高中数学文化课快速提分一-三DA (二)

专题一三角函数和平面向量

第1讲三角函数化简与求值

激活思维

1.B【解析】依题意得4sinacosa=2cos%,由a£(0,号，知cosa>0,所以2sina

=cos窃.又sin%+cos2a=1,所以sin2a+4sin2a=1,即sin%=].又a£(0,z),所以sina=

里,故选B.

2.AC

57r

a/5\itana-tan7__.

3.f【解析】方法一：因为tanY)=,，所以1-----藐=|，即看

1+tan«tan-r

3

-

2

571

lan—

方法二：因为tan（。一号）=|所以tan«=tan[(«—y)+苧

57r

tan彳

3

2,

34

4.一］【解析】由题意知。+夕£（竽，2兀），sin（a+夕）=--

55

因为外_；^俘竽）,所以cos仅一；）=~25'所以cos仔+—=cos［（a+6）一⑺-孑）1

4

=cos(a+6)cos4-sin(a+6)sin

5.

2cos10。一2小cos(—100°)2cos10。+2小sin100

5.2也【解析】

,\/l-sin10°

10。+坐sin10°

4cos50°4cos50°=2<2.

^/l-2sin50cos5°cos50—sin50一业os50。

知识梳理

I.sin«cos4土cososinpcoswcos£土sinasinp

lana±lan[S

\tanalan/}

1+cos2a1—cos2a

2.2sinwcosacos2a-sin%2cos2a_1I—2sin2a

-2-2

2tana

1—1an)

3.yja2-}-b2sin(x+。)

课堂学•通法悟道

例]【解答】⑴由题意得(sina+cosa)2=j,

94

即+s---

in55

又2a£((),5)，所以cos2a=71—sin?2a=1,

4

--

3

(2)因为左住5)，所以夕一；e(o

于是sin[23—;)]=2sin仇一彳Jcos(fi-^)=芯.

又sin卜[一削=-cos2夕，所以cos2片一总，

因为2蚱俘，兀)，所以sin2£=，.

21+cos2a4(疝

乂cos"a=-----------=,，Q£()，4

所以cosa=¥,sina善.

2小11度

所以亚乂:L=

cos(a+2£)=cosacos2£—sin«sin2£=55X25—一25

【解答】⑴因为lana=£,3」=苦，

变式0(X

4

-

3

9

因为sin，+cos%=1,所以cos2a=2^,

因此2

cos2a=2cosa—I=—4J.

(2)因为a,夕均为锐角，所以。+夕£(0,兀).

又因为cos(a+6=一坐，

__________?R

所以sin(a+p)=71—cos2(a+、)=-T-，

J

因此tan(a+夕)=~2.

4

-274

3n2

la

tan2a-tan(〃+0)2

所以tan(a—^)=tan[2a~(«+^)l=

I+tan2atan(a—fi)IT•

【解答】方法一：由已知可得85〃=呼.93^3

，sm片.

例214

乂a,4为锐角，所以sina=^^,cos^=j^.

因此cos2a=2COS2(X—1=：,

・cc・4^3

sin2a=2sin«cosa=~j,

mz•-小生6、/13I、/力后亚

所以sin(2a一夕)=寸一X—X-j^=方-.

因为a为锐角，所以0<2“〈兀

又cos2a>0,所以0<2aV彳.

又£为锐角，所以€V2a一.

A

因为sin(2〃一夕)=之，所以2a一6=，.

方法二：同方法一，得cos/?=!|,sina=*

因为a,夕均为锐角，所以a一夕£(一方?，

所以sin(a—//)=sinacos//—cosasinp=^^-_2s、.,3小®

714-1*4•

因为sin(a—A)>0,所以a一4£(0，?,

故cos(a~p)=-\/l—sin2(a—/?)

—14,

又(

a£0,2，所以2a—£=a+(a一夕)£(0,兀),

所以cos(2a一夕)=cos[a+(a-Q)]=cosacos(«—/?)—sinwsinr人14

写x督4,

所以2«—/?=?.

