教学课件-《自动控制原理》徐颖秦

自动控制原理AutomaticControlTheory自动控制原理AutomaticControlTheory2.学时安排总学时：共64学时，每周4学时。其中实验8学时，理论56学时上课时间：1-16周，周三、五上午1-2节答疑：每周三下午3:30，物联网工程院C315室考试：第17周

3．自动控制原理课程性质与地位自动控制原理（自动控制理论自动调节原理反馈控制理论，简称自控原理）是研究自动控制系统的共同规律的技术科学。它是一门技术基础理论课，主要研究自动控制系统的组成、分析和设计的理论。大一公共基础课：高等数学工程数学物理英语大二技术基础课：电路电子计算机等

大三专业基础课：自控电机微机电力电子技术大四专业课、设计：检测、供电运控

计控毕设等自动控制原理是机电信息类专业主干课程，也是信控学院的平台课程，同时也是一些硕士点考研必修课。4．成绩评定1.出勤：5％，抽查点名缺一次扣5分，允许请假，但必须有有效的请假条。2.作业：15％，缺一次扣5分，允许补齐，但补齐一次最多2分。3.实验：10%，由实验指导老师根据实验表现和实验报告打分。3.考试：70％，但是卷面成绩不得低于56分，否则按不及格处理。※作业缺１/2或出勤缺1/3，不允许参加考试。

5.本课程内容及其关系课程研究的两大范畴：

控制系统性能指标

（结构和参数）系统分析系统综合（设计+校正）三大内容：原理与模型、性能与计算、设计与校正6.各章节之间的关系概述（1）数学模型（2）系统分析分析方法时域法（3）根轨迹法（4）频域法（5）应用系统校正与设计（6）应用非线性和离散控制系统（7、8）426166+4+1010+6+8888+108理论56学时，实验8，共64学时。第1章概论重点内容自动控制的基本概念和原理自动控制系统的组成和分类对自动控制系统的基本要求§1.1自动控制系统的一般概念一、自动控制的基本概念

所谓自动控制，是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使被控量等于给定值或按输人信号的变化规律去变化的过程。用来操纵受控对象的设备（校正器+放大器+执行器）一般为各种传感器

?无人直接参与：指人在远方进行远程操作（遥操作），而不是在对象跟前就地操作。(无人参与)控制装置：是控制器和检测（反馈）元件的总称。控制对象：控制系统要进行控制的受控体（被控对象）。如冰箱、空调、洗衣机、电梯、飞机、汽车、潜艇、电厂锅炉、酿酒过程等各种设备、机器或生产过程。

被控量：控制对象要实现的量，是表征对象特征的关键参数。

如冰箱温度、电机的转速、飞机姿态角、船的航行轨迹、电网的电压、生产过程中的压力、流量、温度、湿度等。

自动控制系统如图1-1，几个重要的信号量如下：二、五个重要的信号量

控制器受控对象检测元件e(t)r(t)c(t)b(t)d(t)图1-1

自动控制示意图

目前常用的标准电信号主要有两种：1~5V电压信号或4~20mA电流信号（用弱信号控制强信号）5.偏差量（误差量）e(t)：e(t)=r(t)-b(t)1.被控量（输出量）：表征受控对象特征的关键参数。

实际输出量——c(t)；理想输出量——c0(t)。2.给定量（控制量、输入量）r(t)：要求被控量达到理想值时，所需对应的参考输入值。即：r(t)c0(t)。3.扰动量（干扰量）d(t)：影响被控两量变化的主要干扰因素。4.反馈量b(t)：检测元件的输出值。与c(t)对应且与r(t)同性质。即：b(t)c(t)。自动控制系统定义：由控制装置+受控对象构成的能完成自动控制任务的整体。

自动控制理论：分析与综合控制系统的理论。

负载n自动控制系统工作原理说明图1.1直流电机转速控制系统（人工控制）

人的作用观察转速n（通过转速表）——检测大脑反映——比较，将n与期望的n0比较手动调节——执行，减小或消除偏差控制任务：无论负载或电网电压如何变化，通过手动电压U0，保证电机转速不变。（预期要求，理想状态）受控对象——电机；被控量——电机输出转速（或角度、转矩）用方框图表示如下：问题：

1、上述过程是控制吗？

2、上述过程是自动控制吗？

3、上述过程是系统吗？

4、上述结构是自动控制系统吗？

15RP2—给定电位器RP1—反馈调节电位器TG—测速发电机检测——测速机TG比较——差运放大器A执行——伺服电机+调速器A调速器伺服电动机图1.4电机转速自动控制系统。用设备代替了人原理框图如下：ΔU=U0-Un执行环节比较环节放大器触发整流装置TG+RP1ΔU给定电压U0实际转速nUn负载扰动d(t)图1.5转速自动控制原理框图电动机装置电动机RP2检测环节对象§1.2自动控制系统的控制方式及基本组成控制方式开环控制闭环控制复合控制两种基本控制方式开环控制（Open-loopControl）

