中考数学以二次函数与图形的面积、周长及线段的数量问题背景解答题

y=ax2-(2a-+3

1.(2018泸州中考)如图，已知二次函数I4)的图象经过点A(4,0),与y轴

交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0vmv4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交

该二次函数图象于点D.

(1)求a的值和直线AB的解析式；

⑵过点D作DF_LAB于点F,设AACE,4DEF的面积分别为Si,S2,若Si=4Sz,求m的

值;

(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形

DEGH是平行四边形，且MEG"周长取最大值时，求点G的坐标.

51](1/

；(2)6；(3)\3f-或回4/

【解析】

【分析】

(1)把A代入求出a值，随之可得解析式.再设直线幺臊析式为》=匕+瓦代入A,B可得直线解析式.

(2)求出D,E坐标，再利用相«表示出AE,列出等式即可解答

(3)过点6做GMJ.OC,十点M,表不出DE,HG,MG,EG,再根据题中的条件即口」解答求出G的坐标.

【详解】

解：(1)把点44,0)代入，得

3

0=a-492-(2a--)x4+3

解得

3

a=——

4

y=--x24--x+3

•••函数解析式为：44

设直线4B解析式为，=履+6

把4(4,0),B(0,3)代入

(0=4k+b

[b=3

k=--

4

解得〔b=3

3

…y———x+3

•••直线43解析式为：4

(2)由已知，

点0坐标为(见一+3)

点E坐标为-+

AC=4-m

3,933,

DE=(--m24--m+3)—(—-m+3)=--m2+3m

•・•BC〃辞由

5

••・AE=-(4—m)

vLDFA=LDCA=90°,dBD=MEA

:"DEF/AAEC

•♦・S1=4s2

AE=2DE

・•・^(4-m)=2(-^m2+3m)

_5

解得叫一%,m2=4(舍去)

5

故M值为％

(3)如图，过点G做GM_LDC于由M

由(2)4

3

HG=——n27+3n

同理4

•・•四边形OEGH是平行四边形

32c32r

•••—m+3m——n+3n

44

3

(n-m)[-(n+m)-3]=0

整理得:4

vm^n

.-.m+n=4,即九=4-m

MG=n-m=4-2m

由已知AEMG-AB04

MG_4

・•・~EM~3

5

・•・EG=/4-2m)

・•・㈤EG"周长L=2[-^m2+3m+2(4-2m)]=一源+m+10

3

•・・。=-5<0

•.•帆=_媒=_南=争寸，竭大.

111

An=4--=—

；・G点坐标为名力此时点E坐标为尊9

当点G、E位置对调时，依然满足条件

••点G坐标为（表》或^7）

如图，抛物线跋。交轴于点、左右），交轴于点

2.y=2_2G-3XAB（ABYC,S^BC

=6,点P为第一象限内抛物线上的一点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若NPCB=45。，求点P的坐标；

(3)点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1,连接PC、

AQ,当PC=?AQ时，求点P的坐标以及APCQ的面积.

9

【解析】试题分析：(D根据抛物线的解析式求得点A、B、C的坐标，根据，S皿=6即可求得a值，

从而求得抛物线的解析式J(2)根据点B、C的坐标判定aOBC是等腰直角三角形，即可得NBCON

OBC=45°,已知点P为第一象限内抛物线上的一点，且NPCB=45。，可得PC"0B,所以P点的纵坐标为3,

令y=3,解方程即可求得点P的横坐标：从而求得点P的坐标；(3)根据点P在第一象限，点Q在第二象

限，且横坐标本睦b进而设出点P(3-m,-mMm)(O<m<l);得出短QGm,^n^m-5),得出CF,

AC，最后建立方程求出m的值，从而求出点P、Q的坐标，再求出直线CQ的解析式及点D的坐标，根据

S&PCQNSAJCD+S2PQD即可求得APCQ的面积.

