新课程人教版高中数学选修22课后习题解答

新谀彩杼推教孽选弟2—2第一章得.后习题豳答

第一章导数及其应用

3.1变化率与导数

练习(P6)

在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和3.它说明在第3h附近，原油温度大

约以1°C/h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3°C/h的速率上升.

练习(P8)

函数帕)在"与附近单调递增，在附近单调递增.并且，函数咐)在与附近比在片附近

增加得慢.说明:体会“以直代曲”的思想.

练习(P9)

函数/•(7)=:—(0WVW5)的图象为

，4万

根据图象，估算出/(0.6)0.3,/(1.2)»0.2.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意

义估算两点处的导数.

习题1.1A组(P10)

1、在£。处，虽然叱伉)=卬,1),然而“生)二”一二加)2一%%二加).

-Ar一加

所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

cA/Z力(1+加)一力(1).-.cc，，“、CC

2、一=---------—=-4.9Ar-3.3,所以，/?,(1)=-3.3.

这说明运动员在，=1s附近以3.3m/s的速度下降.

3、物体在第5s的瞬时速度就是函数s(f)在t=5时的导数.

—=5(5+A/)~V(5)=Ar+10,所以，$<5)=10.

AzX

因此，物体在第5s时的瞬时速度为10m/s,它在第5s的动能4='x3xl02=i50J.

2

4、设车轮转动的角度为。，时间为f,则。=比2。＞0).

由题意可知，当f=0.8时，。=2万.所以女2=5且万，于是。=7与5万巴

88

车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度就是函数仇f)在/=3.2时的导数.

△66(3.2+Af)一伙3.2)25万,七〜八，「…cc

—=—-------------=——4+20%,所以夕(3.2)=20万.

ArAr8

因此，车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为20乃s-1.

说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数/(x)在x=-5处切线的斜率大于零，所以函数在x=-5附近单调递增.同

理可得，函数/(x)在x=-4,-2,0,2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调

递减.说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是-•个小于零的常数，因此，其导数/'(X)的图象

如图(I)所示；第二个函数的导数;(x)恒大于零，并且随着x的增加，/'(X)的值也在增加;

对于第三个函数，当x小于零时，/'(x)小于零，当x大于零时:/'(X)大于零，并且随着x的

增加，尸(x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.

习题3.1B组(P11)

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是

速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.

说明：由给出的丫。)的信息获得sQ)的相关信息，并据此画出s。)的图象的大致形状.这个

过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由(1)的题意可知，函数/(x)的图象在点(1,-5)处的切线斜率为-1,所以此点附近曲

线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得(2)(3)某

点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.

y

1,

/

/

OX

(I>(2)(3)

说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数儿何意义的了解，以及对以直代曲思

想的领悟.本题的答案不唯一.

1.2导数的计算

练习(P18)

1、f'(x)=2x-l,所以，⑵=—3,/'⑹=5.

,1

2、(1)y二----(2)y'=2ex

xln2

(3)yf=10x4-6x；(4)yr=-3sinx-4cosx；

,1.x1

(5)y=——sin—；(6)

33/x—1

习题1.2A组(P18)

ASS(r+Ar)-5(r)

1、27rr+Ar,所以，S'(r)=lim(2乃r+Ar)=2冗丫.

Ar△r->0

2、/⑺=—9.8r+6.5.

3

3、r^V)=­A

3V4TTV2•

4、(1)y'=3x2+---(2)y'=nx"-'eK+xnex；

xln2

,3x2sinx-x3cosx+cosx

(3)y="(4)y'=99(x+l)98；

(5)y'=—21；(6)yr=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

5、r(x)=—8+20X.由r(x0)=4有4=—8+28/,解得无()=30.

6、(1)y'=Inx+l；(2)y=x-l.

rx

7、y二——+1f.

7t

8、(1)氨气的散发速度A'Q)=500xIn0.834x0.834'.