（1）定义：控制装置（控制器+执行器）与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时的控制方式，称为开环控制。（2）结构：控制器受控对象r(t)c(t)d(t)图1.6开环控制系统图执行机构（3）特点：系统的输出量对输入量没有任何影响；对干扰和参数变化没有补偿作用，控制精度完全取决于元件精度。没有稳定性的问题，而且结构简单，调整方便。对控制精度要求不高或干扰较小的场合还有一定的应用价值。如：打印机、复印机、简单生产线、自动洗衣机、自动售货机、自动打包机、步进电机，水泵，风扇等的控制。2.闭环控制（Closed-loopControl）

（1）定义：控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用，而且还有反向联系，即被控量对控制过程有影响时的控制方式称为闭环控制。（2）组成：三大部分，七个环节。如下图1.7。图1.7闭环自动控制系统组成框图校正器执行机构检测环节e(t)给定环节c(t)b(t)d(t)放大器受控对象r(t)控制器给定电源部分控制装置部分受控对象部分比较环节1234567说明：用“”号代表比较装置。“—”号代表信号极性为负，其余信号为正。信号沿箭头方向从输入端到达输出端的传输通路称前向通路；系统输出量经检测装置反馈到输入端的传输通路称反馈通路；前向通路与主反馈通路共同构成主回路。此外，还有其它前向通道和局部反馈通路以及由它构成的内回路。§1.3自动控制系统的类型

常用的有五种分类方法：按照控制方式（信号流向）分类：不同的控制方式，系统中信号流向也不同，据此可将系统分为：开环控制系统、闭环控制系统和复合控制系统三种。

两点说明：从控制作用的产生原理看，闭环控制也叫偏差控制；从系统的组成结构来看，闭环控制也叫反馈控制。由于引入了被控量的反馈信息，整个控制过程成为闭合的，因此反馈控制也称为闭环控制。2.按照数学模型分为类：（1）线性系统与非线性系统线性系统：由线性元件组成，满足齐次性和叠加性，其数学模型为线性常系数微分方程。而非线性系统不满足这两个特性，其数学模型为非线性微分方程或差分方程。

齐次性(均匀性)和叠加性：如图，设f(t)为一线性系统，则有：若：r1(t)→c1(t)，r2(t)→c2(t)

则：r1(t)+r2(t)→c1(t)+c2(t)

——叠加性

ar1(t)→ac1(t)——齐次性f(t)r(t)c(t)

区分标志：线性元件：（1）静态特性为一过原点的直线（2）满足叠加性和齐次性（3）数学模型为标准的微分方程（P19公式2-8）（4）分析方法：时域法、根轨迹法、频域法非线性元件（1）静态特性为不连续过程（继电特性、死区特性、饱和特性、回环特性等）（2）不满足叠加性和齐次性（3）数学模型为非线性的微分方程（系数与自变量有关，或方程中同时含有常数、自变量及其导数的高次幂或自变量的乘积项）（4）分析方法：描述函数法、相平面法（2）定常系统和时变系统数学模型的系数是常数数学模型的系数至少有一处是时间的函数3.按系统内部的信号特征分为：连续系统和离散系统系统中的所有信号在时间上是连续的系统中至少有一处的信号在时间上是不连续的4.按系统输入、输出信号的数量分为：单入单出（SI/SO）系统和多入多出（MI/MO）系统系统的输入、输出量各为多个。系统的输入、输出量均为1个。5.按系统输入信号特征分为：

恒值系统、随动系统和程控系统r(t)为常数，要求c(t)也为常数。r(t)为随机函数（未知），要求c(t)也随之变化。r(t)为时间的已知函数，要求c(t)也随之变化。§1.4基本要求和本课程的主要任务自动控制系统三大性能对应三个基本要求:

稳定性——稳，系统最终要能够正常工作，是系统的工作基础快速性——快，要求系统动态过渡过程时间尽可能短。

准确性——准，要求系统控制精度高、误差小。三大基本性能动态性能稳态性能稳定性（平稳性）快速性——准确性（精度，稳态误差）本课程的主要任务——线性定常系统（1）数学模型时域——微分方程复域——传递函数频域——频率特性

z域——脉冲传函（2）系统分析三大性能的分析及指标计算（3）系统综合频率法进行系统校正

对于一般的控制系统，在某个输入信号的作用下，其输出响应由两部分组成，可表示为：c(t)=c0+ct稳态分量：由系统初始条件和输入信号决定。暂态分量：由系统结构决定。对于稳定的系统，应有：对于不稳定的系统，应有：

(发散)；或常数（等幅振荡）动态性能：描述系统过渡过程表现出来的性能，用平稳性和快速性衡量。如：上升时间、峰值时间、调整时间、超调量

稳态性能：系统过渡过程结束进入稳态后表现出来的性能，用稳态误差（静差）ess来衡量。过度过程的振荡的程度过渡过程的快慢输出的实际值偏离期望值的偏差。反映系统的控制精度。若ess=0→无差系统若ess≠0→有差系统§1.6自动控制理论的发展简述第一代：古典（经典）控制理论、自动控制原理（理论）