试题解析：

(1),/抛物线y=ax2-2ax-3a=a(x+l)(x-3),

.*.A(-l,0),B(3,0),C(0,-3a),

/.AB=4,OC=|-3a|=|3a|,

VSAABC=6,

A-ABOC=6,

2

—x4x|3a|=6,

2

.'.a=-l或a=l(舍),

，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

⑵由⑴知,B(3,0),C(0,-3a),

AC(0,3),

・・・OB=3,0C=3,

•••△OBC是等腰直角三角形，

/.ZBCO=ZOBC=45°,

•・•点P为第一象限内抛物线上的一点，且NPCB=45。,

・・・PC〃OB,

・・・P点的纵坐标为3,

由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,

令y=3,，-x?+2x+3=3,

，x=0(舍)或x=2,

，P(2,3)；

(3)如图2,过点P作PDlx轴交CQ于D,

2

设P(3-m,-m-4m)(0<m<1)5

•・・qo,3),

/.PCz^S-m)q-m7m-3)2=(m-3)2

•・•点Q的横坐标比点P的横坐标大1,

VA(-1,O).

AQ2=(4-m+1)2+(-m2+6m-5)2=(m-5)2[(m-l)2+l]

VPC=-AQ,

9

81PC?=25AQ2,

・•・8l(m-3)2[(m-l)2+l]=25(m-5)2[(m-l)2+l],

*/0<m<1,

.■・81(m-3)J25(m-5)S

/.9(m-3)=±5(m-5)，

「・m=；或m=—(舍)，

5779

..叱70广，

・.・直线CQ的解析式为广-3;x・3,

.叼7，

53

.•叱

/.PD=-+-=52,

44

11115735

SiPCQ=SApcD*Sz.PQD=—PDxxP——PDx(xQ-xP)=—PDxxQ=—x—x—=—.

3.(2018甘肃陇南中考)如图，已知二次函数尸ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分

别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

(2)连接P0,PC,并把AP0C沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP，C为菱形，

请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形

ACPB的最大面积.

2+83315

【答案】（1）V=-x2+2x+3（2）（2,2）（3）当点p的坐标为（2,4）时，四边形ACPB

75

的最大面积值为百

【解析】

【分析】

（D*睡待定系数法，可得函数解析式；

<2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点

坐标5

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的

和停，可得二次函数，根抿二次函融的件底，可得答案.

【详解】

（1）将点R和点C的坐标代入函数解析式,得

f9a+6+c=0

Ic=3.

二次函数的解析式为y=-X2+2X+3；

（2）若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,

如图1,连接PP',则PE_LCO,垂足为E,

3

，点p的纵坐标2,

_2+闻_2-回

解得“】二2，气=2.(不合题意,舍),

，点P的坐标为।卜

(3)如图2,

AO尸5、x

P在抛物线上，谀P(m,-m:-2m-3),

设直线BC的解析式为y=kx-b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

(3k+3=0

直线BC的解析为y=・x+3,

设点Q的坐标为(m,-m+3),

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

当y=0时，-X2+2X+3=0>

解得X1=-1,X2=3,

OA=1,

/15=3-(-l)=4,

S四边形ABPC=SAABC+SAPCQ+SAPBQ

111

=^AB-OC+-P(?.OF+-PQ-FBf

3

当m=2时，四边形ABPC的面积最大.

33151

-m24-2m+3=—i-，卜

当m=2时,4,即P点的坐标为I24)

当点P的坐标为卜彳）时，四边形ACPB的最大面积值为后75.

1

y=T-2

4.（2018锦州中考）在平面直角坐标系中，直线2与x轴交于点B,与y轴交于点C,

1

y=-x2+bx+c

二次函数2的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直

线BC下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式;

（2）如图1,连接DC,DB,设ABCD的面积为S,求S的最大值;

（3）如图2,过点D作DMJLBC于点M,是否存在点D,使得ACDM中的某个角恰好等

【分析】

（1）先求得点B、C的坐标，再代入丫=；/+6*+咏得，c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点

D作DEL塔由于点E,交BC于点F,过点C作CGLDE于点G,设。［（炉一：@一？），则F（a,；a-2）.用含

有a的代数式表示出FD的长，再根据S=Sue得到S与a的二次的数关系，利用二次邰|数的性质

即可解答J（3）在x轴上取点K,使CK-BK,则N0KC-2NABC,过点B作BQ//MD交CD延长线于点

Q,过点Q作QHlx轴于点H,分NDCM-NQCB-2NABC和NCDM-NCQB-2/ABC两种情况求点D的

横坐标即可.