(2)A(7)=-25.5,它表示氨气在第7天左右时，以25.5克/天的速率减少.

就越来越逼近函数y=cosx.

2、当y=0时，x=0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).

>'=—/,所以y[r=o=T.

所以，曲线在点尸处的切线的方程为丁=--

2、/(f)=-4sinf.所以，上午6:00时潮水的速度为-0.42m/h；上午9:00时潮水的速度为

-0.63m/h；中午12:00时潮水的速度为-0.83m/h；下午6:00时潮水的速度为-1.24m/h.

1.3导数在研究函数中的应用

练习(P26)

1、(1)因为/(乃=炉—2X+4,所以/'(x)=2x—2.

当—(x)>0,即x>l时，函数/(x)=f—2x+4单调递增；

当/'(x)<0,即x<l时，函数/(x)=X?-2x+4单调递减.

(2)因为/(x)=e*-x,所以尸(x)=e*—L

当;(x)>0,即x>0时，函数/(x)=e=x单调递增；

当/'(x)<0,即x<0时，函数/(x)=e*-x单调递减.

(3)因为/(x)=3x7,所以尸(x)=3—3f.

当/'(x)>0,即-1<X<1时,函数/(x)=3x—V单调递增；

当/'(x)<0,即x<-l或x>l时，函数/(x)=单调递减.

(4)因为f(x)=Xs-x1-x,所以f'(x)=3X2-2X-1.

当了'(X)>O,即X<—；或X>1时，函数/(X)=_x单调递增;

当;(x)<0,即一:<x<l时，函数/(x)=x3-x2-x单调递减.

2、

注：图象形状不唯

3、因为/(x)=ax?+bx+c(a工0),所以/'(x)=2ax+b.

(1)当。〉0时，

±

函数/(x)=ax2+hx+c(a*0)单调递增;

2±a

2

r(x)<o,勿函数/(x)=ax+bx+c{aH0)单调递减.

(2)当a<0时,

f'(x)>0,即x<—2时，函数/(3)=4/+公+。570)单调递增；

2a

b

f\x)<0,即x〉——时，函数/。)=℃2+/+«。70)单调递减.

2a

4、证明:因为/*)=2/-6/+7,所以((X)=6/_12X.

当XG(0,2)时,/z(x)=6x2-12x<0,

因此函数/(x)=2d—6x2+7在。2)内是减函数.

练习(P29)

1、％2，》4是函数y=/(X)的极值点，

其中x=*2是函数y=/(x)的极大值点，x=%4是函数y=/(x)的极小值点.

2、(1)因为/(x)=6x2—X—2,所以尸(x)=12x—l.

令/'(x)=12x—1=0,得"='.

当X>\时，/(X)单调递增；当了<《时，/'(X)<0，/(x)单调递减.

所以，当％=-!-时，“X)有极小值，并且极小值为/(L)=6x(-L)2--L—2=—丝.

1212121224

(2)因为/(》)=9_27%，所以尸(X)=3/—27.

令;(x)=3f_27=0,得X=±3.

下面分两种情况讨论：

①当广(尤)>0,即x<—3或x>3时；②当/'(x)<0,即一3<x<3时.

当X变化时，/'(X),/(X)变化情况如下表:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

(⑸十0一0+

/(X)单调递增54单调递减-54单调递增

因此，当x=-3时，/(x)有极大值，并且极大值为54；

当x=3时，/(X)有极小值，并且极小值为-54.

(3)因为/(x)=6+12x—所以/(乃=12-31.

令/'(x)=12-3x?=0,得尢=±2.

下面分两种情况讨论：

①当广(x)>0,即一2<x<2时；②当/'(x)<0,即x<—2或x>2时.

当x变化时，/'(x),/(x)变化情况如卜.表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

f'M—0+0—

fM单调递减-10单调递增22单调递减

因此，当x=-2时，，/(x)有极小值，并且极小值为-10；

当彳=2时:/(x)有极大值，并且极大值为22

(4)因为/(X)=3X—X3,所以:(x)=3—3f.

