新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案

2014新编人教A高中数学必修4全册教案导学案含答案

目录

1.1.1任意角

1.1.2弧度制

L2.1任意角的三角函数

1.2.2同角的三角函数的基本关系

1.3.1三角函数的诱导公式（一）

1.3.2三角函数诱导公式（二）

1.4.1正弦函数，余弦函数的图象

1.4.2正弦函数余弦函数的性质

1.4.3正切函数的图像与性质

1.5函数的图象

1.6三角函数模型的简单应用

2.1平面向量的实际背景及基本概念

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算

2.3.4平面向量共线的坐标表示

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.5平面向量应用举例

3.1.1两角差的余弦公式

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

3.2简单的三角恒等变换

1.L1任意角

一、教材分析

“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念,它又是学好本章教学内

容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础

上,进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，

通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

二、教学目标

1.理解任意角的概念；

2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合

的书写。

三、教学重点难点

1.判断已知角所在象限；

2.终边相同的角的书写。

四、学情分析

五、教学方法

1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领

下，学生发现就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出

数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数

学的逻辑性、思想性比较强的课.

2.学案导学:见后面的学案。

3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合

作探究、精讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习

六、课前准备

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）复习引入：

1.初中所学角的概念。

2.实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：

1.角的定义:一条射线绕着它的端点,从起始位置旋转到终止位置,形成

一个角，点是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。

说明：在不引起混淆的前提下，“角”或可以简记为.

2•角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3.象限角：

在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合,

则

(1)象限角：若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限

角。

例如:都是第一象限角；是第四象限角。

(2)非象限角(也称象限间角、轴线角)：如角的终边在坐标轴上，就认为这个

角不属于任何象限。例如:等等。

说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。

因为

轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为

其端点的射线。

4.终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角

自身在内，都可以写成的形式;反之,所有形如的角都与角的终边相同。从而

得出一般规律：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，

即:任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

5.例题分析：

例1在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限

角？⑴⑵⑶

解：⑴,

所以,与角终边相同的角是,它是第三象限角；

(2),

所以,与角终边相同的角是角，它是第四象限角；

(3),

所以,角终边相同的角是角，它是第二象限角。

例2若,试判断角所在象限。

解:

，与终边相同，所以,在第三象限。

写出下列各边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素

写出来:(1);(2);(3).

解：⑴，

中适合的元素是

(2),

S中适合的元素是(3)

S中适合的元素是

(三)反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课

堂实录)

(四)发导学案、布置预习。

九、板书设计

十、教学反思

以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：

⑴学生对课堂提问，回答是否积极?学生能否独立或通过合作探索出问题

的结果？

(2)学生处理课堂练习题情况如何?可能的原因是什么？

(3)教学任务是否完成？

下面我们着重分析一下提问的效果。

在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问

题1:任意画一个锐角a,借助三角板，找出sina的近似值.”和''问题5:现在，

角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°〜360°内的角，又扩展到了任意角，并且在

直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环

境中，你认为,对于任意角a,sina怎样定义好呢？”

对于问题1,除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一

个锐角a,构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于

在给定的直角三角形中解决问题。

对于问题5,教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。

这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识,

难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此,教师必须要提供必要的脚

手架。在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学

生的学习，也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步！

十一、学案设计见下页

1.1.1任意角

课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混

淆的概念相区分；

2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容

1.回忆:初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置0A,绕着它的端点0按逆时针方向旋转到终止位置

0B,就形成角a。旋转开始时的射线0A叫做角的始边,0B叫终边,射线的端点0

叫做叫a的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720o”（即转体2周），“转

体1080。”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如

果慢了5分钟，又该如何校正？

2.角的概念的推广:？

3.正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题：

1.定义中说:角的始边与x轴的非负半轴重合,如果改为与x轴的正半轴重

合行不行,为什么？

2.定义中有个小括号，内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字?

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上,作出下

列各角，并指出它们是哪个象限的角？

(1)4200;(2)-750;(3)8550;(4)-5100.

5.终边相同的角的表示

三、提出疑惑

同学们,通过你的自主学习，你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

(2)理解任意角以及象限角的概念；

(3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法；

学习重难点：

重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法

及判断。

难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程

例1.例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限

角.(注:是指)

例2.写出终边在轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

的元素写出来.

(三)【回顾小结】

1.尝试练习

(1)教材第3、4、5题(2)补充:时针经过3小时20分，则时针转过的角

度为，分针转过的角度为。

注意：(1)；(2)是任意角(正角、负角、零角)；(3)终边相同的角不一定相

等;但相等的角，终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍.

2.学习小结

你知道角是如何推广的吗？

象限角是如何定义的呢？

3你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗？

四当堂检测

1.设，，那么有(？).

A.B.C.()D.