【详解】

(1)直线y=；%-2,当％=耐，y=-2；当y=0时，％=4,

.•.8(4,0),C(0,-2).

••・二次函数丫="2+"+。的图象经过8,C两点，

**(|X42+4h+c=0,解得｛:__£

...二次函数的表达式为：y=|x2-1x-2.

⑵过点0作昉U轴于点E,交BC于点F,过点C作CGJ.DE于点G,

第25艮图I

D(a^a2-^a-2^

依题意设I22人则［2).

其中0<a<4,

FD=-a-2-(^a2--a-2^=-a2+2a

2{22)2,

•S=SgFD+SAFCD

=-FDBE+-FDCG

22,

=|FD(BE+CG)

=-FD-OB

2,

=|x4^-|a24-2a)

=-a2+4Q,

=-(a-2)2+4.

•・・-i<o,・••抛物线开口向下.

又・.・0<a<4,

.,.当a=2时，S有最大值，S最大值=4.

⑶2或含

在4轴上取点K,使CK=BK,贝*0KC=2乙4BC.

过点B作BQ"M。交CD延长线于点Q,过点Q作QH1瑶由于点H,

第“过用2

设点K的坐标为(m,0),则OK=m,

CK=BK=4-m.

在RMOKC中，(4-m)2=m2+22,解得m=:

当zDCM=乙QCB=2UBC=乙OK。寸,

BQ_BQ__MD_PC_4

二.tan乙QCBBC—27m~CM~OK~3

易证AQHBsABOC

BH_BQ

.•.而一前

816

BH=-HQ=—

33

,2016、

Q-)

”(0,-2),

1c

“y=--x-2

・•・直线QC的函数表达式为：2

1231

£一/一2二-/-2,解得：/=2,勺=。(舍)

・・・。点的横坐标为2.

29

②当〃:DM=NCQB=2乙4BC时，方法同①，可确定点0的横坐标为五.

5.(2017泸州中考)如图，已知二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象经过A(-1,B(4,

0)、C(0,2)三点.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足NDBA=NCAO(。是坐标原点)，求点D的坐

标;

(3)点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC,y轴与点E、F,

若△PEB、ZkCEF的面积分别为&、S2,求S「S2的最大值.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

(D由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，

<2)当点D在x轴上方时，则可知当CD/AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴

下方时，可证得BD〃AC,利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式

可求得D点坐标；

(3)过点P作PH〃y轴交直线BC于点H,可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出aPEB的

面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E

点横坐标，从而可表示出^CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1-S2的最大值.

【详解】

a-b+c=0

16a+4b+c=0

(1)由题意可得c=2解得

13\

-x2+-x+2

・••抛物线解析式为y=22

(2)当点D在x轴上方时，过C作CD〃AB交抛物线于点D,如图1,

y

图1

YA、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称,

，四边形ABDC为等腰梯形,

AZCAO=ZDBA,即点D满足条件,

AD(3,2)；

当点D在x轴下方时,

VZDBA=ZCAO,

，BD〃AC,

VC(0,2),

工可设直线AC解析式为丫=1^+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

••・直线AC解析式为y=2x+2,

・••可设直线BD解析式为y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

・•・直线BD解析式为y=2x-8,

联立直线BD和抛物线解析式可得

y=2x-8

y=-+2俨=g(x=渣

(22,解得口=。或1y=-18,

AD(-5,-18)；

综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(-5,-18)；

(3)过点P作PH〃y轴交直线BC于点H,如图2,

y

图2

3

工:+—

设P(t,-22t+2),

-x+2

由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=2

―t+2

AH(1,-2),

1931

.5t+于+2-(--t+2)