令;(x)=3—3/=0,得*=±1.

下面分两种情况讨论：

①当/'(x)>0,即—1<X<1时；②当尸(x)<0,即x<—1或x>l时.

当x变化时，/'(x),/(x)变化情况如下表：

X(-00,-1)-1(-U)1。,+8)

f'M一0+0一

fW单调递减-2单调递增2单调递减

因此，当x=-1时，/(x)有极小值，并且极小值为-2；

当x=l时，/(x)有极大值，并且极大值为2

练习(P31)

1149

(1)在在,2］上,当％=工时,/(x)=6/-x—2有极小值，并且极小值为/(」•)=一空.

121224

又由于/(0)=—2,/(2)=20.

49

因此，函数/(x)=6/7-2在［0,2］上的最大值是20、最小值是-一.

24

⑵在［—4,4］上，当x=—3时，/(x)=x3—27x有极大值，并且极大值为/(—3)=54；

当x=3时，/(x)=x3_27x有极小值，并且极小值为"3)=—54；

又由于/(—4)=44,/(4)=一44.

因此，函数=27x在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［-；,3］上，当x=2H寸，/(x)=6+12x—x3有极大值，并且极大值为/(2)=22.

又由于/(—；)=||，/⑶=15.

因此，函数/(X)=6+12X-X3在［」,引上的最大值是22、最小值是史.

327

(4)在［2,3］上,函数/(x)=3x-无极值.

因为/(2)=-2,/⑶=—18.

因此，函数/(x)=3x-x3在⑵引上的最大值是-2、最小值是-18.

习题1.3A组(P3I)

1、(1)因为f(x)=—2x+l,所以广(无)=-2<0.

因此，函数/(x)=-2x+l是单调递减函数.

TTJT

⑵因为f(x)=x+cos…€(0节),所以八x)=jinx〉0'Xe(0,p

因此，函数/(x)=x+cosx在(0,g上是单调递增函数.

(3)因为/(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函数/(x)=2x-4是单调递减函数.

(4)因为/(x)=2d+4x,所以/")=6/+4>().

因此，函数/(x)=21+4x是单调递增函数.

2、(1)因为I(x)=f+2x-4,所以/'(x)=2x+2.

当广(x)>0,即x>—l时，函数/(x)=x2+2x—4单调递增.

当广(x)<0,即x<—l时，函数/(x)=x2+2x-4单调递减.

(2)因为/(X)=2X2-3X+3,所以广(x)=4x—3.

当/(x)>0,即x>2时，函数f(x)=2尤2-3%+3单调递增.

4

当—<0,即无<♦时,函数f(x)=2尤2-3x+3单调递减.

4

(3)因为/(尤)=3%+丁,所以广(%)=3+3/>0.

因此，函数/(x)=3x+x3是单调递增函数.

(4)因为/(x)=d+x2-x,所以r(X)=3/+2X-1.

当/'(x)〉0，即x<-l或x>；时，函数/(xQxW-x单调递增.

当;(x)<0,即时，函数=1+/一%单调递减.

3、(1)图略.(2)加速度等于0.

4、(1)在％处，导函数y=/'(x)有极大值；

(2)在x=X1和x=》4处，导函数y=/'(x)有极小值；

(3)在％处，函数y=/(x)有极大值；

(4)在％处，函数y=/(x)有极小值.

5、(1)因为/(X)=6X2+X+2,所以尸(X)=12X+L

令尸(x)=12x+1=0,得了=—

当x>-、时，f\x)>0,/(x)单调递增；

当x<-\时，f\x)<0,/(x)单调递减.

所以，x=-2■时，f(x)有极小值,并且极小值为f(--)=6x(-—)2----2---.

1212121224

(2)因为/(幻=尤3—I2x,所以尸(x)=3f—12.

