《线上线下混合式计算机图形学基础实验教程》课件-第4章

第4章二维几何变换4.1实验内容简述和实验目标4.2二维基本几何变换4.3二维复合几何变换4.4课外拓展性实验

4.1实验内容简述和实验目标

基本实验内容包括：二维基本几何变换(非齐次平移变换、非齐次缩放变换、非齐次旋转变换、非齐次对称变换、非齐次错切变换、齐次平移变换、齐次缩放变换、齐次旋转变换、齐次对称变换、齐次错切变换)和二维复合几何变换(绕任意点旋转变换、相对任意点缩放变换)。

完成本实验后，读者能够：

(1)列举常见二维图形的基本几何变换，并能够描述它们的概念(布鲁姆知识模型：记忆)；

(2)解释二维几何图形产生几何变换的原理(布鲁姆知识模型：理解)；

(3)描述出二维图形基本几何变换代数表达式在齐次和非齐次坐标下的推导过程，并牢记相应的推导结果(布鲁姆知识模型：记忆和理解)；

(4)归纳二维图形基本几何变换采用齐次坐标系下矩阵表示的原因(布鲁姆知识模型：分析)；

(5)分解任意给定的二维图形复合几何变换为二维图形基本几何变换序列，并给出相应的矩阵复合表示(布鲁姆知识模型：应用和分析)；

(6)运用矩阵与二维图形基本几何变换之间的对应关系，预测任意给定的矩阵复合所对应的几何图形发生的复合几何变换(布鲁姆知识模型：应用)；

(7)编程实现—— 通过鼠标、键盘交互，展现给定二维图形的基本几何变换和任意复合几何变换(布鲁姆知识模型：应用)。

4.2二维基本几何变换

4.2.1非齐次平移变换二维图形非齐次平移的参数化表达式如下：

(4.1)其中，tx、ty分别表示物体在x、y轴方向上的平移量。

1.关键数据结构

自定义如下数据结构用以表示二维非齐次坐标下的顶点和向量。该数据结构应用于本章所有的非齐次二维几何变换实验。

2.变换函数代码实现

3.案例效果

采用非齐次平移变换方式，对如图4-1(a)所示的中心在原点的三角形，向x轴正方向平移40个单位，向y轴正方向平移50个单位，最终效果如图4-1(b)所示。

图4-1采用非齐次平移变换方式示意图

4.2.2非齐次缩放变换

二维图形非齐次缩放的参数化表达式如下：

(4.2)

其中，sx、sy分别表示物体在x、y轴方向上的缩放量。

1.变换函数代码实现

2.案例效果

采用非齐次缩放变换方式，对如图4-2(a)所示的中心在原点的三角形，在x轴方向上缩放1.5倍，在y轴方向上缩放0.5倍，最终效果如图4-2(b)所示。

图4-2采用非齐次缩放变换方式示意图

4.2.3非齐次旋转变换

二维图形非齐次旋转变换的参数化表达式如下：

(4.3)

其中，θ表示物体逆时针绕点旋转的角度。

1.变换函数代码实现

2.案例效果

采用非齐次旋转变换方式，对如图4-3(a)所示的中心在原点的三角形逆时针旋转50°，最终效果如图4-3(b)所示。

图4-3采用非齐次旋转变换方式示意图

4.2.4非齐次对称变换

1.关于x轴的非齐次对称

二维图形关于x轴的非齐次对称变换的参数化表达式如下：

(4.4)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

采用非齐次对称变换方式，对如图4-4(a)所示的中心在原点的三角形关于x轴进行对称变换，最终效果如图4-4(b)所示。

图4-4关于x轴的非齐次对称变换方式示意图

2.关于y轴的非齐次对称

二维图形关于y轴的非齐次对称变换的参数化表达式如下：

(4.5)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

采用非齐次对称变换方式，对如图4-5(a)所示的中心在原点的三角形关于y轴进行对称变换，最终效果如图4-5(b)所示。

图4-5关于y轴的非齐次对称变换方式示意图

4.2.5非齐次错切变换

1.在x轴方向上的非齐次错切

二维图形在x轴方向上的非齐次错切变换的参数化表达式如下：

(4.6)

错切变换过程中，y坐标值保持不变，x坐标值根据y坐标以shx为切变程度发生线性变化。

1)变换函数代码实现

代码如下：

2)案例效果

采用非齐次错切变换方式，对如图4-6(a)所示的中心在原点的三角形，设置相对于x轴方向上的错切参数为1.2，最终效果如图4-6(b)所示。

图4-6在x轴方向上的非齐次错切变换方式示意图

2.在y轴方向上的非齐次错切

二维图形在y轴方向上的非齐次错切变换的参数化表达式如下：

(4.7)

