初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线的技巧合集

角形，包括添加各种辅助线的方法一、三角形全等的判定三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。(HL)。二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。②全等三角形的周长、面积相等。③全等三角形的对应边上的高对应相等。④全等三角形的对应角的角平分线相等。⑤全等三角形的对应边上的中线相等。三、找全等三角形的方法（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。缺个角的条件：缺条边的条件四、构造辅助线的常用方法关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。(1)截取构全等如下左图所示，OC∠AOB，DOC，FOB段、角相等创造了条件。EADBC=AB+CD。BCFBF=BA，EF。(2)角分线上点向角两边作垂线构全等∠AOBOCDOA、OBE、F，DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。例：如上右图所示，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180作角平分线的垂线构造等腰三角形OBEOCEF，使之与角（△OEF），D，合一的性质。到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。D，HBC求证：DH=（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：OCEOADE，从而ODE。OBDOCDHAOH，ODH。由线段和差想到的辅助线遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：条；长线段。截长补短法作辅助线。在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。所以∠BAD=∠CADAD=AD所以∠EDA=∠CDA,ED=CD又因为∠CDA=∠B+∠BAD,∠BDA=∠C+∠CAD,∠C=2∠B所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）=∠BEB=ED=CDAB=AE+EB=AC+CD对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。三边的不等关系证明。1：1-1：D、E△ABC:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.（DEABACM△AMNMD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（2）1-2BDACF，CEBFG，在△ABFGFC和△GDEAB＋AF＞BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2）DG＋GE＞DE（同上） 由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。分析：因为∠BDCBAC证法一：BDACE，这时∠BDC△EDC∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC证法二：AD，BCF∵∠BDF△ABD∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。由中点想到的辅助线索，找到解决问题的方法。(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形1，ADΔABCSΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因为ΔABDΔACD）。例1 线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。(2)倍长中线(2)倍长中线ADE，AD=AE，BE。例3 如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，CE=BD．DEBCF．求证：DF=EF．HHD‖ACBCH又∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B∴DH=DB=CE∵DH=CE,∠HDF=∠E,∠DFH=∠CFE∴△HDF≌△CEF∴DF=EF其他辅助线做法延长已知边构造三角形（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．BDADa，BEAD、BCF,∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,∴∠DAE=∠CBE,又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,∴△ACF≌△BCE,∴BE=AF,∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,∴△ABD≌△FBD,∴AD=FD=1/2AF,ADa∴BE=2a连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。来解决。连接已知点，构造全等三角形10-1；AC、BDOAB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。DCAB＝DC，AC＝BD，BC，则△ABC△DCBA＝∠D。取线段中点构造