第04讲 直线的斜率与倾斜角（四大题型）（解析版）

第04讲直线的斜率与倾斜角【题型归纳目录】题型一：直线的倾斜角与斜率定义题型二：斜率与倾斜角的变化关系题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数题型四：直线与线段相交关系求斜率范围【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②轴正向；③小于的角．2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．知识点二：直线的斜率1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．知识点诠释：（1）当直线与x轴平行或重合时，，；（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：（1）由、点的坐标求的值；（2）已知及中的三个量可求第四个量；（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；（4）证明三点共线．【典例例题】题型一：直线的倾斜角与斜率定义【例1】（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（）

A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【解析】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．故选：D【对点训练1】（2023·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.【对点训练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【解析】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．题型二：斜率与倾斜角的变化关系【例2】（2023·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线的倾斜角分别为，显然，且，所以，又在上单调递增，故，所以.故选：C【对点训练3】（2023·福建宁德·高二统考期中）已知直线过，两点，且倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线过，两点，且倾斜角为，所以，解得，故选：C.题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数【例3】（2023·山西晋中·高二统考期末）经过点的直线的斜率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由斜率公式可得：，则经过点的直线的斜率为2故选：D【对点训练4】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知直线斜率等于，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该直线的倾斜角为，则由，得，又，所以.故选：D.【对点训练5】（2023·浙江·高二校联考期中）已知，，三点共线，则实数（

）A．10 B．4 C．－4 D．－10【答案】A【解析】由题可得：，故选：A题型四：直线与线段相交关系求斜率范围【例4】（2023·广东梅州·高二校联考阶段练习）已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，故选：B【对点训练6】（2023·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.【对点训练7】（2023·广东肇庆·高二校考期中）已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意：如下图所示：所以，，则，若直线的倾斜角，则，所以，故选：.【真题演练】1．（1995·全国·高考真题）图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象可得，，故选：C2．（2004·浙江·高考真题）直线与直线的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，两条直线的夹角为，故选：A3．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于___________.【答案】/0.5【解析】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知.由得：，即，又，∴.故答案为：【过关测试】一、单选题1．（2023·高二课时练习）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.故选：D.2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.3．（2023·吉林白城·高二统考期末）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，则，又，所以．故选：C．4．（2023·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：C.5．（2023·山东临沂·高二统考期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A6．（2023·北京·高二北师大实验中学校考期中）已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【解析】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，故直线的斜率为.故选：C.7．（2023·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则当斜率时，由斜率的定义及正切函数的图像和性质可知：直线的倾斜角的取值范围为.故选：D8．（2023·湖南怀化·高二校考阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设直线交线段于点，记点，如下图所示：当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，此时直线的斜率；当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，此时直线的斜率.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：C.二、多选题9．（2023·福建泉州·高二校考阶段练习）若直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则直线l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】令点，依题意，直线l与x轴的交点在线段上（不含端点B，C），如图，直线斜率，直线斜率，因此直线l的斜率或，所以直线l斜率的取值可能是或1.故选：BC10．（2023·湖南郴州·高二校考期中）在下列四个命题中，错误的有（）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为【答案】ACD【解析】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误;对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确;对于C,因为且，所以,所以C错误;对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误.故选：ACD11．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在中，若直线的斜率为，则角大小为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，则，所以或故选：BC12．（2023·高二课时练习）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（

）A．－8 B．－5 C．3 D．4【答案】AD【解析】由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选：AD．三、填空题13．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．【答案】/【解析】因为过两点的直线的斜率为：，因为，是直线的倾斜角，且所以直线的倾斜角为：．故答案为：.14．（2023·江苏·高二假期作业）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是______．【答案】【解析】因为直线（为常数）的斜率为，所以直线的倾斜角满足，因为，所以或，即直线的倾斜角的取值范围是.故答案为：15．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．【答案】【解析】由题意知，所以，即，化简得，解得或当时，重合，不符合题意舍去，当时，，符合题意，所以，故答案为：16．（2023·高二课时练习）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

【答案】【解析】根据图形，∵直线的斜率是，直线的斜率是，∴过点的直线与线段有公共点时，直线的斜率的取值范围是．故答案为：．四、解答题17．（2023·江苏·高二假期作业）已知．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【解析】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率，故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD的斜率的变化范围是．

18．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．【解析】（1）因为，，所以因为直线与线段有公共点，所以由图可知直线的斜率满足或，所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，所以的取值范围是．19．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．【解析】（1）由斜率公式得：，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；（2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到，∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为．20．（2023·河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：(1)；(2).【解析】（1）因为，，所以，所以A，B，C三点不在同一条直线上.（2）因为，，所以.又直线DE与直线DF有公共点D，所以D，