＝4n(n∈N*).又依题意2m－10＝4n，二、创新拓展练BC解析对于A，若Sn＝n2－1，则有a1＝S1＝0，a2＝S2－S1＝22－12＝3，a3＝S3－S2＝32－22＝5，2a2≠a1＋a3，此时数列{an}不是等差数列，故A错误；

15.函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n(an＋1－an)，若bn＝[lgan]，则数列{bn}的前

2023项和为________.

解析因为an＝n(an＋1－an)，所以(1＋n)an＝nan＋1，

4962当100≤n≤999时，2≤lgan<3，bn＝2；当1000≤n≤2023时，3≤lgan<4，bn＝3；所以T2023＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga2023]＝9×0＋90×1＋900×2＋1024×3＝4962.16.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依次类推，第n次得到数列1，x1，x2，x3