J

y【答案】⑴]⑵]

【解析】⑴因为cos(2a一汽)=—总且:<2a—

所以sin(2a一6)=日系.

因为sin(a—26)="里且一(<«—2/?<?,

所以cos(a—2/?)=；,

所以cos(a+0=cos\(2a—p)—(a—2p)]

=cos(2«—^)cos(«—2/y)+sin(2a—/?)sin(a—2/?)

=_Uxi+」X述=1

147十147-2-

因为彳＜a+,夕岑，所以。+夕=1.

c兀

(2)由cosa=,,0<a<2，

_4^3

得sina=4I-cos2a=7

由Ov//〈ag,得0<a—.

133s

又所以sin(a-fl)=-\/l—cos2(«—/7)

cos(a—6)=14'14,

由£=。一(。一夕)，

得cos4=cos[<z—(a—/?)j

=cosacos(«­//)+sinasin{a~P)

=113迪乳31

=7Xx|4十7x|4~=2-

因为££（0，9,所以.

巩固练•融汇贯通

rz

l.C【解析】(I—Ian215°)cos215°=cos2|5°—sin“5°=cos30°=^~.故选C.

3

【解析】因为（。+｛），所以-

2.Durn=7^=7lana=4.又a为第二象限角,

4--H

所以cosa=—q，所以sin(a—2^)cos2/9—cos(a—26)sin2。=sin(a—40)=sin(a一菱)=­cos

4

a=T,故选D.

J

3.A【解析】因为cos(x—=(，所以cosx+cos(x—1)=cosx+^cosx+乎sin

x=y[3(乎cosx+；sinx)=y[3cosfx—=小X；=乎.故选A.

tana+tanYJ

4.C【解析】由tana+tan装=2tanatan-2------------=—2tan

1212,7t

1-tanwtan

(a+j?=-2.因为a为第二象限角，所以sin(a+金)»cos(。+多)=一坐，则

sin(a+消)=—sin,一§=—sin[(a+j^)—j]=cos(a+多)sinj—sin(a+闫cos

t=一噂•故选c.

5.BC【解析】对于A,2sin15°cos15°=sin30°=^,故A错误；对于B,cos215°—

rz巧

sin215°=cos30°=2，故B正确；对于C,1—2sin215°=cos30°=2，故C正确；对于D,

sin2150+cos215°=b故D错误.故选BC.

6.ABC【解析】A,cos820cos22°+sin820sin220=cos(82°-22°)=cos60°=5，

1，十io\f3十》工十tan480+tan720

故A正确；对于B,cos~15°—siirl5°=cos30°=方-,故B正确；对于C,T~~~~

乙\—inn4otan/z

=tan(480+72°)=tan120°=一小，故CIE确；对于D,sin150sin300sin750=/sin150sin(90°

—15°)=1sin150cos150=7sin30°=^,故D不正确.故选ABC.

Z4O

7.BD【解析】因为sin(a+6)=sinacos"+cosasinp=sina+sin从所以cos夕=1且

cosa=l可使等式成立，所以a=.=2E(k£Z).因为Z£Z,所以a,夕有无限多个，包含a=

6=0,故选BD.

1217

8.—【解析】由题知角0的终边经过点p(一工，—6),所以cos<9=^=3=^

137

=一得，解得x=?，所以sin^=_7T=-77，tan9=—1=曰，所以tan(。+?)=

~2~2

tan9+tan]

17

7•

i-tan仇an耳

9.需【解析】依题意可将已知条件变形为sin[(a-0—a]=-sin6=],所以sin夕

=-I.又外是第三象限角，因此有cos夕=—'，所以sin(4+苧)=-sin(^+^)=~sin

。匹。•匹7•

夕cos4cos/sin4.

啦；【解析】因为a/为锐角，sina邛，sin片嚅，所以cosa=¥,

10.

19一

3回,所以cos(a+彼)=cosacos/?—sin«sin夕一坐乂^^,

p=

COS10

V2

又0Va+6V兀，所以cos(a+H)=2，

11.【解答】⑴由题知=sin(节+,)=sin(―1)=—1.

