备战2023年高考数学一轮复习-第3讲-导数与函数的极值、最值

第3讲导数与函数的极值、最值第三章一元函数的导数及其应用考向预测核心素养考查函数的极值、最值的求法，利用函数的极值和最值研究函数的图象等，解答题居多，中高档难度.数学抽象、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________________，右侧________________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)<0f′(x)＞0函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________________，右侧________________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)<0[提醒]

(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则__________为函数的最小值，__________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则__________为函数的最大值，__________为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)[提醒]

极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．

常用结论1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．4．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．√二、教材衍化1.(人A选择性必修第二册P92

练习T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x<x1时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.3．(人A选择性必修第二册P99

习题5.3T12(2)改编)当x>0时，lnx，x，ex的大小关系是________．解析：构造函数f(x)＝lnx－x，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以lnx<x.同理可得x<ex，故lnx<x<ex.答案：lnx<x<ex一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导数为零的点不一定是极值点．(

)(2)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(

)(4)开区间上的单调连续函数无最值．(

)√×√√二、易错纠偏1．(极值点概念理解不准致误)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．解析：f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案：22．(混淆极值点与极值致误)函数g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________(填“存在”或“不存在”)．解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答案：0不存在解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.答案：402核心考点共研考点一函数的极值问题(多维探究)复习指导：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．角度1由图象判断函数的极值

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(

)A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)√【解析】

由题意，x∈(－∞，－3)时，y>0，(x－1)3<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(－3，1)时，y<0，(x－1)3<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(1，3)时，y>0，(x－1)3>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(3，＋∞)时，y<0，(x－1)3>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数

y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0<x<a－1，函数f(x)在(0，a－1)上单调递减；由f′(x)>0，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．√即m＋1<－e，m<－e－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－e－1)．故选D.【解析】

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

(2)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．|跟踪训练|1．(2022·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是(

)A．4e－2 B.4e2C．e－2 D.e2解析：f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x>0或x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－2<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．所以当x＝－2时，f(x)取得极大值，f(－2)＝4e－2.故选A.√2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则(

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值√解析：当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.所以x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，则f′(1)＝0，且在x＝1的左边附近f′(x)<0，x＝1的右边附近f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.3．已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．考点二函数的最值问题(思维发散)复习指导：会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．【解】

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．|跟踪训练|(2022·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f(x)max＝f(1)＝－1.所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．03课后达标检测√

[A基础达标]1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．f(x)有两个极值点B．f(－2)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值解析：由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，所以f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，所以f′(x)>0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，所以f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)有三个极值点，f(－2)和f(1)为函数的极小值，f(0)为函数的极大值，故A，B，D错误，C正确．√2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝(

)A．11或18

B.11C．18D.17或183．已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为(

)A．2 B.2ln2－2C．e D.2－e√√

√√5．(多选)对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下选项正确的是(

)A．有2个极大值

B.有2个极小值

C．1是极大值点

D.1是极小值点6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，所以函数f(x)在x＝2处取得极小值．答案：2答案：3

令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：A．f(x)的定义域是(0，＋∞)B．当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方C．f(x)存在单调递增区间D．f(x)有且仅有两个极值点√√11．(2022·石家庄二中期末)若函数f(x)＝(1－x)·(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝(

)解析：由题意可得f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，因为函数图象关于点(－2，0)对称，且f(1)＝0，所以f(－5)＝0，即f(－5)＝6(25－5a＋b)＝0，√故f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)＝－x3－6x2－3x＋10，则f′(x)＝－3x2－12x－3＝－3(x2＋4x＋1)，结合题意可知x1，x2是方程x2＋4x＋1＝0的两个实数根，且x1>x2，12．已知函数f(x)＝aex－2x－2a，且a∈[1，2]，设函数f(x)在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是________．解析：g(a)＝f(x)＝a(ex－2)－2x是关于a的一次函数，当x∈[0，ln2)时，ex－2<0，即y＝g(a)是减函数，因为a∈[1，2]，所以g(a)min＝g(2)＝2(ex－2)－2x(易知x＝ln2也成立)，设M(x)＝2(ex－2)－2x，则M′(x)＝2ex－2，因为x∈[0，ln2]，所以M′(x)≥0，则M(x)在[0，ln2]上为增函数