令尸(x)=3x2—12=0,得％=±2.

下面分两种情况讨论：

①当/'(x)>0,即x<—2或x〉2时；②当/'(x)<0,即—2<x<2时.

当x变化时，/'(X),/(x)变化情况如下表:

X(-co,-2)-2(々2)2(2,+8)

广(X)+0一0+

单调递增16单调递减-16单调递增

因此，当x=-2时，/(%)有极大值，并且极大值为16；

当x=2时，/(x)有极小值，并且极小值为-16.

(3)因为/(x)=6—12x+J,所以/'(x)=—12+3x2.

令/'(x)=-12+3x?=0,得工=±2.

下面分两种情况讨论：

①当广(x)>0,即x<—2或x>2时；②当/'(x)<0,即一2<x<2时.

当x变化时，/'(X),/(x)变化情况如卜表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

广(X)+0—0+

/(X)单调递增22单调递减-10单调递增

因此，当x=-2时;/(x)有极大值，并且极大值为22；

当％=2时;/(x)有极小值，并且极小值为-10.

(4)因为/(X)=48X—X3,所以尸(©=48-31.

令/'(x)=48-3/=0,#x=±4.

下面分两种情况讨论：

①当/'(x)>0,即x<—2或x>2时;②当r(x)<0,即一2Vx<2时.

当X变化时，/'(X),/(X)变化情况如下表：

X(-00,-4)-41,4)4(4,+00)

/'(X)一0+0一

/(X)单调递减-128单调递增128单调递减

因此，当x=-4时，/(x)有极小值，并且极小值为-128；

当x=4时，/(x)有极大值，并且极大值为128.

147

6、(1)在［—1,1］上，当x=—五时，函数/(x)=6x2+x+2有极小值，并且极小值为彳.

由于/(—1)=7,/⑴=9,

47

所以，函数/(x)=6f+x+2在［-1,1］上的最大值和最小值分别为9,—.

(2)在［-3,3］上，当x=-2时，函数/(x)=Y—I2x有极大值，并且极大值为16；

当x=2时，函数/(X)=Y—12X有极小值，并且极小值为-16.

由于/(—3)=9,〃3)=-9,

所以，函数/(幻=》3_12》在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16,-16.

(3)在上，函数/(x)=6—12X+V在上无极值.

由于/(一；)=三~，/⑴=一5，

所以，函数/(x)=6-12x+d在［_；/］上的最大值和最小值分别为箸，-5.

(4)当x=4时，/(x)有极大值，并且极大值为128..

由于/(-3)=-117,/⑸=115,

所以，函数/(x)=48x-/在［-3,5］上的最大值和最小值分别为128,-117.

习题3.3B组(P32)

1、(1)证明：设/(x)=sinx-x,xG(0,71}.

因为/'(x)=cosx-1<0,X£(0,乃)

所以/(1)=$1111-1在(0,乃)内单调递减

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xG(0,,即sinxcx,xe(0,TT).图略

(2)证明：设/(%)=x-尤"xG(0,1).

因为/0)=1—2x,XG(0,1)

所以，当xw(O,g)时，/,(x)=l-2x>0,/(x)单调递增，

/(x)=x-x2>/(0)=0；

当xe(g,l)时，/,(x)=l-2x<0,/(x)单调递减，

/(x)=x-x2>/(l)=O；

X/(l)=l>0.因此，x-x2>0,xe(O,l).图略

(3)证明：设/(x)=e■'-l—x,x#0.

因为:(x)=e'-l,XHO

所以，当x〉O时，f\x)=ex-l>0,/(x)单调递增，

/(x)=^-l-x>/(O)=O；

当x<0时，广(x)="-l<0,/(x)单调递减，

/(x)=^-l-x>/(0)=0;

综上，ex-l>x,x^O.图略

(4)证明：设/(x)=lnx-x,x>0.