(2)/19—=sin3-1+盍)=sin(2〃-彳)=乎(sin2〃-cos20),

43

--

55

24

所以sin29=2sin9cos0—

25，

7

cos20=cos2〃一§亩2。=石,

所以(2。一号)=乎(sin29-cos2J)=坐X管一④

12.【解答】方案一：选条件①.

方法一：因为tana=4小，所以日卷=4小.

VOoCX

由平方关系sin%+cos%=1,

.4^3{.4^3

sina="sina=一「丁，

]或J\

{cosa=jcosa=­y.

8

22-

因为cos(a+.)=-g,由平方关系sin(a+/?)+cos(a+/?)=1,9

因为a£(0,?,夕E(0，号,所以0<a+你兀,

所以sin(a+p)=¥^,

所以cos外=cos[(a+用-a]

=cos(a+/?)cosa+sin(a+£)sina

植

=_1X1,2^28#—1

方法二：因为a£(0,5)，tana=44,

所以点P(l,4小)在角a的终边上，

所以cosa=-/।-p~~；,

41+(473)27

,4s45

sma=/----「=~i-.

J14-(4小)27

以下同方法一.

方案二：选条件②.

因为7sin2a=2sinar所以14sinocosa=2sina.

因为a£(0,3,所以sinaKO,所以cosa=4.

4«

由平方关系sin%+cos%=1,解得sin%=布.

因为a£(0,9,所以sina=^.

以下同方案一的方法一.

方案三：选条件③.

因为cos?=邛^,所以cos1=2＜：0§号一1=1.

48

由平方关系sida+cos2a=],得sin%=^.

因为a£(0,&,所以sina=¥^.

以下同方案一的方法一.

第2讲三角函数的图象

激活思维

1.D2.B

3.A【解析】因为直线x=：和尸竽是函数＜x)=sin(⑦x+s)图象的两条相邻的对称

轴，所以7=2X传一彳)=2兀，所以＜y=y=1.又因为后■)=sin+°)=±1,且0＜8

VTC,所以勿=；.故选A.

4.D【解析】把尸cos2%的图象向左平移々个单位长度，得到＞=cos[2(x+卅=

cos("+?=-sin2x的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的3,纵坐标不变，所

得图象对应的解析式为y=-sin4x,因为丁=-sin4x=-2sin2xcos2x=y(.r)-coslx,所以./(x)

=-2sinZr,所以《d)=-2sin:=-x/5.故选D.

知识梳理

..kl

\(p\

，rico

课堂学•通法悟道

例]【答案】D

【解析】由题图可知於)的振幅A=2,最小正周期7=4管一引=乃，则”=率=2.

由Ie谤，所以2X^+9=手，解得e=3所以yu)=2sin(2x+；).将函数於)图象上的

所有点向右平移点个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin）+j]=2sin

（2xj）,故选D.

变式【答案】（1）D⑵D

【解析】⑴由题知r=2（兀一号=n,则①=爷=2,

所以外）=2sin（2x+p）.将点伙兀，1）代入，

得2sin（2.+°）=1,

即。=+2依或+2E,kGZ.

又Mv兀，且点5位于fix）的增区间内，

所以攵=0,0=专，故选D.

（2）由函数＜x）=cos（侬x+口）的部分图象可得函数＜x）的最小正周期为牌=2义©—

=2,所以心|=兀，不妨令侬=兀，则＞U）=cos（心+0）.再根据函数的图象以及五点法作图，

可得:+♦=,'即'fix）=cos（兀）.由2EWTCV+京W2E+北,kRZ,得2k一；

3,&WZ,故.«x）的单调减区间为（2女一：I，2k+13）,kRZ,故选D.

例2【合案】B

【解析】由题图可知A=2,1一（一m,即7=心贝I]（0=2,所以函数%）

=2sin（2x+。）.

将点住,2）代入，得2sin（2x1+9）=2,

即》=一言+2E,kWZ.

因为一兀＜少＜0,所以e=一专,

则7U)=2sin(2x—=2cosg—(2x—]=2cosI*—2x)

因为g(x)=2cos2x,

所以要得到函数g（x）的图象，需将函数凡r）的图象向左平移与个单位长度.故选B.