PH—yp-yn——2乙/

A

设直线AP的解析式为y=px+q,

1

p=—1+2

f123”2

-弓t+/o2=tp+q1

22q=—1+2

：AO=-p+q,解得［2,

11

•・•直线AP的解析式为y=(2+2)(x+1),.令x=0可得y=2-Z,

.'.F(0,2-1t),

/.CF=2-(2-1t)g

联立直线AP和直线BC解析式可得

y=(2--t)(x+1)

V2，解得X=c/-,即E点的横坐标为t六，

y=--x+25T-

Z2

(XB-XE)V(-22t)(5金)，七

丁•SrS耳(*+2t)(5-七)-汾士，-1t2+5t-|(t-f)吗

.当t=争寸，有SiS有最大值，最大值为£.

6.(2016泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线1与抛物线

y=m/+n相交于人a,3我,B(4,0)两点.

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D,使得AABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求

出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM〃OA,交第一象限内

的抛物线于点M,过点M作MC±x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△◎、

MN

SAMW满足SziBoF2s求出N，的值，并求出此时点M的坐标.

30+83乖-回

【答案】（l）y二一炉2+4&X；⑵D（l,0）或（0,2）或（0,2）；（3）

aM（企+1,2g我.

【解析】

【分析】

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式5

（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作ADj_x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，

设出D点坐标为（0,d）,可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，

从而可求得满足条件的D点坐标；

（3）过P作PFJ_CM于点F,利用RuADOsRtaMFP以及三角国数，可用PF分别表示出MF和NF,从

而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S&BCX=2s二由，可用PF表示出a的值，从而可用

PF表示出CN,可求得靠的值$借助a可表示出“点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求

出M点的坐标.

【详解】

(1)VA(1,3口),B(4,0)在抛物线y=m产+nx的图象上，解得『=

<16m+4n=0<n=4V3

••・抛物线解析式为y=-V3%2+4V3%；

<2)存在三个点演足题意，理由如下：

①当点D在x轴上时，如图1,过点A作ADlx轴于点D,3舜)，

「.D坐标为(1,0),

②当点D在y轴上时，设D(0,d),

^AD2=l+(3V3-d)2,BD2=42+d2,

§_AB2=(4-1)2+(3V3)2=36,

「△ABD是以AB为斜边的直角三角形，・•・

222222

AD+BD=ABt即1+(3^3-d)+4+d=36,

3一±yn3-+yn3#-回

解得d=2一,・・・D点坐标为(0,2—)或(0,—2—)：

30+83曲

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为(1,0)或(0,2)或(0,2)；

(3)如图2,过P作PF_LCM于点E

VPMZ/OA,・・・RSADOSRSMFP,

MF_AD

：.PFOD=3y[3t.・.MF=3GPF,

在RsABD中，BD=3,AD=3G,

，lanNABD二祗AZABD=60°,

设BC=a,则CNfAi,

在RSPFN中，ZPNF=ZBNC=30°,

竺—立

AtanZPNF=W_3,

AFN=A/3PF,/.MN=MF+FN=4A/3PF,

VSABCN=2SAPMN，

yfl2=2X；x4y/3PF2

.•，a=2A/2pF,

，NC=$a=2&PF,

MN4回F

：,~NC=2^6PF=yl2t

MN=A/^NC=A/2xV5a=#a,

AMC=MN+NC=（A/6+A/3）A,

，M点坐标为（4-a,（质+我a）,

又M点在抛物线上，代入可得-根（4-。）2+4在（4-Q）=（#+用）a,解得a=3-&或a=0

（舍去），0C=4-H=A/2+1,MC=2#+4,

，••点M的坐标为（也—2册+我.

y=--x

7.（2018济南中考）如图1,抛物线16平移后过点4（8,,0）和原点，顶点为8,对

称轴与魂相交于点G与原抛物线相交于点O.

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积§阴物

（2）如图2,直线AB与谕相交于点P,点M为线段0A上一动点，0MN为直角，边MN

与AP相交于点N,设=。试探求：

①「为何值时AMAN为等腰三角形；

②/为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.