（1787——1960）

特点：以传递函数为基础研究单输入－单输出定常控制系统的分析与设计问题。这些理论由于其发展较早，现已臻成熟。

第二代：现代（近代）控制理论（1960——1980）

特点：以状态空间法为基础，研究多输入－多输出控制系统的分析与设计问题。包括以最小二乘法为基础的系统辨识、以极大值原理和动态规划为基础的最优控制、以卡尔曼滤波为核心的最优估计三个部分。使系统分析从外部现象深入到内部规律，从局部控制发展到全局的最优控制。第三代：大系统理论和智能控制理论（1970——1980）

特点：以人工智能为基础，研究复杂对象（车间、工厂、集团）、复杂任务、复杂环境下的复杂控制系统。是控制论、仿生学、运筹学等的有机结合。如：DCS及各种智能机器人的出现和应用。第四代：现场总线（Fieldbus）控制（1980——）

特点：是信息和网络技术的融合。典型的有：Linworks、Profibus

、WorldFIP等。突出优点：全数字化通信、开放型的网络互联、互可操作性与互用性、现场设备的智能化、系统结构的高度分散性、对现场环境的适应性。代表人物：国外的有：美国数学家N.维纳、英国机械师J.瓦特、美国贝尔实验室的两位数学家英国的劳斯和德国的胡尔维茨、美国电信工程师N.奈奎斯特、伯德、数学家伊文斯、梅森等。国内的有：钱学森、宋健、顾毓秀等。33学习要求1.掌握控制系统的工作原理、组成及其分类

2.理解对控制系统的基本要求

3.了解控制工程的发展概况内容控制系统的工作原理、组成及其分类和对控制系统的基本要求重

点控制系统的工作原理、组成难

点实际系统的工作原理分析，系统原理框图的绘制

数字仿真实验采用目前世界上最为流行的计算机仿真软件MATLAB。它是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境，已经成为一种实用的全新计算机高级编程语言。在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把MATLAB作为内容。MATLAB更是研究和解决工程计算问题的一种标准软件，被用来解决一些实际课题和数学模型问题。MATLAB仿真软件作业：P12-13习题1-1、1-2、1-5。本章结束！第二章控制系统的数学模型2.1线性微分方程的建立及求解2.2传递函数

定义、性质、典型元件及典型环节传函2.3控制系统的结构图及信号流图组成、绘制、梅逊公式2.4控制系统的传递函数

开环、闭环传函引言

要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部或外部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程Z域（z）模型脉冲传函频域（ω）模型频率特性复域（s）模型传递函数§2.1.1

建模方法：分析法、实验法§2.1控制系统的微分方程

分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。

建模（微分方程）步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19公式（2-8）所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。[例2.1]如图2.1所示，写出RC滤波电路的微分方程。解：明确输入量，输出量第一步：环节数学表达式第二步：消去中间变量i，即将代入i＋－urucRC图2.1RC滤波电路该电路为一阶系统第三步：标准化【例2.2】如图2.2所示，写出RLC振荡器电路的微分方程。解：＋－urucRC图2.2RLC振荡器电路Li解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：该电路为二阶系统补充典型机械模型41黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）

具体方法：频率特性法:最小二乘(曲线拟合)法、神经元网络法、模糊模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。

实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。

§2.1.1线性定常微分方程的求解

一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。数学工具——拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）⑵拉氏变换基本定理

线性定理

微分定理d/dts当初始条件为0时，即f(0)=0时，有进一步，对于n阶微分，有当各阶微分函数的初始条件为0时，即f(0)=0时，有45终值定理

积分定理当各阶积分函数的初值为0时有初值定理46

位移定理延迟定理工程上常用的典型函数及其拉氏变换原函数：f(t)

脉冲（t）单位阶跃1（t）速度加速度指数正（余）弦象函数F（s）

1常用拉氏变换表将F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反变换定义表达式：f（t）=L-1[F(s)]方法：复杂函数→简单函数→查表；分式函数→部分分式展开→简单函数→查表。◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为待定系数◆F(s)含有多重极点时，可展开为[例2.3]

设线性微分方程为式中，u(t)为单位阶跃函数，初始条件为零，试求该微分方程的解y(t)。解：对微分方程中的各项进行拉氏变换得则：式中对Y（S）进行拉氏反变换得：拉氏反变换补充§2.2非线性数学模型的线性化

——微小偏差法（略）2.3.1传递函数的定义和主要性质

定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)§2.3传递函数※式中：c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量；各系数均是常数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：例：汽车悬挂系统的传递函数当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。车体车架质心汽车悬挂系统（垂直方向）m2m1K2CK1xi(t)xo(t)x(t)简化的悬挂系统（垂直方向）K1X(s)Xo(s)Xi(s)由上两式绘制系统框图，可得由方程组，消去中间变量x(S)，整理得