变式【答案】⑴ACD（2）D

【解析】⑵对于选项D,把C向右平移盍个单位长度,得到尸sin氏一日一外=

sin（2r-g=-cos2v,该函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故选D.

巩固练•融汇贯通

1.A2.D3.C4.D5.AD6.ABD7.BD

8.y=sinQ+鼻）9.专

10.【解析】把函数府）=sin（2x+p）（|0|W）的图象向左平移/个单位长度后，可

得产sin（2H■知+*）的图象，由题知此图象关于原点对称，则知+8=AmZ£Z.因为啬，

令2=1,得8=].

13

jrjr-X十-

11.【解答】(l)/(x)=sinx+sinxcosq+cosxsinT2V232si

x+cosx=小sinQ+菅），当sin（彳+看）=~I时,7U）min=一小，此时x+看=与+

2kit,k£Z,所以工=今+2版，k《Z,所以/（x）的最小值为一小，此时x的集合为{小=与

+2E，止Z}.

（2）将y=sinx的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的小倍，得产小sinx的图象：

再将产小sinx的图象向左平移专个单位长度，得公尸小sin（x+Q的图象.

12.【解答】（1）由题图可知，最小正周期7=2（喏一鸨）=兀，所以勿=竿=2.

因为点偌，0）在函数图象上，

所以Asin（2X得+［）=（）,即sin（亮+伊）=0.

又因为0＜片，所以普＜y+s碧，

从而卷+勿=九，即♦=..

JT

又点（0,1）在函数图组上，所以人sin-=1,人=2,

故函数凡r）的解析式为＜x）=2sin（2x+".

[2(T)+d—2sin*黝+胃

(2)由⑴知g(x)=2sin

=2sin2x_2sin

=2sin2x—2(上访2x+

=sin2x—A/3COS2X

=2sin(T)，

由2E—5W2E+楙，kGZ,

1.ABC

2.B【解析】J(x)=2cos2x-sin2x+2=2cos2x-sin2x+2sin2x+2cos2x=4cos2x+sin2x=

cos2ut+1353

3cos2x+l=3X—--1=^cos2A-+J,所以函数Jtx)的最小正周期为汽，最大值为烹+

1=4,故选B.

3.CD

4.—【解析】y(.r)=sin2cosx=y[5(坐sinx—cosx)=y[5sin(x-a)(其

+cos«=^»sin«=^^),因为当x=，时，函数人x)我得最大值，所以sin(0—a)=l,即

sin8—2cos夕=小.又sin2c/+cos2^=1,联立得QcosO+小)2+cos2^=1,解得cos6=一号-

(2v+夺)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cos.v+1,

5.-4【解析】7U)=sin

3

-仞]

令，=cosX,则一1W/W1.因为y=-2/3/+1的开口向下，对称轴为--4

上先增后减，所以当f=I,即cosx=l时，函数/幻有最小值一4.

课堂学•通法悟道

例]【解答】⑴因为外)=2小sinxcosx+cos2x—sin2x=-\/3sinZr+cos2x=

2sin(2x+§.

所以函数J(x)的最小正周期T=7T,

令一1+2EW2x+*W.+2E,k£R,

jrjr

得一W+E,2£Z,

Jo

所以函数於)的单调增区间为[—牛+E，I+饲,后Z.

(2)若选择①.

由题意可知，不等式,也)2〃?有解，即加W_/U)max.

因为0,7，所以2W2x+]W卷,

故当2x+5岩，即x=,时，

次力取得最大值，且最大值为=2.

所以加〈2,故实数M的取值范围是（-8,2].

若选择②.

由题意可知，不等式JU）=”?恒成立，即m《ya）min.

因为0,与,所以1W21+5W,，

故当2x+1=y,即尸,时，

八丫）取得最小值，且最小值为=-i.

所以加w—i,故实数机的取值范围是（-8,-1）.

