高中数学人教A版必修 第四章 三角函数与解三角形（备课资源）

第四章三角函敬与解三角形

第1节任意角、弧度制及三角函数的概念

对应学生用书P89

考试要求

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化，会对扇形进行相关的计算.

3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

知识结构基础全通关

一、角的概念的推广

1.任意角

（1）定义:角可以看成平面内一条射线绕告它的豌点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

（2）分类:角按旋转方向分为H、19匚二角.

2.所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是j

3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合》的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边（除顶点外）在第几象限，我们就说这个角是第几

象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

二、弧度制的定义和公式

1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作•了.

2.角度制和弧度制的互化:180°=nrad,1°=喘rad,1rad<-^_)^(

3.扇形的弧长公式扇形的面积公式:5=〃弓/取<

三、任意角的三角函数

1.定义:设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点HxM，则sina=,cosa=,tana=^;

若。的终边上有一点HxM（与原点。不重合），则sina*,8sa^.tan。中"0）,其中r=y/x2+y2.

2,三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

两个重要结论

（1）单位圆上任至一点可设为（aR）.

⑵若在（0弓）,则sina〈a<tana.

自我诊断

1.判断下列结论是否正确.(对的打％",错的打"力)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是蜕角.

(2)角a的三角函数值与其终边上点尸的位置无关(。与原点。不重合).

(3)不相等的角终边一定不相同.()

(4)若a为第一象限角，则sina*cosa>\.()

(5)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.()

专案(1)*(2)V(3)x(4)V(5)*

2.(教材改墉)下列与竽的终边相同的角的表达式中正确的是().

A.2E45。侬Z)BA36(rT"eZ)

C.*360°315°(依Z)D.An%aZ)

答C

与年的终边相同的角可以写成2附片(代Z),但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.故选C.

3.(2023・山西期中)已知角8的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合，若41力是角8终边上的一点，且sin8=呼，则

y=_______•

答案-3

解析因为sin6=嚼<0,4】同是角8终边上一点，所以y<0,

由三角函数的定义，得宜=端，解得片S或y=3(舍去).

4.

(2022年全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作.其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,&是以。为圆

心,04为半径的圆弧，。是48的中点，。在蓝上,CDM8.“会圆术”给出⑪的弧长的近似值s的计算公式:sJ8噜.当

。4与/力。840°时,s<).

A11-3心If?

A-2~0n~2~

C邛D邛

答案B

［析:OA=OB^zAOB=60°,.

:C是的中点，。在触上,CAU&

延长。。可得。在。。上（图略）,8=8-00=245,

.3他唔=2”。邛中.

0A222

故选B.

怎曰考点题型命题全研透

考点一任意角及其表示

命题角度1象限角的表示

【例1】（1）已知a是第二象限角，则180°口是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案A

由。是第二象限角可得90c*A-360°<a<\80°+^-360°（*eZ）.

所以180°<90°心360°）>180°口>180°<180°+左360°）（依2）,

即90°/360°X80°-a>-k360°（AeZ）,

所以180。-。为第一象限角.

（2）若角。是第二象限角则牌第象限角.

答案一或三

:a是第二象限角，.多#2AnW<TT+2ATT,AGZ,

专钠14祎+后,依Z.当4为偶数是第一象限角;当之为奇数时5是第三象限角.

42222

综上，合是第一或第三象限角.

1.给定一个角判断它是第几象限角的思路

判断角。是第几象眼角的常用方法:将。写成A+上360°（其中在Z/在0°~350°范围内）的形式，观察角/?的终边所在的象限即

可.

2.分角、倍角所在象限的判定思路

（1）求解的思维模式:由欲求想需求由己知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.

（2）由a的象限弱定2a的象限时,应注意2a可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如a=135°,而2^=270。就不再是象限

角.

感悟实践

1.（2023•潍坊模抵）集合IJ依Z）中的角a所表示的区域（阴影部分）是（）.

ABCD

笞等c

当々"neZ）时,2m空区2加号,此时角。表示的区域与导例表示的区域一样;当k3+1（必

时,2m*n半公2mHi与此时a表示的区域与与SS多表示的区域一样.故选C.

2.（2023,河南周口模拟）若角a为第一象限角网0天180°回依Z）是第象限角.

答案一或三

:a是第一象限角，.:当4为偶数时从180。坨的终边在第一象限;当4为奇数时从180。。的终边在第三象限.故

Q，rT80°+a在Z）是第一或第三象限角

命题角度2终边相同的角的表示

（->12］（改编）若角a的顶点为坐标屏点,始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角a的取值集合是（）.

A.{a|a=2kn-^,kz|

B.{a|a=2kn+y,k^Z）

C.{a|a=kn-g,kz|

D.1a|a=kn-^,kz}

答案D

因为直线X-、口”的倾斜角是:依门a=-V3,

所以终边落在直线尸Mx上的角的取值集合为{a|a=kn《,kz}或{a|a=〃rr+与山斗故选D.

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合.然后通过对集合中的参

数《依Z）赋值来求得所需的角.

感悟实践

1.（2023•赤峰高三月考）若角。的终边与240。角的终边相同，则角F的终边所在的象限是（）.