因为广(X)=L—1,XH0

X

所以，当0<x<l时，//(x)=--l>0,/(x)单调递增，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

当x>l时，/f(x)=--l<0,/(x)单调递减，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

当x=l时，显然lnl<l.因此，Inx<x.

由(3)可知，e'>x+l>x,x>0.

.综上，lnx<x</,x>0图略

2、(1)函数/(口=办3+/+以+1的图象大致是个“双峰”图象，类似“2”或“S”

的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估

计它的单调区间.

(2)因为/(x)=ax'+%/+cx+d,所以/'(x)=3ax?+2bx+c.

下面分类讨论：

当aw0时，，分a>0和a<0两种情形：

①当a>0,且。2-3ac>0时，

设方程广(%)=3。/+28》+。=0的两根分另1」为％,彳2，JLx(<x2,

当广(X)=3。『+2"+，〉0,即xc』或XAX?时，函数/(x)=a/+bx2+cx+d单调递增；

当广(x)=3。/+2Z?x+c<0,即菁<》<》2时，函数/(幻=如^+匕/+cx+d单调递减.

当a>0,且人2-3ac40时，

此时f'(x)=3ax2+2bx+c>0,函数/(x)=ax'+cx+d单调递增.

②当a<0,且/?2-3ac>0时，

设方程/'(》)=3办2+2云+。=0的两根分别为和苫2，且再ex?，

当r(x)=3ax2+2bx+c>0,即玉<%<々时，函数/(©nad+bK+cx+d单调递增；

当/'(x)=3以2+26x+c<0,即x<X］或x>%2时，函数/(x)=以3+/>/+cx+d单调递减.

当a<0,且£>2-3ac40时，

此时/'(X)=3ax2+2bx+c<0,函数f(x)=ax3+bx2+cx+d单调递减

1.4生活中的优化问题举例

习题1.4A组(P37)

xI-Y

1、设两段铁丝的长度分别为X,/-X,则这两个正方形的边长分别为工’两个正方

4

形的面积和为5=/(%)=(-)2+(―)2=—(2x2-2lx+l2),Q<x<l,

4416

令r(x)=0,即4x—2/=0,x=g.

当xe(0,3)时，/,(x)<0；当xe(g,/)时，/,(x)>0.

因此，x=j是函数/(x)的极小值点，也是最小值点.

所以，当两段铁丝的长度分别是上时，两个正方形的面积和最小.

2

2、如图所示，由于在边长为。的正方形铁片的四角截去

四个边长为X的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无

盖方盒的底面为正方形，且边长为a-2x,高为X.

(1)无盖方盒的容积V(x)=(a-2x)21,0<x<-.

2

(2)因为丫。)=4丁一4数2+八,

(第2题)

所以V'(x)=12x12-8ax+a2.

令V'(x)=O,得x=@(舍去)，sgx=-.

26

当xw(o,q)时，v\x)>o；当时，v,(%)<o.

662

因此，x=g是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.

6

所以，当x=g时，无盖方盒的容积最大.

6

3、如图，设圆柱的高为〃，底半径为R,

则表面积S=2万即7+2%/?2

CV

由丫=乃/?-力，得力=——7-

7UR2

Vc2Vc

因此,S(R)=2TTR—亍+2TTR2=—+2)A?,R＞。.

TIR-R

2V[\T

令S'(R)=——+4»R=0,解得R=d一.

R丫2"

当Ae(O,J上)时，S'(H)<0；

N27r

当上,+oo)时，S'(R)>0.

兀

(是函数S(A)的极小值点，也是最小值点.此时，％=奈2栏=2心

因此，R=3

所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

]〃?n

4、证明：由于/(x)=—X(x-q)2，所以r(x)=—£(x-q).

〃；=in,=i

令f'M-0,得尤=，£%，

〃1

1n

可以得到，x=是函数的极小值点，也是最小值点.

n,=i

1〃

这个结果说明，用〃个数据的平均值，表示这个物体的长度是合理的,

n,­=,

这就是最小二乘法的基本原理.