变式【解答】（1）若函数火工）满足条件③，

则7（0）=Asin（p=­I，

这与A>0,（）<0<彳矛盾，

故火外不能满足条件③，

所以函数4r）只能满足条件①②④.

由条件①，嘀=71,又因为30,所以⑦=2.

由条件②，得A=2.

由条件④，得（一5）=2sin（一=°，

因为。〈夕或，所以夕=1,

所以./U）=2sin（2x+；）.

（2）由2E甘W2x+1W2E+3,kGZ,

得E-碧WXWE+专,kRZ,

所以函数危）的增区间为[E—招，依+方],kQZ.

例2【答案】（1）BD（2）BCD

【解析】⑴由题意知於）=cos2sx+小sin2<av=2sin（2（ox+§,对于A,因为7

=言=兀，所以①=1,所以加=2sin（2x+器）,故A不正确：对于B,当xw［。，•时，

2x+l电，,，所以函数府）在［。，i\上为增函数，故B正确；对于C,当x=j时，2X1

+会=T，因为而T=1K±l,所以直线x号不是函数尸危）图象的一条对称粕，故

UvlU4J

C不正确；对于D,当户居时.，2X驾+5=n,因为sin7T=0,所以借，0）是函数y=

,4x）图象的一个对称中心，故D正确.故选BD.

（2）因为火—x）=sin（―x）+|cos（—x）|壬/&），故A错误；因为y=sinx的最小正周期为2冗，

y=|cos3的最小正周期为兀，故/（x）=sin.v+|cosM的最小正周期为2兀，故B正确；因为/U）

=/（7r—x）,所以函数/（戈）的图象关于对称，故C正确；因为/x）=sinx+|cosx\=

sinA-Feosx=^/2sin^+习,

—5+2E,1+2E,

<

sinx-cosx=^/2sin

3兀

4+2〃兀,方+2E,kez,

所以当冶+2阮，专+2E（2£Z）时，工+彳£—青+2E,才+2也（&£Z）,

fix）［—1,y］2］.当%£自+2攵兀，竽+2E（攵£Z）时，x—££§+2E,竽+2E（2£Z）,

/x）e［-l,g］,故函数段）的值域为［-1,A/2］,故D正确.故选BCD.

变式【答案】AC

【解析】因为直线是/U）=sin（3x+w）（一方〈夕或）图象的一条对称轴，所以3义会

+°=W+履（k七Z）,则0=—；+E（A£Z）.因为一3,所以9=一彳，则人x）=sin

（3%—：）.对于A'的）=sin氏+田一

=sin3x.因为sin(―3x)=—sin3x,所以

G■哈）为奇函数，故A正确.对于B,令一宗+2EW3x—£+2E（〃£Z）,得一自+

2kn))兀,2kn,,人兀।…一-兀)3兀,…_/口2ht,it,)7冗,2kn

—+~伏£Z).令1+2EW3x—彳+2依(k《Z),得丁+；〈不・适+亍

（右Z）.当k=0时，外）在［一方，f］上单调递增，在，司上单调递减，故B错误；对于

C,若［穴工）一外2）|=2,则同一刈最小为半个周期，即空兰，故C正确；对于D,函

数於）的图象向右平移空个单位长度得产sin［3（A—）—J］=sin（3x—n）=-sin3x的图象,

故D错误.故选AC.

巩固练•融汇贯通

1.D2.C

3.B【解析】因为sin。―cos°=啦sin（勿一=2，

所以sin=7.因为。<8耳，所以一彳<<p—7，所以伊一号=7，解得8=符，

\一）/乙VIN

所以./（X）=COS2（X+0）=TCOS（2Y+20）+；=；cos（法+普）+g.由2EW2Y+•W2H+?r,

k£Z,得也一招<WE+强,kGZ,所以函数危）的单调减区间为伙兀一招，E+古］,

kRZ.故选B.

4.B【解析】因为）：=cos（x+竽）=-sinx为奇函数，排除A；y=-tanx为奇函数，

排除C；），=I-2COS22X=-COS4X为偶函数，且单调增区间为愕，争昔］，&£Z,排除D：

y=|sin（7t+x）|=|sinx|为偶函数，且在（0,?上单调递增，故选B.