错切变换过程中，x坐标值保持不变，y坐标值根据x坐标以shy为切变程度发生线性变化。

1)变换函数代码实现

2)案例效果

采用非齐次错切变换方式，对如图4-7(a)所示的中心在原点的三角形，设置相对于y轴方向上的错切参数为0.8，最终效果如图4-7(b)所示。

图4-7在y轴方向上的非齐次错切变换方式示意图

4.2.6齐次平移变换

二维图形齐次平移的参数化表达式如下：

(4.8)

其中，tx、ty分别表示物体在x、y轴方向上的平移量。

对应的齐次平移变换的矩阵乘积形式如下：

(4.9)

1.关键数据结构

自定义如下数据结构用以表示二维齐次坐标下的顶点和向量。

2.变换函数及关键相关代码实现

3.案例效果

应用式(4.9)进行平移变换，对如图4-8(a)所示的中心在原点的三角形，向x轴正方向平移40个单位，向y轴正方向平移50个单位，最终效果如图4-8(b)所示。

图4-8齐次平移变换示意图

4.2.7

齐次缩放变换

二维图形齐次缩放的参数化表达式如下：

(4.10)

其中，sx、sy分别表示物体在x、y轴方向上的缩放量。

对应的齐次平移变换的矩阵乘积形式如下：

(4.11)

1.变换函数代码实现

2.案例效果

应用式(4.11)进行缩放变换，对如图4-9(a)所示的中心在原点的三角形，在x轴方向上缩放1.5倍，在y轴方向上缩放0.5倍，最终效果如图4-9(b)所示。

图4-9齐次缩放变换示意图

4.2.8齐次旋转变换

二维图形齐次旋转的参数化表达式如下：

(4.12)

其中，θ表示物体绕点逆时针旋转的角度。对应的齐次旋转变换的矩阵乘积形式如下：

(4.13)

1.变换函数代码实现

2.案例效果

应用式(4.13)进行旋转变换，对如图4-10(a)所示的中心在原点的三角形逆时针旋转50°，最终效果如图4-10(b)所示。

图4-10齐次旋转变换示意图

4.2.9齐次对称变换

1.关于x轴齐次对称

二维图形关于x轴的齐次对称变换的参数化表达式如下：

(4.14)

对应的齐次对称变换的矩阵乘积形式如下：

(4.15)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

应用式(4.15)进行关于x轴的对称变换，对如图4-11(a)所示的中心在原点的三角形关于x轴进行对称变换，最终效果如图4-11(b)所示。

图4-11关于x轴的齐次对称变换示意图

2.关于y轴齐次对称

二维图形关于y轴的齐次对称变换的参数化表达式如下：

(4.16)

对应的齐次对称变换的矩阵乘积形式如下：

(4.17)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

应用式(4.17)进行关于y轴的对称变换，对如图4-12(a)所示的中心在原点的三角形关于y轴进行对称变换，最终效果如图4-12(b)所示。

图4-12关于y轴的齐次对称变换示意图

4.2.10齐次错切变换

1.相对于x轴方向上的齐次错切

二维图形关于x轴的齐次错切变换的参数化表达式如下：

(4.18)

其中，shx为错切参数。

对应的齐次错切变换的矩阵乘积形式如下：

(4.19)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

应用式(4.19)进行齐次错切变换，对如图4-13(a)所示的中心在原点的三角形，设置x轴方向的齐次错切参数为1.2，最终效果如图4-13(b)所示。

图4-13在x轴方向上的齐次错切变换示意图

2.相对于y轴方向上的齐次错切

二维图形关于y轴的齐次错切变换的参数化表达式如下：

(4.20)

其中，shy为错切参数。

对应的齐次错切变换的矩阵乘积形式如下：

(4.21)

1)变换函数代码实现

2)案例效果

应用式(4.21)进行齐次错切变换，对如图4-14(a)所示的中心在原点的三角形，设置y轴方向的齐次错切参数为0.8，最终效果如图4-14(b)所示。

图4-14在y轴方向上的齐次错切变换示意图

4.3二维复合几何变换

4.3.1

绕任意点旋转变换二维图形绕任意点旋转的效果等价于多个二维基本几何变换的有序复合。此处，假定要实现任一二维图形绕点P(x，y)逆时针旋转θ，其复合变换公式如下：

(4.22)

1.变换函数代码实现

2.案例效果

采用绕任意点旋转变换，对如图4-15(a)所示的中心在原点的三角形绕点P(-20，30)逆时针旋转30°，最终效果如图4-15(b)所示。

图4-15