2023届高考数学特训营第3节-不等式性质与解不等式

第一单元第3节不等式性质与解不等式2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.会比较两个数(式)的大小.2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.3.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.4.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，且会解一元二次不等式1.不等关系与不等式性质逻辑推理数学抽象数学运算2.解一元二次不等式0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练

>＝<>＝<[思考]

比较大小还有别的方法吗？(1)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(2)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

b<a

a>ca＋c>b＋cac>bcac<bc

a＋c>b＋dac>bd

an>bn

{x|x>x2或x<x1}R{x|x1<x<x2}∅∅[提醒]

(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．(2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．[思考]如何解决一元二次不等式中的恒成立问题？

B2．[思想方法]求范围时巧用方程思想运用方程的思想，结合函数的性质，不等式的性质，可求解取值范围问题．【例】已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．

3．[知识外延]“穿根法”解不等式如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法(亦称穿针引线法)求解，具体步骤如下：通过移项、通分等方法将不等式化为左侧为关于未知数的整式，右侧为0的形式将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积的形式，其中各因式中未知数的系数为正，如(x－x1)•(x－x2)•…•(x－xa)>0从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿若不等式(未知数的系数均为正)是“>0”，则在数轴上方的区间找“线”；若不等式(未知数的系数均为正)是“<0”，则在数轴下方的区间找“线”；若不等式(未知数的系数均为正)是“≥”或“≤”，还要考虑区间端点值的取舍．如(x－1)2(x－2)•(x－3)>0的解集为(－∞，1)∪(1，2)∪(3，＋∞)【例】(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.1．[易错诊断]不等式－x2－3x＋4>0的解集为______．(用区间表示)答案：(－4，1)解析：由－x2－3x＋4>0可知(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.【易错点拨】未把二次项系数变正求解错误．

B

B解析：因为a，b∈R，且a>b，对于B，因为函数y＝x3在定义域R上单调递增，所以a3>b3，故B正确；对于C，若b＝0，则ab＝b2＝0，故C错误；对于D，若a＝1，b＝－1，则2|a|＝2|b|，故D错误．故选B.4．[真题体验](2020·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B等于(

)A．{－4，1} B．{1，5}C．{3，5} D．{1，3}解析：∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4，1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}．D02能力特训特训点1特训点2考向1比较大小典例1

(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空)．特训点1不等关系与不等式性质【多维考向类】答案：(1)＞(2)A解析：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

ABC

C

②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．解决有关不等式性质问题的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．考向3不等式性质的应用典例3已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案：(－4，2)

(1，18)解析：因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.◎思维发散◎1．将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围．解：因为－1<x<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，－4<x－y<4.

①又因为x<y，所以x－y<0，

②由①②得－4<x－y<0，故x－y的取值范围是(－4，0)．2．将本例条件改为“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范围．利用不等式性质求某些代数式的取值范围的注意点解决该类问题应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．答案：[－1，7]解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1，7]．特训点2解一元二次不等式【多维考向类】(2)解不等式：0＜x2－x－2≤4.解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法典例5解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．[解题指导]先整理不等式→根据二次项系数的参数进行分类讨论→分解因式→求解一元二次不等式．解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.

解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．考向3一元二次不等式的恒成立问题典例6函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．[解题指导](1)二次项系数为正→整理不等式→由Δ≤0求出参数a的取值范围．(2)给定区间上的恒成立问题→整理不等式→构造函数→结合二次函数的对称轴和图象进行具体分析求解．解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.所以实数a的取值范围是[－6，2]．(2)对于任意x∈[－2，2]，f(x)≥0恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立．令g(x)