课时作业-第1节-数列的概念

第1节数列的概念知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练由数列的前几项归纳通项公式1,7an与Sn的关系4,8,9数列的递推关系2,311数列的性质5,613综合问题10,12,14151.若数列的前4项分别是12,-13,14A.(-1)nC.(-1)nn2.若数列{an}满足a1=1,an+1-an-1=2n,则an等于(A)A.2n+n-2 B.2n-1+n-1C.2n+1+n-4 D.2n+1+2n-2解析:因为an+1-an=2n+1,所以a2-a1=21+1,a3-a2=22+1,a4-a3=23+1,…,an-an-1=2n-1+1(n≥2),以上各式相加得an-a1=21+…+2n-1+(n-1)=2(1-所以an=2n+n-2.故选A.3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2-2an+1(n∈N*),则aA.1 B.0 C.2022 D.-2022解析:因为a1=1,所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,…,可知数列{an}是以2为周期的数列,所以a2022=a2=0.故选B.4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),则a10等于(B)A.128 B.256 C.512 D.1024解析:因为Sn+1=2Sn-1(n∈N*),n≥2时,Sn=2Sn-1-1,所以an+1=2an.n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.所以数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.则a10=a2×28=1×28=256.故选B.5.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)(78)n,则数列{aA.第6项 B.第7项C.第8项 D.第9项解析:假设an最大,则有a即(所以n即6≤n≤7,所以最大项为第6项和第7项.故选AB.6.设数列{an}的通项公式为an=n2-bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是(C)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.(-∞,3) D.(-∞,92解析:因为数列{an}是单调递增数列,所以an+1-an=2n+1-b>0(n∈N*),所以b<2n+1(n∈N*),所以b<(2n+1)min=3,即b<3.故选C.7.已知数列32,54,76,9m-解析:由数列的前3项的规律可知m解得m故实数对(m,n)为(192,3答案:(192,8.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=.

解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.故数列{an}的通项公式为an=2答案:29.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=n+23a(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解:(1)由S2=43a2得3(a1+a2)=4a2解得a2=3a1=3.由S3=53a3得3(a1+a2+a3)=5a3解得a3=32(a1+a2(2)由题设知,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=n+23an-n+1整理得anan因此anan-1·an-1an-2·…·a3化简得an=(n+1)n2×1·当n=1时,a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=n(n+110.设数列{an}中a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列{an}的前12项的和为(C)A.364 B.728C.907 D.1635解析:数列{an}中a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1,则a3=3a1=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=243.由于a2n+2-a2n+1=a2n,所以a2n+2=a2n+1+a2n,故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,所以数列{an}的前12项的和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.故选C.11.已知数列{an}满足an+1-anA.45 B.45-1C.8 D.9解析:由an+1-an=2n知a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,以上各式相加得an-a1=n2-n,n≥2,所以an=n2-n+20,n≥2,当n=1时,a1=20符合上式,所以ann=n+20n所以n≤4时ann单调递减,n≥5时因为a44=所以ann的最小值为a412.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,记OA1,OA2,OA3,…,OA8的长度构成的数列为{an}(n∈N*,n≤8),则{an}的通项公式an=.(n∈N*,n≤8)

解析:根据题意OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,所以an2=an所以{an所以an2=n,an=答案:n13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)若对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.因为an=n2-5n+4=(n-52)2-9由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1>an可得(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,且对任意的n∈N*恒成立,所以k∈(-3,+∞),所以实数k的取值范围为(-3,+∞).14.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=3n-λan2,若数列{b解:(1)因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)an+1,所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,所以an+1n所以ann=an所以an=n(n∈N*).(2)由(1)得,bn=3n-λn2.bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).因为数列{bn}为递增数列,所以2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<2·令cn=2·则cn+1cn=2·所以数列{cn}为递增数列,所以λ<c1=2,即实数λ的取值范围为(-∞,2).15.大衍数列