2

5、设矩形的底宽为xm,则半圆的半径为土m,半圆的面积为旦n?,

28

2

矩形的面积为。-三匚!!？，矩形的另一边长为(q一三)m

8x8

因止匕铁丝的长为/(幻=少+》+即一修=(1+工)8+经，0<x<、怪

2x44xN兀

令心)=1+十1=。，得片层(负值舍去).

当X€(O,、庐I)时，/'(x)<0；当xw(牛!隹)时，r(x)>0.

因此，x=是函数/(X)的极小值点，也是最小值点.

所以，当底宽为/匹m时，所用材料最省.

6、利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘单价.

由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.

收入/?=[•〃=q(25-看)=25<7-：/，

OO

利涧L=R—c=(25q-1/)—(100+4q)=—+100,0<^<200.

88

求导得U=」q+21

4

令//=0,即」q+21=0,q=84.

4

当qw(0,84)时,r>0；当ge(84,200)时,L'<0；

因此，g=84是函数L的极大值点，也是最大值点.

所以，产量为84时，利润L最大，

习题1.4B组(P37)

1、设每个房间每天的定价为x元，

Y—1RO1

-2

那么宾馆利润L(X)=(50-[o)(x-20)=--X+70X-1360,180<X<680.

令L'(x)=—"x+70=0,解得x=350.

当x6(180,350)时，L'(x)>0；当x€(350,680)时,L'(x)>0.

因此，x=35O是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.

2、设销售价为x元/件时，

b—x4Sh

利润L(x)=(x-Q)(C+c-----x4)=c(x-a)(5——x),a<x<一.

bh4

八八/、8c4ac+5bc„痴相4。+5》

令L(x)=——x+-----------=0,解得%二-------.

bb8

、i,4Q+5Z?、Q...„、1,4〃+5/?5b—.

当xw(a,---------)时，Lr(x)>0；当XE(------,一)时，L(x)<0.

884

当》="誉是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.

所以，销售价为担土及元/件时，可获得最大利润.

8

1.5定积分的概念

练习(P42)

8

31

说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.

练习(P45)

••1,10

1、Ai,.»Ay；=v(-)A/=[-(-)2+2]--=-(-)2i=l,2,.

nnnnnn

于是s=£As,«名As；=£v(-)Ar

n

/=1/=1i=\

这[-d)T+马

7Z|nnn

=-(-)2--——(^)2---(-)2--+2

nnnnnn

1

=Jl+272+・・•+眉7+2

1〃5+l)(2〃+l)

=—7-----------------------F2

n36

=--(l+-)(l+—)+2

3nIn

取极值，得

n1；>1111c

s=lim>v(-)]=limY[—_(1+-)(1+—)+2]=-

"TB占"n"f8占3nIn3

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法

和步骤.

练习(P48)

=说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

从几何上看，表示由曲线y=Y与直线x=0,x=2,y=0所围成的曲边梯形的面积S=4.

习题1.5A组(P50)

f210()；11

1、(1)[(x-l)Jx»y[(l+——)-l]x—=0.495；

J100100

R500；_|]

(2)f(x-l)Jx«2；[(1+—)-1]x=0.499；

.方500500

C四i一11

(3)I(x-l)Jx»y[(l+——)-l]x——=0.4995.

3tr10001000

说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m)；

距离的过剩近似值为：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、证明：令/(x)=l.用分点a-x0<<•­•<<xt<­­•<xn-b

将区间［a,切等分成"个小区间，在每个小区间兄,X,.］上任取一点奴i=1,2,…

〃,lh—n

作和式中22丁"。，

从而f\dx=limV---=h-a,

1=1"

说明：进一步熟悉定积分的概念.

4、根据定积分的几何意义，(Jl-x2dx表示由直线x=0,x=\,y=0以及曲线y=J1-£

所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此=

5、(1)fx3dx=~~.