17

y=---ox2+bxrt=-

【答案】（1）平移后抛物线的解析式16,而影=12；⑵①2,②当/=3时,

15

PN取最小值为2.

【解析】

【分析】

(1)设平移后抛彼玄的解析式尸-器2他X,将点A(8,0)代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线

的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；

(2)作NQ垂直于x轴于点Q,

①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△»冲为等股三角形时t的值；

②由MN所在直线方程为产：”一?，与直线AB的解析式片-x坨联立，得XN的最小值为6,此时t=3,FW

取最小值为

【详解】

3,

y=-----X2+bx

(1)设平移后抛物线的解析式16,

y=--x2+-x-2%-4)2+3

将点A(8,,0)代入，得162=16,

所以顶点B(4,3),

所以S阴影=0C・CB=12；

(2)设直线AB解析式为丫=1^+!1,将A(8,0)、B(4,3)分别代入得

3

cm=——

j8m+ri=04

(4m+n=3,解得：(n=6,

3

y=——x+6

所以直线AB的解析式为4，作NQ垂直于x轴于点Q,

8+t24-3t

①当MN=AN时，N点的横坐标为2,纵坐标为8,

24-3C8-t

NQMQ8~179

----=—-----------------t——,8

由三角形NQU和三角形M0P相似可知。MOP,得t6,解得2(舍去).

NQ=%-t)AQ=-(8-1)

当AM=AN时，AN=8-t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知5,5

8-t

MQ=5,

38-t

NQ_MQ5(8_t)_^"

由三角形NQM和三角形MOP相似可知。M一而得：一t

解得：

t=12(舍去)；

当MN=MA时，4MM4=4"47<45。故乙4刈7是钝角，显然不成立，

9

I=-

故2;

②由MN所在直线方程为yX-%,与直线AB的解析式y=-x+6联立,

72+2t2

得点N的横坐标为XN=9+,即t?-XNI+36-XN=O,

9

由判别式△=X?N-4(36-24)NO,得XNN6或x旺-14,

又因为0VXN<8,

所以XN的最小值为6,此时t=3,

15

当t=3时，N的坐标为(6,),此时PN取最小值为2.

11

y=-x+2y=-x2+mx-2

8.(2018绥化中考)已知直线2分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△48。面积的最大值；

(3)如图2,经过点M(-4,1)的直线交抛物线于点p、Q,连接CP、CQ分别交y轴于点E、

F,求。EOF的值.

b4ac-b2

(——,------)

备注：抛物线顶点坐标公式2a4a

/<\y=~x2+_2(3)OE-OF=-

【答案】(1)抛物线的解析式为22；(2)9；2.

【解析】

【分析】

(1冼求得点A的坐标，然后将点A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可;

(2对点D作DH〃势由，交A与点H,^D(n,1n2+|n-2),H(n,1n+2),然后用含n的式子表示DH的长,

接下来，利用配方法求得DH的最大值，从而可求得aABD面积最大值；

(3洗求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为y=ax-a,CP的解析式为y=bx-b,接下来求得点Q

和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为y=x+d,把玳入得：y=kx+4k+l,将PQ的解

析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得

ab=-：,最后，由ab的值可得到0E2F的值.

【详解】

1

，八-y=-x+20=-X+2

(1)把y=o代入2得:2,解得：％=-4,

3

y=-x2+mx-2m=-

把点A的坐标代入2得:2,

y=-x2+-x-2

•••抛物线的解析式为22

(2)过点D作轴，交A与点H,

•**DH—(―n+2)—('ti2+—n—2)=—^(n+l)2+—

9

•••当”=-1时，DH最大，最大值为2,

19

.2-x-x4=9

此时△ABD面积最大，最大值为22；

(3把y=3弋入丫=扣2+枭-2,得：x2+3x-4=0,解得：x=l或x=-4,

AC(1,O),

设直线CQ的解析式为y=ax-a,CP的解析式为y=bx-b,

y=ax—a

l22-解得：x=l或x=2a-4,

(y=x+x2

:.Xq=2a-4,

同理：Xp=2b—4,

设直线PQ的解析式为y=X+d,把M(T,1玳入得：y=kx+4k+l,

fy=Jex+4k+1

-2，

.*.x2+(3-2k)x-8k-6=0,

Xq+xp=2a-4+2b-4=2k-3,xQ-xp=(2a-4)(2b-4)=-8k-6,

解得：ab=-；,

又丫OE=-b,OF=a,

:.OE,OF=-ab=

9.(2018莱芜中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三

点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE_LBC于E.