基本性质：性质1:传递函数的概念只适于线性定常系统。性质2:传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映系统内部的任何信息

。性质3:传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。性质4:传递函数是复变量的有理真分式，即n≥m，具有复变函数的所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。性质5:系统的相似性.G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

若r(t)=δ(t)，则：R（s）=1C(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)]=g(t)

性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

性质8传递函数G(s)的零点zi

和极点pl为传递函数的零、极点（根轨迹）表达式K*---零、极点增益（根轨迹增益）2.2.2

典型环节的传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节则是由各种不同的元件组成。

常用的电路元件如下：-Z2/Z1运放A1/Cs电容CLs电感LR电阻R传递函数微分方程常用元件为元件对应的复阻抗

于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是该电路网络的复阻抗。如例2.1RC滤波器电路，由微分方程求得传函为：其中：T=RC为电路时间常数由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：如例2.2：RLC振荡器电路，由微分方程求得传函为：比例环节滞后环节一阶微分环节（m个）积分环节（ν个）惯性环节（q个）振荡环节（n-v-q）个考虑上述六种典型环节特征的系统传递函数的一般表达式如下：1.比例环节(P调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：线性电位器、运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。式中:K-比例系数（增益）2.惯性环节式中:T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，即有延迟。实例：RC滤波电路网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3.积分环节（I调节器）特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能，一般用于改善系统的稳态性能，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。4微分环节理想微分（D调节器）：一阶微分（比例微分或PD调节器）：特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系统的动态性能。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5.振荡环节式中ζ——阻尼比；T——时间常数

ωn——无阻尼自然振荡角频率（rad/s）6.延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中：——延迟时间常数说明：实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。实例1.P调节器如：电位器、运算放大器、各种线性传感器、变速器、测速发电机、杠杆、齿轮等。2.PI调节器电路-Ui(s)Uo(s)R11/Cs(b)PI调节器R2§2.3控制系统结构图及系统传函2.3.1控制系统结构图的组成G(s)R(s)C(s)（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间的函数关系。(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置图2.7引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图2.6比较点示意图示意图X1X1X2+X2-X3X3-注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2控制系统的传递函数(1)

前向通道传函--假设D(s)=0

前向通道：E(s)→C(s)

G1(s)G2(s)H(s)C(s)图2.8

典型的控制系统结构图控制对象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系统结构图(2)

反馈通道传函--

假设D(s)=0

反馈通道：C(s)→B(s)传函：反馈信号与输出信号之比，即：Ｈ(ｓ)＝１时称为单位反馈。（3）开环传函--

假设D(s)=0

开环通道：E(s)→B(s)传函：反馈信号与误差信号之比。

即：（4）闭环传函——两种输入信号对输出响应的传函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道传函１+开环传函

给定闭环传函：假定D(s)=0，R(s)

Cr(s)

典型控制系统结构图可等效为G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)

扰动闭环传函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)2.3.3

控制系统结构图的绘制一般步骤确定系统的输入、输出变量由输入到输出绘制各组成环节（元件）的微分方程根据信号流向由输入到输出连接各环节（元件）的传函方框图列写各环节（元件）的拉氏变换方程并绘制对应的传函方框图方程中的“加、减”运算对应“比较环节”；乘法运算对应传函方框[例1]

绘制双RC滤波器电路的结构图。＋－Ui(s)Uo(s)R11/C2s图2.11RC滤波电路R21/C1sAI1I2解：网络复阻抗方程如下：据此绘制双RC滤波器电路的结构图如下：Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)图2.12双RC滤波器电路结构图I2(s)Uo(s)本节结束！作业：P35习题2-3§2.4结构图的等效变换及简化计算等效变换：在变换前后被变换部分输入量与输出量之间的数学关系保持不变。即变换前后被变换回路传函乘积保持不变。

变换的思路：1.利用移动比较点和引出点解除交叉的回路，使系统结构变成大环套小环或环路并列的形式。2.将相同的点移到一起，通过换位可以解除交叉。注：比较点和引出点之间不能换位。3.

通过在被变换的支路上乘或除某个传函来保持等效。4.根据环节方框的连接方式（串联、并联和反馈）进行简化计算。结构图三种连接形式及其计算G1G2G1G1G21±反馈+G1G2G1G2串联G2G1G1G2+并联用方块图的等效法则，求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)

。解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统。求解方法有两种：移动比较点或引出点解开交叉，然后逐步计算。【例2.2】【例2.3】将双RC串联滤波电路的结构图简化。§2.5信号流图及梅森公式定义：信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网路。是结构图的简化表达形式。

