广东省三校2024-2025学年高三下学期二月第一次模拟考试数学试题【含答案解析】

2024－2025学年度下学期广东省三校二月第一次模拟考试高三年级数学•试题参加学校：诺德安达学校，金石实验中学，英广实验学校注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简复数，再求其共轭复数即可.【详解】因所以，所以，故选：D.2.函数的一个零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断.【详解】和都是增函数，所以函数为增函数，且，，，，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为.故选：B3.已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的标准方程及其参数的关系即可得出结果.【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C．4.某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】因为,所以正态曲线关于直线对称，且，所以，所以.故选：B.5.若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用扇形面积公式计算即可.【详解】扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积.故选：B.6.三棱锥中，，平面，，，则直线和直线所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将三棱锥放到长方体中，然后利用长方体的特征和余弦定理求角即可.【详解】如图，将三棱锥放到长方体中，由题意知，∥，所以或其补角是直线和直线所成角，因为，，所以，，，.故选：C.7.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（）A.正八面体的体积为B.正八面体的表面积为C.正八面体的外接球体积为D.正八面体的内切球表面积为【答案】D【解析】【分析】把正八面体补形为正方体，求得正方体棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解.【详解】把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为，则正方体的棱长为选项A，正八面体的体积，设四棱锥的高为，则，所以，A错误；选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，所以外接球体积，C错误；选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，，所以所以内切球表面积为.D正确.故选：D.【点睛】思路点睛：补形法是解决正多面体的体积表面积外接球内切球问题的常用方法，本题把正多面体补形为正方体，找到正多面体和正方体的关系，利用正方体和正多面体的棱长的关系，即可解决所求正多面体的体积表面积外接球和内切球问题.8.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（）A.3，3 B.3，－1 C.－1，3 D.－2，－2【答案】D【解析】【分析】由切线在的函数值求得，由切线的斜率得到.【详解】由题意得，.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案.【详解】依题可得，即，则或，因为，所以或或．故选：ACD10.已知函数，则（）A.是奇函数 B.是周期函数C. D.在区间内单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据函数奇偶性、周期性的定义可判断A、B；由，可判定C；由与在上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断的单调性.【详解】易知的定义域为，又，所以是奇函数，A正确；由，所以是周期函数，B正确；由，C错误；当时，，且单调递增，此时，时，，且单调递减，所以函数在上单调递增，又由是奇函数，所以函数在上单调递增，所以在区间内单调递增，D正确.故选：ABD.11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.当时，在上单调递增C.若方程有实根，则D.设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044【答案】ACD【解析】【分析】对于A.根据题意改写函数得到新解析式即可判断；对于B.可用特殊值法判断错误，也可根据增函数定义进行判断；对于C.令写出a的解析式即可判断a的取值范围；对于D根据题意可知和关于中心对称，所以交点关于中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2,由此得出答案.【详解】对于A.由解析式可知是奇函数，故A正确；对于B.特殊值法，即，若，则在上不是单调递增，故B错误.对于C.令，分离参数后，故，C正确；对于D.由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2022个交点关于对称，故，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数；②关于对称中心对称的两个点，两个点横坐标之和等于两倍对称中心的横坐标，两个点纵坐标之和等于两倍对称中心的纵坐标.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理即可求得结果.【详解】∵，，，∴由余弦定理可得：，∴解得：.故答案为：.13.在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式通项公式写出含的项，即可得答案.【详解】的展开式中，含的项的系数是.故答案为：14.若圆与轴相切，则实数的值是_____.【答案】【解析】【分析】求得圆心与半径，进而可得，求解即可.【详解】由，可得，方程表示圆，则可得圆心为，半径为，由圆与轴相切，则可得，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数在处取到极值.（1）求的值；（2）当时，证明；（3）如果，，满足，那么称比更靠近，当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由.【答案】（1）1（2）证明见解析（3）比更靠近，理由见解析【解析】【分析】（1）求导，由求解；（2）由题意可知：不等式为，令，用导数法证明；（3）设，，分，，比较大小即可.【小问1详解】解：由，求导，由，则，解得：，的值为1；【小问2详解】证明：由题意可知：不等式左边为，设，则.，恒成立，∴在单调递增；，∴，【小问3详解】设，，∵，，∴在上为减函数，又，∴当时，;当时，.在上为增函数，又，∴时，，∴在上为增函数，∴.①当时，，设，则，∴在上为减函数，∴，∴，∴，∴，∴比更靠近.②当时，，设，则，令,则，单调递减，，单调递减，∴，∴，∴比更靠近.综上，在，时，比更靠近.【点睛】方法点睛：证明不等式，往往转化为，令，由证明.16.某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200（1）求这2000个产品的平均利润是多少；（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）62（元）.（2）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.【解析】【分析】（1）直接根据平均数计算公式即可；（2）计算出卡方值再与临界值比较即可.【小问1详解】依题意可得平均利润为（元）.【小问2详解】假设：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，依题意可得，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.17.已知数列的前项和为，，.（1）当为何值时，数列是等比数列？（2）设数列的前项和为，，点在直线上，在（1）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可；（2）由题意可得，从而可得是等差数列，进而可求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，再利用分离参数法求解即可.小问1详解】由，得，两式相减得，即，所以，由及，得，因为数列是等比数列，所以只需要，解得，此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由（1）得，因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，当时，，满足该式，所以，不等式，即，令，则，两式相减得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，单调递增，当时，；当时，，则的最小值为，所以实数的最大值是.18.已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程；（3）直线与圆心轨迹位于轴右侧的部分相交于两点，且，证明直线必过一定点，并求出该定点.【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）设圆的方程为，，根据圆心到直线求出半径，即可得解；（2）根据抛物线的定义即可得解；（3）设，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据求出，即可得解.【小问1详解】设圆的方程为，，由圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，可得圆的方程为；【小问2详解】设的坐标为，由动圆与圆相外切，又与轴相切，，当；当，故可得动圆圆心的轨迹方程为或；【小问3详解】设代入抛物线，消去得，设，，则，，∴，令，∴，∴，∴直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.19.平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示.（1）求折叠前C的标准方程；（2）当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值；（3）探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求出得解；（2）法一，以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用公式求解；法二，由三维空间三角形面积的计算公式求得，，根据投影面积法求解；（3）设折叠前，则折叠后，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值.【小问1详解】由题意得：，解得.故折叠前椭圆的标准方程.【小问2详解】当时，直线的方程为：，联立，解得，，以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则：，，，，故，，设平面的法向量为，则，即.取，则，，故，.平面的一个法向量为，