(2)如图1,求线段DE长度的最大值；

(3)如图2,设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得ACDE中有一个角与

NCFO相等？若存在,求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

3912

【答案】⑴y=・4x2+%x+3；(2)当a=2时，DE取最大值，最大值是5；(3)存在点D,使

7107

得ACDE中有一个角与NCFO相等，点D的横坐标为§或33.

【解析】

t分析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据平行于、•轴直线上两点间的距离是校大缄坐标减较小的纵坐标，可得DM,根据相似三角形的

判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；

<3)根据正切函数，可得NCFO,根据相似三角形的性质，可得GH,BH,根据待定系数法，可得CG的

解析式，根据解方程组，可得答案.

【详解】

a-b+c=0

16a+4b+c=0

(1)由题意，得Ic=3,

a=—3

4

9

b——

4

解得Ic=3,

39

抛物线的函数表达式为y=-4x2+4x+3；

(2)设直线BC的解析是为y=kx+b,

(4k+b=Q

tb=3,

k=--

4

解得【b=3

3

,\y=-4x+3,

39

2

设D(a,-4a+4a+3),(0<a<4),过点D作DMJ_x轴交BC于M点，如图1

3

M(a,-4a+3),

3933

22

DM=(-4a+4a+3)-(4+3)=-4a+3a,

VZDME=ZOCB,ZDEM=ZBOC,

/.ADEM^ABOC,

DE_0B

••，

VOB=4,OC=3,

ABC=5,

4

ADE=5DM

312312

225

ADE=-5a+5a=-5（a-2）+,

12

当a=2时，DE取最大值，最大值是5,

（3）假设存在这样的点D,ACDE使得中有一个角与/CFO相等，

•・•点F为AR的中点，

30C

.*.0F=2,tanZCFO=OF=2,

过点B作BG_LBC,交CD的延长线于G点，过点G作GH_Lx轴，垂足为H,如图2

①若NDCE=NCFO,

GB

AtanZDCE=^=2,

/.BG=10,

VAGBH^BCO,

GH_HB_GB

工丽=瓦一氤

・・・GH=8,BH=6,

AG(10,8),

设直线CG的解析式为y=kx+b,

fb=3

/.110/c4-b=8,

解得g=3,

1

，直线CG的解析式为y=&+3,

1

329

y=—x+-x+3

・•.I44,

7

解得x=§,或x=0（舍）.

②若NCDE=NCFO,

53

同理可得BG=2,GH=2,BH=2,

11

：.G（2,2）,

2

同理可得，直线CG的解析是为产-五x+3,

2

y=-----X+3

11

329

y=—x+-x+3

・•.I44,

107

解得或x=0（舍），

7107

综上所述，存在点D,使得4CDE中有一个角与NCFO相等，点D的横坐标为§或33.

10.（2018抚顺中考）如图，抛物线y=-x?+bx+c和直线y=x+l交于A,B两点，点A在x轴

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，以每秒十个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C

出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P,。同时出发，当其中一点

到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,

使点N在直线x=3上.

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.

616210±277

【答案】⑴抛物线解析式为y=-X2+3X+4；(2)①当t1时，面积最小是行;②仁§、一厂

或2.

【解析】

t分析】

(1)利用待定系数法进行求解即可；

<2)①分别用t表示PE、PQ、EQ,用△P®s^QNC表示NC及QN,歹比矩形PQNM面积与t的函数关

系式问题可解J

②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，

分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值.

