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第二单元核心素养探究(三)2023届1《高考特训营》·数学直观想象——解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．[解题指导]先将函数零点转化为方程→解方程→作出函数f(x)的图象结合方程的根→求出结果．答案：5

[解题指导]采用换元法令f(x)＝t→经函数转化为方程根的问题→结合图象解出答案．答案：A

由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．[素养指导]1．上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断．求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．类型2求嵌套函数零点中的参数典例3

(2022·山东模拟)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[解题指导]采用换元法令t＝f(x)→然后再构造函数→结合两函数的图象交点来解决问题．答案：[－1，＋∞)解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作出y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上所述，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．[素养指导]1．求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)

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