2.用集合表示：

(1)各象限的角组成的集合.(2)终边落在轴右侧的角的集合.

3.在〜间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

(1)；(2);(3).

3.解：⑴•••

...与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；

(2)V

...与终边相同的角是，它是第四象限的角；

（3）

所以与角终边相同的角是，它是第二象限角.

课后练习与提高

1.若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2.下列命题正确的是：（）（A）终边相同的角一定相等。（B）第一象限

的角都是锐角。（C）锐角都是第一象限的角。（D）小于的角都是锐角。

3.若a是第一象限的角，则是第象限角。

4.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为一.

5.集合M=ak,kGZ中，各角的终边都在（）

A.轴正半轴上，B.轴正半轴上，

C.轴或轴上，D.轴正半轴或轴正半轴上

6.设，

C=a|akl80o+45o,kGZ,

则相等的角集合为_

参考答案

1.解：2小时40分小时，

故分针走过的角为480。2.C3.一或三45.C6._B=D,C=E

1.1.2弧度制【教学目标】①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算

②认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，

不必在应用方面加深.

③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点

分析、解决问题【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换

算难点:弧度的概念及其与角度的关系【教学过程】

（一）复习引入复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的

度数及弧长的关系提出问题：

①初中的角是如何度量的?度量单位是什么？

②1°的角是如何定义的?弧长公式是什么？

③角的范围是什么？如何分类的？

（二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是

60进制，角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制？

1.自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1角的弧度制是如何引入的？

2为什么要引入弧度制？好处是什么？

3弧度是如何定义的？

4角度制与弧度制的区别与联系？

2.学生动手画图来探究：

1平角、周角的弧度数

2角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关？

3角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

3.角度制与弧度制如何换算？

rad1

归纳:把角从弧度化为度的方法是:

把角从度化为弧度的方法是：

一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整

30°90°120°150°270°

0

例1、把下列各角从度化为弧度：

1(2)34

解：1(2)34

变式练习：把下列各角从度化为弧度：

122。30'(2)?210o31200o解：1(2)3

例2、把下列各角从弧度化为度：

(1)23.5324

解：(1)108。2200.5o3114.6o445o

变式练习：把下列各角从弧度化为度：(1)(2)?(3)解：(1)150(2)-240。

(3)54o

弧度数表示弧长与半径的比，是一个实数,这样在角集合与实数集之间就

建立了一个---对应关系.

弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：

因为(其中表示所对的弧长)，所以,弧长公式为.

扇形面积公式:.

说明：以上公式中的必须为弧度单位.

例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,,求该扇形的面积。

解：因为2R+2R8,所以R2,S4

变式练习：

1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的

弧度数。

答案：

2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的2倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是

4cm2.

4、以原点为圆心,半径为1的圆中，一条弦的长度为,所对的圆心角

的弧度数为

课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用；

（四）作业布置习题1.1A组第7,8,9题。

（五）课后检测

1.在中，若，求A,B,C弧度数。

答案:ABC

2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是

多少？

答案：

3.选做题

如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。

答案：

K板书设计》

1.1.2弧度制

（一）复习引入

概念形成例1例2

（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式

例3小结：

1.1.2弧度制

课前预习学案

一、预习目标：1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是

60进制，角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制？自学课本第7、8

页.通过自学回答以下问题：

角的弧度制是如何引入的？

为什么要引入弧度制?好处是什么？

弧度是如何定义的？

角度制与弧度制的区别与联系？

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长,为圆半径）；

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、学习过程

（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些,

是多少进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制??弧度

制。

我们规定叫做1弧度的角，用符号表示,读作。

练习：圆的半径为,圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？

思考:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知:如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为，那么，角的弧度数的绝

对值是:，的正负由决定。

正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示

角的度量。

例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是.

(三)角度与弧度的换算

rad1

归纳:把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：

试一试:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化，请补充完整

30°90°120°150°270°

0

例1、把下列各角从度化为弧度：

1(2)34

变式练习：把下列各角从度化为弧度：122o30z(2)?210o31200o

例2、把下列各角从弧度化为度：

(1)23.5324

变式练习：把下列各角从弧度化为度：

(1)(2)?(3)

(四)弧度数表示弧长与半径的比，是一个实数，这样在角集合与实数集之

间就建立了一个---对应关系.

弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：

因为(其中表示所对的弧长)，所以,弧长公式为.

扇形面积公式:.

说明：以上公式中的必须为弧度单位.

例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,,求该扇形的面积。

变式练习1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的

圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是.