组成：节点+支路+增益（1）节点：代表系统中的变量。分三类：

源点：输入节点，只有输出。

汇点（阱点）：输出节点，只有输入。

混合节点：有输入也有输出。（2）支路：连接两个节点的定向线段。表示输出信号对输入信号的函数关系，相当于一个乘法器。（3）增益：表示相邻两个节点变量之间的关系。信号流图与结构图的对应关系源点阱点混合节点支路增益输入变量R(s)输出变量C(s)中间变量、比较点、引出点传函方框带极性的传函信号流图结构图术语：P28：（1）~（4）性质：P28：（1）~（4）值得注意：（1）不接触回路——回路之间没有任何公共部分，即去掉一个回路，另一个将不闭合。（2）混合节点——可通过引出单位传输（增益为1）的支路变成输出节点。（3）对于给定的系统，信号流图不唯一。

绘制（由结构图绘制）

【P30例2.7】123456123456

梅森公式其中：G(s)—系统总传输增益（闭环传函）特征多项式△=1-∑L1+∑L2-∑L3+……L1—各单独回路增益L2—所有两两互不接触回路增益乘积L3—所有三个互不接触回路增益乘积回路传函乘积没有共同的部分（传函和信号线）求法:去掉第k条前向通路后所求的△Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通道增益△k—第k条前向通道的余子式在△中，去掉与第k条前向通道相接触的回路对应的项后剩余的部分。用梅森公式求上例信号流图对应的传函。梅森公式例1R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H1G4(s)G3(s)L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2(1-G1H1)R(s)[]N(s)梅森公式例2：求C(s)(1-G1H1)[例题分析]（2）求脉冲响应c(t)解：（1）求传函C（s）/R（s）[例2.1]某系统在单位阶跃信号作用下，零初始条件时的输出响应为，试求系统传递函数和脉冲响应。【例2.2】已知系统微分方程组的拉氏变换式如下，试绘结构图并求C(s)/R(s)。解：（1）绘结构图G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3（2）求传函。用梅逊公式：G1G7G8R–CX1–G6X3G2X2G4–G5G3X3[例2.3]求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解：有2个前向通路有5个单独回路作业：P35-37习题

2-5、2-7、2-8b）、2-9a）、2-10b)本章结束！拉氏变换基础（第二章补充）常用拉氏变换表求解拉氏反变换的部分分式法

部分分式法如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。实际常如下计算：例1：求的原函数。解：即：例2：求所示象函数的原函数f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反变换为：F(s)含有共轭复数极点设共轭复数根p1＝α+jω、p2＝α－jω例3：求所示象函数的原函数解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2F(s)含有重极点设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。……注意到：所以：例4：求所示象函数的原函数解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展开为：从而：例5：求的原函数。解：于是：二、应用拉氏变换解线性微分方程

求解步骤

将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；

解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；

应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程三、相似原理相似系统：能用相同形式的数学模型表示的系统，称为相似系统。相似量：在相似系统的数学模型中，占据相同位置的物理量。输入为f(t)，输出为x(t)输入为u(t)，输出为电容器的电量q相似量：系统模型基础（第二章补充）一、控制系统微分方程的列写1、机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量m、弹簧k和阻尼B三个要素：

质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)

弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

弹簧－阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。

机械旋转系统K

i(t)

o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；C—粘性阻尼系数柔性轴2、电气系统

电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)

电容Ci(t)u(t)

电感Li(t)u(t)R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为：

有源电网络+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：例1：列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出输入为f(t),输出为x(t)2)列写微分方程，受力分析3)整理可得：注意：

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；3、线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：或：

第1章基本概念

自动控制原理、自动控制系统、控制系统的组成、两种基本控制方式及特点、控制系统的分类、控制系统的基本要求等。

第2章数学模型微分方程的建立、传递函数的概念、控制系统结构图及信号流图的绘制、化简，利用等效变换规则和Mason公式求传递函数。《自动控制原理》考试要求第3章时域法

1.动态响应：上升时间、峰值时间、调节时间、超调量的含义及计算。

2.稳态误差：输入（阶跃、速度、加速度）稳态误差，扰动稳态误差、总误差的计算。

3.稳定性：稳定充要条件，利用劳斯判据判定系统稳定性。第4章根轨迹法

1.利用基本规则绘制系统根轨迹图。

2.正确理解根轨迹与时域响应的关系（过阻尼、欠阻尼、临界稳定）。

3.会计算对应的参数K值。4.会计算给定特征参数是系统的主导极点和对应的闭环传函。第5章频域法1.绘制奈奎斯特（Nyquist）曲线（含辅助线），利用奈奎斯特稳定判据判定闭环系统稳定性。2.绘制对数幅频曲线，根据对数幅频特性曲线球系统开环传函。3.相对稳定性：计算相位裕量和幅值裕量。第6章设计与校正

1.系统校正的含义及要用到的参数及计算。2.三种串联校正装置（超前、滞后、滞后-超前）的特点及应用。3.用分析法和工程法进行校正装置的设计。第7章非线性系统1.非线性系统的基本特点和四种典型非线性环节的基本特性。2.相平面的基本概念、奇点、奇线、极限环的求法及意义。3.描述函数发的基本概念及求法，典型非线性特性的描述函数及负倒特性曲线的特征。4.自振荡点的求法及非线性系统稳定性的判断；自振荡振幅和频率的计算。

