2024-2025学年高中数学第3章圆锥曲线与方程11.2椭圆的简单性质学案北师大版选修2-1

PAGE1-1.2椭圆的简洁性质学习目标：1.驾驭椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点)eq\a\vs4\al(2).驾驭已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点)eq\a\vs4\al(3.)用代数法探讨曲线的几何性质，在娴熟驾驭椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点)椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)思索：(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上到中心和焦点距离最近和最远的点分别在什么位置？(2)如何推断点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系？[提示](1)短轴端点B1和B2到中心O的距离最近为a－c；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远为a＋c.(2)点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＜1；点P在椭圆外部⇔eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＞1.1.推断正误(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5，3，eq\f(4,5) B．10，6，eq\f(4,5)C．5，3，eq\f(3,5) D．10，6，eq\f(3,5)B[变形eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，∵焦点在y轴上，∴a＝5，b＝3，∴长轴长10，短轴长6，e＝eq\f(4,5).]3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq\r(5)，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1A[设椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝10,2c＝4\r(5),a2＝b2＋c2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4))，∴椭圆方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.]4．若焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m的值为________．eq\f(3,2)[∵焦点在y轴上，∴0<m<2，e＝eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2).解得m＝eq\f(3,2).]椭圆的几何性质【例1】(1)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为()A．[6，10] B．[6，8]C．[8，10] D．[16，20](1)D(2)C[(1)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中ceq\o\al(2,1)＝25－9＝16，椭圆eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1中ceq\o\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P(x0，y0)，则|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)).由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，又∵P在椭圆上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),100)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),64)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝64－eq\f(16,25)xeq\o\al(2,0)，∴|OP|＝eq\r(\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64.)∵0≤xeq\o\al(2,0)≤100，∴64≤eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64≤100，∴8≤|OP|≤10.]用标准方程探讨几何性质的步骤1．(1)已知点(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，则下列点中不肯定在椭圆上的点是()A．(－x0，y0) B．(x0，－y0)C．(－x0，－y0) D．(y0，x0)(2)求椭圆m2x2＋4m2y2＝1((1)D[由椭圆的对称性可知，选项A，B，C中的点肯定在椭圆上．](2)椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(eq\f(x2,\f(1,m2))＋eq\f(y2,\f(1,4m2))＝1.∵m2<4m2，∴eq\f(1,m2)>eq\f(1,4m2)，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝eq\f(1,m)，短半轴长b＝eq\f(1,2m)，半焦距长c＝eq\f(\r(3),2m).∴椭圆的长轴长2a＝eq\f(2,m)，短轴长2b＝eq\f(1,m)，焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2m)，0))，顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2m)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2m))).离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq\f(\r(3),2).由椭圆简洁性质求方程【例2】(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq\f(1,3)，长轴长为12，则椭圆方程为()A.eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,128)＝1或eq\f(x2,128)＋eq\f(y2,144)＝1B.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1(2)如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线相互垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为eq\r(10)－eq\r(5)，求这个椭圆的方程．(1)C[由条件知a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.](2)解：依题意，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F又B1F⊥B2F，∴△B1FB2∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝eq\r(10)－eq\r(5)，即a－c＝eq\r(10)－eq\r(5)，且a2＝b2＋c2，将以上三式联立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝c,a－c＝\r(10)－\r(5)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(10)，,b＝\r(5).))∴所求椭圆方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采纳待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；(3)写出标准方程．提示：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类探讨．2．求满意下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为eq\f(1,2)，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝eq\f(2,3)，短轴长为8eq\r(5).[解](1)由题意知，2c＝8，c＝4∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.(2)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)得c＝eq\f(2,3)a，又2b＝8eq\r(5)，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,80)＝1或eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,144)＝1.求椭圆的离心率[探究问题]1．在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，用a，b如何表示离心率e?[提示]e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).2．如何刻画椭圆的扁平程度？椭圆的扁平程度与椭圆位置有关吗？[提示](1)椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小确定了椭圆的形态，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，当e越趋近于1时，eq\f(b,a)越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，eq\f(b,a)越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．(2)椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关．【例3】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．[思路探究](1)利用正三角形的性质及椭圆的定义建立a，c的关系；(2)可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2来建立a，c的关系．eq\f(\r(3),3)[(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)x,3x)＝eq\f(\r(3),3).](2)解：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，∴eq\f(b2,－2ac)＝eq\f(－b,a)，即b＝2c.∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,5).∴e2＝eq\f(1,5)，即e＝eq\f(\r(5),5)，所以椭圆的离心率为eq\f(\r(5),5).1.(变条件)将本例(1)中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2[解]如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1，又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝eq\r(3)c依据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a即c＋eq\r(3)c＝2a，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.所以椭圆的离心率为e＝eq\r(3)－1.2.(变条件)若本例(2)的条件“PF1⊥x轴，PF2∥AB”换为“|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c2，3c2))”，求椭圆离心率的取值范围．[解]∵P是椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2eq\r(|PF1|·|PF2|)，即|PF1|·|PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．∴eq\f(1,2)c2≤a2≤3c2，∴eq\f(1,3)≤eq\f(c2,a2)≤2，∴eq\f(1,3)≤e2≤2.∵0＜e＜1，∴eq\f(\r(3),3)≤e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为a，b，c的方程或不等式，再求解．(1)若已知a，c可干脆代入e＝eq\f(c,a)求得；(2)若已知a，b，则运用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解；(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)求解；(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．(5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a，b，c的关系，再列方程(不等式)求解．提示：由于a，b，c之间是平方关系，所以在求e时，经常先平方再求解．1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(5))A[直线x＋2y＝2与坐标轴的交点(2，0)与(0，1)为椭圆的顶点，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3).∴椭圆的焦点坐标是(±eq\r(3)，0)．]2．已知椭圆C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，则()A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等D[由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2eq\r(3)，0)，(0，±2)，长轴长为4eq\r(3)，短轴长为4，焦距为4eq\r(2)；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2eq\r(2))，长轴长为8，短轴长为4eq\r(2)，焦距为4eq\r(2)，故选D.]3．(2024·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1