《7.1.1-角的推广》课件

7.1任意角的概念与弧度制第七章三角函数7.1.1角的推广学习目标1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念.2.认识终边相同的角并会简单表示.3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.知识点一角的概念的推广(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础1．角的概念一条射线绕其端点_________另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的_________和_________．(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础2．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按照_________方向旋转而成的角负角一条射线绕其端点按照_________方向旋转而成的角零角一条射线没有作______

旋转形成的角知识点一角的概念的推广(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角.(

)(2)终边与始边重合的角为零角．(

)(3)大于90°的角都是钝角．(

)(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(

)××××知识点一角的概念的推广(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础2．下列说法正确的是(

)A．最大的角是180°

B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小知识点一角的概念的推广由任意角的概念，知D正确．解析D(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.知识点一角的概念的推广图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.解析390°－150°60°知识点二象限角(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础象限角及终边相同的角条件在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标________重合，角的始边落在x轴的________上象限角角的终边在________，就把这个角称为第几象限角终边相同的角所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝________________________，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为_______

[微提醒]角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础1．判断正误(1)终边相同的角一定相等． (

)(2)－30°是第四象限角． (

)(3)第二象限角是钝角． (

)(4)225°是第三象限角． (

)×√×√知识点二象限角(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)(

)A．k·360°＋230°

B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.解析B知识点二象限角(二)基本知能小试一、自学教材·注重基础3．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.解析知识点二象限角240°－120°题型一与任意角有关的概念辨析二、提升新知·注重综合解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．题型一与任意角有关的概念辨析解析二、提升新知·注重综合例1、(1)下列说法正确的是(

)A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(

)A．360°

B．720°C．－360°D．－720°(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.CD方法总结二、提升新知·注重综合判断角的概念问题的关键与技巧题型一与任意角有关的概念辨析关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念技巧判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可变式训练二、提升新知·注重综合1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(

)A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.解析D题型一与任意角有关的概念辨析二、提升新知·注重综合2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型一与任意角有关的概念辨析解析题型二

象限角及终边相同的角解析二、提升新知·注重综合例2、在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.(1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．二、提升新知·注重综合方法总结(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．题型二

象限角及终边相同的角二、提升新知·注重综合变式训练1．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.题型二

象限角及终边相同的角解析二、提升新知·注重综合变式训练2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．题型二

象限角及终边相同的角解析题型三

区间角的表示二、提升新知·注重综合解析例3、已知，如图所示．(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．二、提升新知·注重综合方法总结表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．题型三

区间角的表示变式训练1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．二、提升新知·注重综合题型三

区间角的表示解析变式训练2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.二、提升新知·注重综合题型三

区间角的表示解析三、训练新素养·注重创新性、应用性解析一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(

)A．－300°

B．－60°C．600° D．1380°与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.A2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在(

)A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上解析令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.C三、训练新素养·注重创新性、应用性解析3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．

②③4．射线OA绕端点O逆时针旋转1