第8章离散控制系统1.离散系统的组成、系统的采样与复现的基本概念。2.Z变换与反变换地方法。3.脉冲传函的意义，零阶保持器及各种离散系统的脉冲传函。4.离散系统稳定的条件及判断，离散系统稳态误差的计算。试题形式１.单选题：每题１分，共10-15分２.简答题：每题5分，共10-15分３.计算题：每题５-10分，共２０分４.绘图题：每题5分，共10-15分５.分析综合题：每题10-15分，共30-40分

总分：１００分第三章控制系统的时域分析法3.1

引言3.2一阶系统分析3.3二阶系统分析3.5

线性系统的稳定性分析3.6

稳态误差及其计算3.4高阶系统分析动态性能分析

时域响应：指系统在时间域内对外界输入的响应。亦即系统数学模型的时域解。

分析的条件：零初始状态。即在r（t）作用前系统处于静止状态，或稳定运行状态。

分析方法

:对于典型系统（一阶、二阶），施加典型输入信号（单位阶跃、斜坡、脉冲），根据系统传函求出C（s），再反变换求出其对应的时间响应c（t）的表达式，进行系统分析。R(s)C(s)L-1C(t)§3.1系统的时域响应及性能指标时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能指标示意图Δ=±５％或±２％动态过程稳态过程

一般情况下，分析一个控制系统主要从稳定性、稳态性能和动态性能三方面来考虑，这些性能的衡量标准及详细指标参数如下表所示。快速性平稳性

上升时间tr：

输出响应从零开始第一次上升到稳态值时所需的时间。即:c(tr)=c(∞)=1│第一次。峰值时间tp：输出响应从零开始上升到第一个极值(最大值)处时所需的时间。即:dc(tp)/dt=0│第一次。调节时间ts：输出响应达到并保持在一个允许误差带Δ内时所需的最短时间。动态性能指标的定义工程规定：Δ＝±５％或±２％

快速性指标

平稳性指标

超调量σ%：输出响应超出稳态值的最大偏移量占稳态值的百分比。即：

稳态误差ess：也称为静态误差，简称静差。衡量输出响应进入稳态后所表现出来的性能，即表示系统的控制精度。定义式：稳态性能指标的定义§3.2一阶系统时域分析1数学模型T—惯性时间常数R(s)C(s)特点：是一个典型的惯性环节。如RC电路，T=RC。开环传函为：R(s)C(s)

r(t)=1(t)→R(s)=1/s→C(s)=Φ(s)R(s)即：2.单位阶跃响应0T2T3T4TtC(t)10.630.860.950.98特点：是一个单调上升，无超调的过程。指标：由图知σ％=0，

tr、t

p均不存在。ts=3T，Δ=5%4T，Δ=2%3.其它信号的时域响应特点：见下表输入信号r(t)输出响应c(t)δ(t)

1(t)

t

当输入信号之间呈积分关系时，则相应的系统响应之间也呈现积分关系。因此线性定常系统所特有的重要特性是：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，其中积分常数由零输出初始条件确定。因此，在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式都进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究即可，一般取最简单的信号，如单位阶跃信号、单位正弦信号和单位脉冲信号。由此可得出如下结论：§3.3二阶系统单位阶跃响应分析1.数学模型其中ζ——阻尼比T——闭环时间常数ωn=1/T——无阻尼自然振荡频率(rad/s)R(s)C(s)特点：是一个典型的振荡环节。如RLC电路。R(s)C(s)开环传函有两种形式：其中：K——开环增益；T——开环时间常数用两种表达式可进行两组参数（ωn、ζ和K、T）之间的换算。2.闭环特征根的特点闭环传函的特征方程为：D(s)=s2+2ζωns+ωn2=0特征根为：欠阻尼（0＜ζ＜1）：s1.2为一对共轭复根

s1.2=-σ±jωd临界阻尼（ζ=1）s1.2=-ωn为一对负实重根。过阻尼（ζ＞1）s1.2为两个不同的负实根零阻尼（ζ=0）s1.2为一对共轭虚根，输出响应为等幅振荡。σ＝ζωn为衰减系数为振荡频率二阶系统特征根的分布零阻尼ζ＝０临界稳定线左半平面ζ＞０稳定区右半平面ζ＜０不稳定区s1×s2

××s2×s1=s2×s2ωds1×s2×－σθωn过阻尼ζ＞1临界阻尼ζ=1欠阻尼ζ＜1j0定义：阻尼角θ3.单位阶跃响应特性

过阻尼响应（ζ＞1

）特征根为两个不同的负实数，即：故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的单调上升，无超调的过程。因有两个衰减项，上升速度较慢。A1、A2为待定系数

临界阻尼响应（ζ=1

）特征根为相同的负实数，即：故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的单调上升，无超调的过程。但上升速度比过阻尼快。

欠阻尼响应（0＜ζ＜1）特征根：s1.2=-σ±jωd，为一对共轭复数。故：特点：从坐标原点出发，终止于稳态值1的振荡衰减过程，有超调。

零尼响应（ζ=0）特征根：s1.2=±jωn，为一对共轭纯虚数。故：特点：从坐标原点出发，以c(t)=1为中心的等幅振荡过程。此时，系统处于临界稳定状态。过阻尼响应指标的计算公式与一阶系统相似。如下：临界阻尼响应指标的计算公式如下：3.

