5.3.1 函数的单调性（6大题型）精练（解析版）

5.3.1函数的单调性【题型1求不含参函数的单调区间】1、（2023·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）设，则的单调递减区间是（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】由，得，令，得或，，的变化情况如下表所示.单调递减单调递增单调递减所以，的单调递减区间是和.故选：D.2、（2023·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.3、（2023·吉林·高二校联考期末）函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，令，解得，则的单调递减区间为.故选：B.4、（2023·高二课时练习）函数的单调递减区间是（）A．,B．,C．,D．,【答案】A【解析】函数的导数，由得，即，所以函数的单调递减区间为；故选：A.5、（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校校考期末）函数的单调减区间为.【答案】【解析】的定义域为，，令，可得，可得，又，则或，所以的单调递减区间是.【题型2求含参函数的单调区间】1、（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．【答案】答案见解析【解析】由题意知：定义域为，，令，解得：，；①当，即时，若，；若，；在上单调递增，在上单调递减；②当，即时，且不恒等于，在上单调递增；③当，即时，若，；若，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.2、（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．【答案】答案见解析【解析】由题意知，定义域为，；令，则.①当，即时，（当且仅当，时取等号），在上单调递减；②当，即时，令，解得，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.3、（2023·全国·高二专题练习）已知函数．求函数的单调区间；【答案】答案见解析【解析】依题意，的定义域为R，求导得，令，得或，若，，，递增；，，递减；，，递增，若，则，在R上单调递增，若，，，递增；，，递减；，，递增，综上，当时，函数的递增区间是，递减区间是；当时，函数在R上单调递增；当时，函数的递增区间是，递减区间是.4、（2023·全国·高二专题练习）讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】由已知得，则①当时，，所以在单调递增；②当时，，所以在单调递减；③当时，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.5、（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】方法一：由题意得：定义域为，，由得：，即；①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.方法二：由题意得：定义域为，；①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，由得：；由得：，在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【题型3已知函数的单调性求参数】1、（2023·福建·高二南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.故选：A.2、（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：D．3、（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点，当时，，不成立；当时，只需，即，解得或，所以在上不单调的充要条件是或，所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B4、（2023·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.当时，令，解得，要使在区间上不单调，则，即，解得,此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B5、（2023·江苏淮安·高三清浦中学校联考阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由得，由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，若在区间上单调递增，则，解得.【题型4原函数与导函数的关系】1、（2023·陕西西安·高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在，两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故，即为奇函数，排除CD，由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B，故选：A2、（2023·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内，导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减，所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭，在区间,内越来越平缓，故选项符合题意．故选：B．3、（2023·陕西西安·高二统考期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C4、（2023·新疆·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知是函数的导函数，函数.的图象如图所示，则的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由图象可得，则，故在上单调递减，可知A、D错误；当时，由图象可得，则，故在上单调递减，可知B错误；故选：C.5、（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）（多选）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，故B可能正确.对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.故选：ABC【题型5利用单调性解不等式】1、（2023·天津·高二校联考期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，因为，，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由，可得，解得.故选：A2、（2023·福建泉州·高二校考期中）已知函数满足，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由函数，可得函数的定义域为，且，所以函数在区间上为单调递增函数，又由不等式，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.3、（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以不等式，可化为，又由，因为，所以，为单调递增函数，由，可得，即，解得，所以实数的取值范为.故选：B.4、（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，所以在R上递增，又，则不等式等价于，所以，故选：A5、（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为.【答案】【解析】设.又有成立，函数，即是上的增函数.则，即.【题型6利用单调性比较大小】1、（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，因为，所以，即.故选：D.2、（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，，当时，，单调递增，所以，即．故选：B．3、（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，则，∵当时，，即，在单调递减，∴，∴，即，∴.故选：D.4、（2023·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，所以在上是减函数，对A：因为，所以，即，得，故A错误；对B、