新高考艺术生40天突破数学第24讲 平行垂直问题（原卷版）

第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.【典型例题】例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求证：平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，∥，，，分别是棱的中点．（1）求证：∥平面.（2）求证：平面⊥平面.例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形，，，平面ABED，M为AD中点（1）求证：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在点G，使得平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体中，，，分别为，，的中点，为线段上非端点的动点，且，，设而与底面的交线为直线，（1）证明：；（2）当时，证明：为平面的一条垂线.【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）记平面与底面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明.3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体中，为的中点.（1）求证：平面；（2）判断与平面的位置关系，并说明理由.5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，、分别是、的中点．（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明．7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由.8．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形中，，在边上，.沿，，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图（2）.（1）试判断图（2）中直线与的位置关系，并说明理由；（2）若平面平面，证明平面.9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求证：直线平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥的体积.10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱锥的体积；（2）若分别是棱的中点，则与平面的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①平面；②平面；③与平面相交．11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形中，，，为中点，在上，且，已知，现沿把四边形折起（如图乙），使平面平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并说明理由；（2）若，求证：平面平面；（3）若是线段的中点，求证：直线平面；13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：平面.14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，点是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积．16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由.17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱中，，．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．（1）证明平面平面；（2）求证：．20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，，分别为，的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面．21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，是等边三角形，且，.（1）设平面平面，求证：平面；（2）若，求证：平面平面.22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点．（1）求证：；（2）求证：平面DAF；（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证：．23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点（1）证明：平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面平面，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）若点为线段上任意一点，求证：平面.27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，点D，E，F分别为棱，，的中点．求证：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，证明：平面.29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是矩形，是正方形，点为的中点，求证：平面.30．（2021·河南·高三阶段练习（文））如图所示，在四棱锥中，，，为等边三角形，且平面ADE平面BCDE，F为棱AC的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）证明：．31．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，直四棱柱中，上下底面为等腰梯形，．，，为线段的中点．（1）证明：平面平面；（2）设为线段上一点，试确定点的位置，使平面平面．32．（2021·贵州·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥中，已知，，，，且平面.（1）证明：平面平面.（2）若是上一点，且平面，求三棱锥的体积.33．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））如图1，正方形中，，，将四边形沿折起到四边形的位置，使得(如图2)．（1）证明：平面平面；（2）若分别为的中点，求三棱锥的体积．34．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））图1是，，，、分别是边、上的两点，且，将沿折起使得，如图2.（1）证明：图2中，；（2）图2中，求三棱锥的体积.35．（2021·广西玉林·模拟预测（文））如图所示的四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别是，，的中点，，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．36．（2019·广东·顺德一中高二期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，是的中点.求证：（1）底面；（2）平面．37．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（文））如图