4、以原点为圆心,半径为1的圆中，一条弦的长度为,所对的圆心角

的弧度数为

课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用；

（七）作业布置习题1.球组第7,8,9题。

课后练习与提高

1.在中，若，求A,B,C弧度数。

2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是

多少？

3.选做题

如图,扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。L2.1任

意角的三角函数

【教学目标】

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号）;

(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法；

(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正

切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

(4)掌握并能初步运用公式一；

(5)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

【教学重难点】

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号)；终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).

难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号)；三角函数线的正确理解.

【教学过程】

一、【创设情境】

提问：锐角0的正弦、余弦、正切怎样表示？

借助右图直角三角形，复习回顾.

引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那

么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点，它与原点的距离.过作轴的垂

线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则；

；思考:对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变

而改变呢？

显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直

角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概

念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意

角呢?本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数.

二、【探究新知】

1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三

角函数值呢显然,我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离

为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆

的定义:在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？

如图,设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么：

1叫做的正弦sine,记做，即；

(2)叫做的余弦cossine,记做,即:

(3)叫做的正切tangent,记做,即.

注意：当a是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在)；

当a不是锐角时,也能够找出三角函数，因为,既然有角，就必然有终边,终边就必

然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如

何求它的三角函数值呢？

前面我们已经知道，三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大

小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么，,

.所以,三角函数是以为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值

的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可

以看成实数为自变量的函数.

4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域

填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限

角度制弧度制

5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系？

终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一：

其中

6.三角函数线

设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点

,过作轴的垂线，垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长

线交与点.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有我们就分别称有向线段为

正弦线、余弦线、正切线。

我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、

正切线，统称为三角函数线.

7.例题讲解

例1.已知角a的终边经过点,求a的三个函数制值。

解：变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.

解:，，例2.求下列各角的三个三角函数值：

(1);(2);(3).解：(l)sinOOcosOltanOO(2)(3)变式训练2:求的正弦、

余弦和正切值例3.已知角a的终边过点，求a的三个三角函数值解析:计算点到

原点的距离时应该讨论a的正负变式训练3:求函数的值域.

解析:分四个象限讨论.

答案：2,-2,0例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小：1.与

2.tan与tan三、【学习小结】

1本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？

2你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗？

3请写出各三角函数的定义域；

4终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用

公式一吗？

5三角函数线的做法.

四、【作业布置】

作业：习题1.2A组第1,2题.

五、【板书设计】1.2.1任意角的三角函数

(一)复习引入

概念形成L三角函数定义2.三角函数线

(三)例题讲解小结:

1.21任意角的三角函数

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解三角函数的两种定义方法；

2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：根据课本本节内容，完成预习目标,完成以下各个概念的

填空.

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在

下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号)；

(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法；

(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角a的正弦、余弦、正

切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

(4)掌握并能初步运用公式一；

(5)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

二、重点、难点

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域

和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程

（一）复习：

1初中锐角的三角函数

2、在RtAABC中，设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、

余弦、正切依次为___________________________________________________

（二）新课：

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点（除了原点）的坐标

为，它与原点的距离为，那么

（1）比值_______叫做a的正弦，记作,即

（2）比值叫做a的余弦，记作_______,即

⑶比值_______叫做a的正切,记作,即;

2.三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

3.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知:

①正弦值对于第一、二象限为（）,对于第三、四象限为—0；

②余弦值对于第一、四象限为（）,对于第二、三象限为—0；

③正切值对于第一、三象限为（同号），对于第二、四象限为（异

号）.

4.诱导公式

由三角函数的定义，就可知道:

即有:___________________________

5.当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余

弦、正切值的几何表示??三角函数线。设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半

轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为;过点作单位圆的切线，它

与角的终边或其反向延长线交与点.

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

（三）例题

例1.已知角a的终边经过点，求a的三个函数制值。

变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.

例2.求下列各角的三个三角函数值:

(1);(2);(3).

变式训练2:求的正弦、余弦和正切值.

例3.已知角a的终边过点,求a的三个三角函数值。

变式训练3:求函数的值域

例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小：1与2.tan与tan(四)、

小结

课后练习与提高

一、选择题

1.是第二象限角,P(,)为其终边上一点，且，则的值为()

ABCD2.是第二象限角，且，则是()A.第一象限角B.第二象限角C.

第三象限角D.第四象限角

3、如果那么下列各式中正确的是()

AB

CD

二、填空题

4.已知的终边过(9,)且,，则的取值范围是。

5.函数的定义域为。

6.的值为(正数，负数,0,不存在)

三、解答题

7.已知角a的终边上一点P的坐标为()()，且，求

1.2.2同角的三角函数的基本关系

一、教学目标：

1.掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式

证明的解题技能,提高运用公式的灵活性；

3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问

题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程

中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.

二、教学重、难点

重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的

一个,求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点：根据角a终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三

角恒等式.

三、学法与教学用具

利用三角函数线的定义，推导同角三角函数的基本关系式：及，并灵活应

用求三角函数值，化减三角函数式,证明三角恒等式等.