指标计算依据：各响应表达式和各指标的含义。欠阻尼响应指标的计算公式：c(tr)=c(∞)=1│第一次dc(tp)/dt=0│第一次c(ts)=0.95或0.98于是得到：欠阻尼响应指标的计算公式如下：说明：（1）由于ζ≥１，系统的响应较慢，故二阶系统一般大都设计成欠阻尼响应的情况．（2）工程上常取：ζ=0.4~0.8。二阶系统性能指标及其关系阻尼比ζ1.00.80.7070.60.50.4超调量σ％01.5%4.3%9.5%16.3%25.4%上升时间tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T1.93T二阶最佳系统ζ

=0.707为最佳阻尼比其中：T为二阶系统开环时间常数。动态性能指标的计算方法：根据题意写出闭环传函Φ(s)并标准化与比较ζωn带公式可求得tr、tp、ts、σ%【P51例3.1】R(s)C(s)【例3.2】系统结构如图。试分别求在K=1000和K=150时系统单位阶跃相应的动态指标。解：（1）K=1000时（2）K=150时同理可算得：ωn=12.5s-1，ζ=1.41→过阻尼【作业】P77-97：3-2、3-3本节结束！§3-4高阶系统时域分析1.高阶系统的单位阶跃响应R(s)=1/s2.高阶系统特征根的分布s1×s2×j0x0×××××≥5x主导极点非主导极点结论：（1）忽略非主导极点的影响，系统的特性主要就由一对主导极点来决定。此时，系统的传函可近似表示为：（2）系统对应于某个参数的主导极点可通过第四章的根轨迹法求得。§3.5

控制系统的稳定性分析1.系统稳定的充要条件系统稳定性定义Pl必须为“负”

系统稳定的充要条件为：闭环传函的特征根均具有负实部（负实数或具有负实部的共轭复根）。或闭环极点均位于[s]左半面。由此得下图：j0稳定区不稳定区临界稳定线稳定性示意图2.劳斯稳定判据依据

控制系统稳定的条件实系数方程根与系数的关系___劳斯表设系统特征方程为：a0sn+a1sn-1+a2sn-2+…

+an-1s

+an=0snSn-1Sn-2Sn-3Sn-4

s1s0a0a2a4a6a8…a1a3a5a7

a9…b3.1b3.4

b4.3an167特点：（1）劳斯表形状为一“倒三角形”。（2）每两行元素个数相同，不够用“0”补齐。（3）行列式第一列为上两行第一列，第二列为上两行后一列。（4）次对角线–主对角线。（5）分母全为上一行第一列元素。劳斯判据：

若系统特征方程的各项系数均为正，且劳斯表中第一列元素全为正时，系统稳定。否则，系统不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程正实部根的个数。例：设系统特征方程为：s4+2s3+s2+s+3=0S4S3S2S1s01321030.53-11结论：系统不稳定，且有两个正实部根。两个推论：（1）三阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正，且“中间大、两头小”。（2）二阶系统稳定的条件是，特征方程各项系数均为正。两种特殊情况的处理

劳斯表中某行第一列元素为零，其余不全为零。处理方法：用一个很小的正数“ε”代替零元素，继续列劳斯表。结论：系统肯定不稳定。处理后，若表中第一列元素全为正，则系统处于临界稳定，有纯虚根；若表中第一列有负元素，则系统不稳定，有正实部根。【例】P58例3-3。

劳斯表中某行元素全为零。处理方法：用该行的上一行元素为系数，对应构成辅助多项式F(s)，用F(s)′的系数代替全零行的元素，继续列劳斯表。结论：同第一种情况。【例】P59例3-5。劳斯判据的应用：

判断系统稳定性。确定系统稳定时某些参数（K、T、τ、Kh等）的取值范围。

P78习题3-9。初步判断系统的稳定程度。见P60：例3-6。解题思路：根据题意写出

φ(s)→写出特征方程→列劳斯表→根据表中第一列元素判断稳定性或另第一列中含未知参数的元素都大于零，然后解不等式求出参数的范围。§3.6

控制系统的稳态误差分析1.