【详解】

(1)由已知，B点横坐标为3,

,:A、B在产x-1上，

/.A(-1,0),B(3,4),

把A(-1,0),B(3,4)代入y=-x?+bx+c得，

r-l-b+c=0解得.fb=3

l-9+3b+c=4,酢何•lc=4，

・•・抛物线解析式为y=-x2-3x7；

•・•直线y=x+l与x轴夹角为45。，P点速度为每秒收个单位长度,

秒时点E坐标为(-1+30),Q点坐标为(3-21,0),

AEQ=4-3t,PE=t,

VZPQE+ZNQC=90o,

ZPQE+ZEPQ=90°.,

AZEPQ=ZNQC,

•••△PQEs^QNC,

PQ_PE_1

==

：.NQQC2t

，矩形PQNM的面积S=PQ・NQ=2PQ2,

VPQ2=PE2+EQ2,

AS=2(J"+(4-3t)2)2=20*-48i+32,

当1=2Q-§时，

6616

SJR小=20x(5)2,48x5+32=5；

②由①点Q坐标为(3-2t,0),P(-1+t,t),C(3,0),

AAPQE^AQNC,可得NC=2QE=8-6l,

・・・N点坐标为(3,8-6t),

由矩形对边平行且相等，P(-l+t,t),Q(3-2t,0),

・••点M坐标为(3t-L8-5t)

当M在抛物线上时，则有

8-5t=-(3t-1)2+3(3t-1)+4,

10±2^/7

解得t=―9一,

当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2,

当N在抛物线上时，8-6t=4,

2

210±2々

综上所述当t=3.一9一一或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上.

11.(2018贺州中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线产ax2+bx+c交x轴于A、B两点

(A在B的左侧)，且OA=3,OB=1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(-

1,4).

(1)求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点D作直线DE〃y轴，交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点

（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时，EF+EG

是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）A点坐标（-3,0）,B点坐标（1,0）；（2）抛物线的解析式为y=-x?-2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.

【解析】【分析】（1）根据OA,OB的长，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得函数解析式$

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG,EF的长，根据整式的加减，可得答案.

【详解】（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3,OB=1,

得

A点坐标（-3,0）,B点坐标（1,0）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）»

把C点坐标代入函数解析式，得

a（0+3）（0-1）=3,

解得a=-1,

抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-I）=-x2-2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

过点P作PQ〃y轴交x轴于Q,如图，

设P(t,-d-21+3),

贝ijPQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t,

•・・PQ〃EF,

/.△AEF^AAQP,

EF_AE

.,瓦=亚，

PQAE2(-t2-2t+3)2

-12-2t+3)=2(1-t)

AEF=仅=3+t3+t

又・.・PQ〃EG,

.,.△BEG<^ABQP,

EG_BE

:而二的,

PQBE2(-12-2t+3)

AEG=BQ=1-t=2(t+3),

・・・EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.

12.(2018龙东地区中考)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线

x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P在x轴上，直线CP将AABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标.

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x?+4x+2；（2）P的坐标为（-6,0）或（・13,0）.

【解析】【分析】〈1〉由对称轴直线x-2,以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解折式j

（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与

C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP,与AB交于点Q,过Q作QHly轴，与y轴

交于点H,BC与y轴交于点M,由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直^戋AB解析式求

出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标.

bb

【详解】（1）由题意得：x=-2a=-2=-2,c=2,

解得：b=4,c=2,

则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；

（2）...抛物线对称轴为直线x=-2,BC=6,

・・・B横坐标为-5,C横坐标为1,

把x=l代入抛物线解析式得：产7,

/.B（-5,7）,C（1,7）,

设直线AB解析式为产kx+2,

把B坐标代入得：k=-1,即产-x-2,

作出直线CP,与AB交于点Q,过Q作QH_Ly轴，与y轴交于点H,BC与y轴交于点M,

可得AAQHsZXABM,

QH_AQ

•・•点P在x轴上，直线CP将AABC面积分成2：3两部分，

AAQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2,即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5,

VBM=5,

，QH=2或QH=3,

当QH=2时，把x=-2代入直线AB解析式得：y=4,

此时Q（-2,4）,直线CQ解析式为y=x+6,令