J-i4

由于在区间［一1,0］上所以定积分工产3右表示由直线x=o,x=_i,y=o和曲线

y=d所围成的曲边梯形的面积的相反数.

(2)根据定积分的性质，得fx3dx=fx3dx+f=-—+—=0.

J-iJ-iJo44

由于在区间上d40,在区间［0,1］上dNO,所以定积分jx3dx等于位于x轴上方的

曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

(3)根据定积分的性质，得［x^dx-(°x3dx+［2=--+4=—

J-iJ-iJb44

由于在区间上VKO,在区间［0,2］上工320,所以定积分j/dx等于位于x轴上方的

曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

说明：在(3)中，由于/在区间上是非正的，在区间。2］上是非负的，如果直接利

用定义把区间［-1,2］分成〃等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵

挡一些项，求和会非常麻烦.利用性质3可以将定积分£/公化为f/dx+f/dx,这样，x3

在区间和区间［0,2］上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出工产3公，

f/dx,进而得到定积分,产3公的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

在(2)(3)中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的

几何意义.

习题1.5B组(P50)

1、该物体在，=0到"6(单位：s)之间走过的路程大约为145m.

说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过

的路程.

2、(1)v=9.8k.

8711QQ

(2)过剩近似值：y9.81x-x-=9.81x-x——X=88.29(m)；

£2242

；

不足近似值：y89.81x-_x-1!-1-9.81x1-x—2v-7=68.67(m)

占2242

(3)[9.81fdf；)9.81而=78.48(m).

3、(1)分割

在区间［0,/］上等间隔地插入〃-1个分点，将它分成〃个小区间：

nnnn

记第，个区间为(i=l,2,…〃)，其长度为

nn

AH(1)/1

nnn

把细棒在小段［0」］,……，］丝二型,/］上质量分别记作:

nnnn

△机i，A〃乙，

则细棒的质量m=Z'%.

i=\

(2)近似代替

当〃很大，即Ac很小时，在小区间［9刊，乜］上，可以认为线密度2(x)=x2的值变

nn

化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点。€区二义,占处的函数

nn

值「(。)=短.于是，细棒在小段也二必当上质量△祖产(i=l,2,.

nnn

（3）求和

得细棒的质量"2==.

i=l»=1/=1〃

（4）取极限

细棒的质量m=limV4；2—,所以，”=

…,Jn

1.6微积分基本定理

练习(P55)

405

(1)50；(3)(4)24；

⑵三33

(5)--ln2；(6)—；(7)0；(8)-2.

22

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

习题1.6A组(P55)

40.9

1、(1)♦(2)---31n2；(3)-+In3-ln2；

322

17

(4)(5)——+1；(6)e>2-e-21n2.

~68

说明：木题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

2、]sinxdx-[-cos-2.

它表示位于x轴上方的两个曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差.或表述为：

位于X轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与X轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代

数和.

习题1.6B组（P55）

102]1£1/Q

1、（1）原式=[/2工=]—；；（2）原式=gsin2x]：=5-]；

店十r2/6

(3)原式=[——];=——

ln21In2

r.,cos加%1/八

2、(1)sinmxax=r[----------=--------r[cosm兀-cos(一加乃月=()；

“m'm

s'n""匕乃=—(一万)]=；

(2)fcosmxdx=[sinmrc-sin60

J-*mm

r.27r1-cos2mx,xsin2mxM

(3)r

•UJ”224mj

严2,俨1+cos2mx.xsin2mx

(4)r

J”k224m一%

3、(1)s⑺=,6(1—ew)力=[如+与/%=幻+与e*-冬=45+245e-02/-245.

kkkkkk

(2)由题意得4%+245产一245=5000.

这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计f的取值范围.

根据指数函数的性质,当f〉0时，0<产<1,从而5000<4%<5245,

—O.2x——O.2x49-

因此245e49。