5.ABD【解析】将危）=2sin（2x+3）（0<9<7r）的图象向右平移专个单位长度后，得g（x）

=2sin［2（x-）+e］=2sinQ—1+9）的图象.因为g（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）为

偶函数，所以伊一W=5+E（A£Z）,即+E/£Z）.又伊£（0,兀），所以3=普，故A

正确；当尸合时,«r）=2sin（2X专+普）=0,故B正确;*）=7管）=2sin（2X•一朗）

=2,故C错误；当尸一,时，危）=2sin［2X（一力+手］=2,故D正确.故选ABD.

6.ACD【解析】因为人幻=，5sin2x-cos2.r=2sin（24一专），x£R,所以一2於/U）W2,

故A正确；当x£（0,兀）时，2%—^《―专岩），当=0或冗时，加）=0,故B错

误；由丁=:=兀,知C正确；因为痣）=2sin=2,所以*=全为於）图象的一条对称轴，

故D正确.故选ACD.

7.ACD【解析】由题意知x=/»）=cos仇y=g"）=sin仇所以x=/（。）是偶函数，y

=g（。）是奇函数，故A正确：x=y（，）=cos夕在［一与0上为增函数，在（0，y上为减函数，

y=g（J）=sin9在［一与］上为增函数，故B错误;/（9）+g（（9）=sin9+cossin（。+§），

当〃£0,冷时，守，苧，所以敏+g（仍］,故C正确：/=2cos9+sin20,

则/*=—2sin。+2cos2。=-2sin9+2(1—2sin2处=-2(sin®+1)(2sin0—1),令f>0,得一l<sin

，令/'<°，得;<sin(X\,所以当sinJ=3时，fmax=2cos0+2sin/os9=3cos8W3X坐

=挈，故D正确.故选ACD.

8.，与一会4+日(A£Z)【解析】由题知y=2sin(公+看),由2kn-^W4.r+*

,kWZ,得当一看写+g,kRZ,即函数产cos4x+小sin4x的单调增

r—i、,「A兀n灯r।兀"1

区间为［了一不y4-［2j«£Z）.

9.(0,?【解析】-x)=sinx+cosx=&sin(X+T)，由2E—与W2E+亨，

\"II4■/>

女WZ,得当2E-竽,Z£Z时，段）单调递增，所以［0,32E—苧，2E+日，

一苧，耳，所以a的取值范围是（0

止Z,取2=0,则[0,a]

(，+之)-5cos4+乎=COS

10.—【解析】Hx)=cosxsin

小"广"+坐=12「乎cos2Tsin3冶）.因为短［十：

,所以

nf时，府）取得最小值一3.

，因此当2r

^-1I3

=2coscoxgsincox一

11.【解答】fix)=2coscoxsincox"=

普

2gcos2tox=sin(2Q*一G[—1,1].

由①②③都可以得到贝幻的半周期为方，

即然哥式，所以“=1，

所以./U）=sin（2L1）.

由一点,得一期W2l9

oo36

Jljr

所以加0］,即/）在一不，不上的值域为［-1,0］.

sinx8sLsm2k坐sinzv-^^=sin(2r+§-1.

12.【解答】（1）人幻=小

令Zr+5=E,&£Z,得x=£-g，k^Z,

所以凡r）的对称中心为得一自，一，,kWZ.

由2依+弓WZt+也W2E+岑，女WZ.

2o2

得E+*WxWE+空，kGZ,

所以府)的单调减区间为伙兀+5，E+用Jaez).

(2)由题意得g(x)=j(L§=sin［2(x-1)+1=sin(M一专)，

因为OWxW碧,所以一,WZr—季碧,

所以一J〈sin(2(一'Wl,

所以g(x)在区间［o,§］上的值域为［-1,1］.

第4讲解三角形I

激活思维

I.D【解析】因为。=小，c=2,cos,所以由余弦定理可得cos=

一次—=，整理可得3/一油一3=0,解得力=3或V(舍去)做选D.