稳态误差的定义：给定误差：扰动误差：系统总误差：2.两种误差传函——两种输入信号对误差信号的传函

给定误差传函Φer(s)：假定D(s)=0,R(s)

Er(s)

典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)G(s)H(s)R(s)B(s)Er(s)

扰动误差传函Φed(s)：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Ｅd(s)

典型控制系统结构图可简化为G２(s)－H(s)Ｅd(s)Ｄ(s)G１(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)“-”说明扰动信号的作用与控制信号的作用相反。系统开环传函的一般表达式为：定义１：静态位置误差系数定义2：静态速度误差系数定义3：静态加速度误差系数￣----为系统型别

----为0型系统

----为Ⅰ型系统

----为Ⅱ型系统

给定误差essr条件：D(s)=0，R(s)单独作用。意义：表征了系统对于各种输入信号的跟踪能力。思路：给定误差传函Φe(s)=Er(s)/R(s)→Er(s)→essr决定于开环传函和输入信号

阶跃误差:r(t)=R0·1(t)→R(s)=R0/s

斜坡误差:r(t)=V0t→R(s)=V0/s2

加速度误差:r(t)=a0t2/2→R(s)=a0/s3r(t)R0·1（t）V0tR0·1（t）V0t0型∞∞Ｋ００Ⅰ型0∞∞Ｋ０Ⅱ型00∞∞Ｋ各种系统在三种典型信号作用下的稳态误差与误差系数误差系数稳态误差总结论：（1）系统误差主要决定于系统开环增益、系统型别和输入信号的类型和幅值。（2）同一输入信号作用下，系统型别越高，稳态误差越小；系统开环增益越大，稳态误差越小；稳态误差越小，系统控制精度越高，跟踪信号的能力越强，（3）对于同一系统，跟踪“对应”的输入信号时，误差为有限值()，跟踪低一级的信号误差为零，跟踪高一级的信号，误差为无穷大。给定误差的计算思路：１.系统在单一信号作用下：根据已知条件写出G(s)H(s)根据已知的r(t)求对应的误差系数阶跃输入斜坡输入加速度输入2.系统在复合信号作用下：分别计算各单一信号单独作用产生的误差，然后叠加。

扰动误差essd条件：R(s)=0，D(s)单独作用。意义：表征了系统的抗干扰能力。思路：扰动误差传函Φed(s)=Ed(s)/D(s)→Ed(s)→essd决定于G1(s)

和D(s)

系统总误差esse

ss=essr+essd

提高系统稳态精度的方法复合控制（见第6章）作业：【P78-79习题】3-7、3-14、3-15本章结束！

引言根轨迹分析法是在1948年由W.R.Evans提出的一种图解法，主要用于分析高阶系统。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。本章重点研究的5个问题：根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、增加开环极、零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。第4章根轨迹分析法1.定义：系统的一个（一般为根轨迹增益K*，即自变量）或多个参数由零变到无穷大时，系统闭环特征根s在复平面上移动的轨迹称系统的根轨迹。根据根轨迹分析和设计系统的方法称为根轨迹分析法。2.主要内容：研究s平面上闭环特征根的位置随开环参数K*变化的规律及其与系统性能的关系。§4.1根轨迹法的概念3.方法：开环零点zi、极点pl在[s]中的分布K*=0→∞根轨迹方程根轨迹图求主导极点、分析系统性能４.根轨迹方程—

闭环特征方程一般系统的闭环传函可表示为：则，闭环特征方程即根轨迹方程为：又因为开环传函的零极点表达式为：上式可分解为：于是，根轨迹方程为：幅值方程（条件），用于计算主导极点对应的K*值相位方程（条件），用于绘制根轨迹图。k=0,1,2…K*

s1s200-2-1-1-1+j-1-j∞

-1+j∞-1+j∞起点重根点终点σ0jω××p1p2s1s2[例4.1]单位反馈系统开环传函为，试绘根轨迹图。解：n=2,p1=0,p2=-2；m=0闭环系统特征方程式：

利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。§4.2绘制根轨迹的规则规则1：根轨迹的起点和终点。

根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。规则2:根轨迹的条数和对称性。

n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。规则3:实轴上的根轨迹分布。由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就是根轨迹，否则不是。如下图所示。jωσ×

×

×

×

p4z2p3p2z1p1规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。（1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点或两零点之间。（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则成对出现。（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开或进入分会点的方向均为垂直方向。（4）计算：根据重根的条件，还必须满足：联立求解（1）（2），消去K*得计算分会点公式为：注：将不在根轨迹上的s值舍去。规则5：根轨迹的渐近线共有（n－m）条渐近线定义：n-m条终止于无穷远处的根轨迹的终止方向线。与实轴交点：与实轴夹角：取n-m个值。计算：规则6：根轨迹与虚轴的交点。意义：是系统的临界稳定点。特点：对应于系统闭环特征方程有纯虚根的点。求法：（1）将s=jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得K*和ω。则交点为：s=±jω。（2）根据闭环特征方程列劳斯表，令表中第一列含有K*的元素=0，解方程可得K*值；将