教学用具：圆规、三角板、投影

四、教学过程

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,

弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

【探究新知】

探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发,

讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗如图：以正弦线，余弦线和半径三

者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由，因此，即.

根据三角函数的定义，当时，有.

这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.

【例题讲评】

例1化简：

解:原式

例2已知

解：

（注意象限、符号）

例3求证：

分析：思路1.把左边分子分母同乘以，再利用公式变形;思路2:把左边分

子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求;思路3:用作差法，不管分母，只

需将分子转化为零;思路4:用作商法，但先要确定一边不为零;思路5:利用公分

母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6:由乘积式转化为比例

式;思路7:用综合法.

证法1:左边右边，

原等式成立

证法2:左边=

=右边

证法3:

证法4:YcosxW0,，1+sinxWO,，WO,

•••===1,

・・・

...左边右边...原等式成立.

例4己知方程的两根分别是，

求解：

（化弦法）

例5已知，

求

解：

【课堂练习】

化简下列各式

3.

练习答案：

解：（1）原式=

(2)原式=

【学习小结】

(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此,.

(2)利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要

就角所在象限进行分类讨论.

作业：习题1.2A组第10,13题.

熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等，得到其他几个常

用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤【课后作业】见学案【板书设计】

略【教学反思】

1.2.2同角的三角函数的基本关系

课前预习学案

预习目标：

通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的

同角三角函数的基本关系式做好铺垫。

预习内容：

复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：

提出疑惑:

与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，

弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？

0

课内探究学案

学习目标：

1.掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式

证明的解题技能,提高运用公式的灵活性；

3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问

题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程

中，注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.

学习过程：

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系,

弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

【探究新知】

探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，

讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗如图：以正弦线，余弦线和半径三

者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由，因此，即.

根据三角函数的定义，当时，有.

这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.

【例题讲评】

例1化简：

例2已知

例3求证：

例4已知方程的两根分别是，

求例5已知，

求

【课堂练习】

化简下列各式

3.

课后练习与提高

1已矢口sina+cosa=,且0<a<m,则tana的值为

2若sin40+cos40=1,则sin0+cos0的值为

AOBIC-1D±1

3若tan0+cot0=2,则sin0+cos0的值为

AOBC-D±

4若=10,则tana的值为

5若tana+cota2,贝Usin4a+cos4a=

6若tan2a+cot2a=2,贝"sinacosa=

同角的三角函数的基本关系

教学目的：

1.掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式

证明的解题技能,提高运用公式的灵活性；

3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问

题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程

中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.

教学重点：同角三角函数的基本关系

教学难点：1已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正

负号的选择;2三角函数式的化简;3证明三角恒等式.

授课类型:新授课

知识回顾：同角三角函数的基本关系公式：

99999999999999999999999999999999999

999Q99999999999999999999999999999Q9

典型例题：

已知sin2,求a的其余三个三角函数值.

例2.已知:且，试用定义求的其余三个三角函数值.

例3.已知角的终边在直线y3x上，求sin和cos的值.

说明：已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值时要注意：

角所在的象限；

用平方关系求值时,所求三角函数的符号由角所在的象限决定；

3若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时,

要对该字母分类讨论.

四、小结几种技巧

五、课后作业：

六、板书设计(略)

七、课后记：

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

一、教学目标：

1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式

将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒

等式证明问题

2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的

化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：

重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；

三、学法与教学用具：

(1)、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；

(2)、通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的

良好习惯.

四、教学过程：

创设情境:我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出

它的三角函数值？

我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数

值转化为求锐角的三角函数值,则问题将得到解决,这就是数学化归思想

研探新知

1.诱导公式的推导

由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公

式一：

（公式一）

诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、

余弦、正切。

【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写

成

,是不对的

【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后,

又如何将角间的角转化到角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊

关系,如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？

若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别

地,角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：（公式二）

特别地,角与角的终边关于轴对称,故有

（公式三）

特别地,角与角的终边关于原点对称,故有

（公式四）

所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。

【说明】：①公式中的指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立；

③记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；

［方法小结］:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一

般方向是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化为内的三角函数；

③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正,大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

2、例题分析：

例1求下列三角函数值：（1）;（2）.

分析:先将不是范围内角的三角函数,转化为范围内的角的三角

函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围

内

角的三角函数的值。

解：（1）（诱导公式一）

（诱导公式二）

（2）（诱导公式三）

（诱导公式一）

（诱导公式二）

方法小结:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般

步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化为内的三角函数；

③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正,大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2化简.

解:原式

3课堂练习：

（1）.若，则的取值集合为（）

A.B.

C.D.

（2）.已知那么（）

A.B.C.D.

（3）.设角的值等于