LUC乙”人。…入乙；3

2.B【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.因为sin8+sinA(sinC—cosC)

=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0>所以cosAsinC+sinAsinC

=0.因为sinCKO,所以cosA=—sinA,所以tanA=—1.因为OVAVjt,所以4=苧.由正

弦定理可得看=^7,所以sinC=^1A.因为。=2,。=啦,所以sinC=U}=

sinvsin/Iuci

.x当

—=2.因为a>c,所以，故选B.

/一/=4。2,

3.A【解析】因为。sinA-bsinB=4csinC,cosA=一；,所以“从+02—/)

一赤~二F

解得3/=：be,所以与=6.故选A.

4v

4.D【解析】因为23cos2/l+cos2人=23cos24+2co/八一I=0,即(:0$2人=+.又因为人

为锐角，所以cosA=7.又〃=7,c=6,根据余弦定理得a2=h2+c2—2bccosA,即49=b2

J

1913

+36-yb,解得力=5或2=一耳(舍去)，故选D.

5.今后【解析】由余弦定理可知cos=—1,解得8。=一8(舍去)

4ZXDCX〉乙

或3,所以△相€?的面积为3XABXBCXsinB=1X5X3X坐=今后.

知识梳理

(l

1.A卜.(2R2RsinA2RsinB2RsinC&4W

sinAsinBsinC2R2R2R

i,1r(yr-|-(p--4/-CT(P"~"tr

2.从+c2-2bccosAa2+c2—laccosBtz2+Z>2—labcosC----------------z--------

2bc2ac

々2+〃一f2

lab

3.absinC«csinBbesinA

课堂学•通法悟道

例］【答案】(1)3+2小(2)B

【解析】(1)因为sinA:sin8=1：小,

所以由正弦定理知力=小a,且。=小.

2

fA壮士工田田一一+/一^片+(小〃)2-(小)2小/-

由余弦7E•理自cosC=2^=2aX，5a=2，解得，所

以。=3,所以△ABC的周K为a+〃+c=3+2\/5.

(2)由题意及正弦定理知2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinE.因为

sinBWO,所以cos.因为8£(0。，180°),所以B=60。，由余弦定理，得"=/+。2—4,

又422〃c—4,故acW4,所以S&4Bc=gacsin小.故选B.

变式【答案】⑴乎（2）|

【解析】（1）因为4,26C成等比数列，

所以4lr=ac,

所以根据正弦定理得4sin2^=sin/\sinC.

因为a2=b2+c2—bc,

护+（?2-a21

所以根据余弦定理得cosA=----赤---=2

因为A£（0,兀），所以sinA=与，

「ui"sin〃sin%1、/sinAsinC近

所以------=一•厂：

csinC=T4X----s~in~kC-=o8

(2)由sinA=2sinC,得o=2c.

又。2=2hc,同f以4c2=2力c,b=2c.

cr+tr-c17

根据余弦定理得cosC=

2ab=8•

［解答］(1)*x)=4tanxsing—x)cos~x)—y［3=4tanxcosxcos8

例2

一小=4sinxcos—x)一小=2sinxcosx+2小sin，一小=sin2x+2小~"

于=sin2x-y[3cos2x=2sin(2x一§,

由<8）=小，得sin(2B-j=必

—2,

因为8为锐角，所以28冶e(/S，

所以2B—?=?，/?=?.

JJJ

(2)由余弦定理得〃=a2+c2-2”ccos8,

因为匕=3,a=2e,8=1,

所以9=(2c)2+/—462cosm，所以/=3,

J

所以S&ABC=QacsinB=，sinB—•

变式【解答】(1).仆)=坐sin2x+--c；s2A—|=sin(2x()—1,因为A£(0,

兀）,_M）=0,

所以2A—*=?,即A=W.

o23

EAI_。b.八〃sinA1

因为而X=而西‘所以s】n8=F—=2'

所以B=l或1.又因为b<a,所以B=l.

（2）由余弦定理，可得（2。2=22+/—2X（;乂2cos7,即3/+2c—4=0,解得c=

一：皿（负根舍去），故△ABC的面积为:besinA=1X2X