专题10以抛物线为情境的探索性问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练10以抛物线为情景的探索性问题典例分析类型一、有关直线存在性的探索1．已知抛物线上的点到准线的距离为a．(1)求抛物线C的方程；(2)设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；.【分析】（1）由题意可列出的方程组，计算求解即可；（2）设直线l的方程为，、，联立方程组得出、，根据题意可求出的值，可求出的直线l方程.【解析】(1)由题可知：，∴抛物线C的方程为；(2)假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，、，则，、，由，得，由题可知：，∴，∴，故存在满足题意的直线l，直线l的方程为.2．已知抛物线的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合．(1)求抛物线的标准方程；(2)是否存在过焦点F的直线，使得与抛物线和圆顺次交于A、B、C、D四点，并且、、满足？若存在，求出直线的方程．【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）求得圆心坐标，半径，根据题意，得到，即可求得抛物线的方程；（2）根据，得到，设的方程为，联立方程组求得，结合抛物线的定义，列出方程求得，即可求解.【解析】(1)由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，因为抛物线的焦点与圆心重合，可得，解得，所以抛物线的方程为.(2)如图所示，可得，因为，可得，所以，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，由抛物线的定义，可得，即，所以，所以直线的方程为.类型二、有关三角形面积最值得探索1．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两个不同的动点A、B满足．(1)求的重心G的轨迹方程；(2)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，【分析】（1）根据重心性质，利用A、B、O坐标表示出重心坐标，然后利用A、B坐标满足抛物线方程化简可得；（2）设直线方程，联立抛物线方程解出A、B坐标，然后由面积公式结合基本不等式可得.【解析】(1)设，则…①，…②，又，代入②可得…③因为，所以，可得由①可得，代入③整理可得重心G的轨迹方程为(2)设OB方程为，代入解得或，则，同理可得，所以，当且仅当时，．2．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；最小值为64，此时直线l的方程为【分析】（1）先求出椭圆的焦点，从而可求得的值，求出，进而可得抛物线的方程，（2）由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标，则利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值【解析】(1)由椭圆，知．又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．所以，则．所以抛物线的方程为．(2)由抛物线方程知，焦点．易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由消去y并整理，得．．设，，则，．对求导，得，∴直线AP的斜率，则直线AP的方程为，即．同理得直线BP的方程为．设点，联立直线AP与BP的方程，即．，点P到直线AB的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立．所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．类型三、有关定点存在性的探索1．已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率分别为的两条直线，若与抛物线的另一个交点分别为，且有，探究：直线是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.【答案】(1)；(2)直线恒过定点【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；（2）设，，利用斜率公式表示出，得到；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由此可得，可得，由此可得定点坐标.【解析】(1)在抛物线上，，解得：，抛物线的方程为：.(2)由（1）得：；设，，则；同理可得：；，，整理可得：；当直线斜率为时，其与抛物线只有一个公共点，不合题意；当直线斜率不为时，设，由得：，则，，解得：；，则直线过定点；综上所述：直线恒过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2．如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)直线过定点.【分析】（1）利用定义法求点的轨迹的方程；（2）直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据得，即得解.【解析】(1)由题得,所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆.所以，所以椭圆的方程为.所以点的轨迹的方程为.(2)由题得点,设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程为得，所以.设，所以.所以直线方程为，令得，同理,因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线过定点.3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线，，直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E两点，且当的斜率为1时，．(1)求抛物线C的方程．(2)若点M，N满足，，探究：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是，直线MN过定点.【分析】（1）设直线：，联立抛物线并整理，由韦达定理得，根据已知焦点弦长及抛物线的定义列方程求参数p，即可得抛物线方程.（2）由（1）可设：，则：，联立抛物线方程求M、N坐标，进而写出直线MN的方程，即可判断定点坐标.【解析】(1)设，，依题意，，当的斜率为1，直线：，联立，消去x得：，则，故，解得，故抛物线C的方程为．(2)由（1）知：．根据题意，直线的斜率存在且不为0，设：，则：．设，由，消去y可得，，则．因为M为线段AB的中点，所以，则，所以，同理，则，直线MN：，即，则直线MN过定点．类型四、有关定值存在性的探索1．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．(1)求的轨迹的方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在定点，使得线段的长度为定值2；理由见解析【分析】（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论.【解析】(1)由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，则动点到点的距离与到直线的距离相等，故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，则焦准距，故的轨迹的方程为：；(2)由题意，直线MN的方程为，由题意可知，由，消去y得：，，设，则，故，同理可求得，所以直线AB的斜率，故直线AB的方程为：，故直线AB过定点，设该点为,又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，由于,,故以EF为直径的圆的方程为，故存在定点，使得线段的长度为定值2.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错.巩固练习1．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于､两点，与轴交于(1)当，时.求的值；(2)当点重合时，点关于轴的对称点为点，试问直线是否过轴上的定点？若是，请求出点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)过定点，定点为.【分析】（1）根据已知条件求得直线方程，联立直线方程和抛物线方程，根据抛物线的定义，即可容易求得结果；（2）设出的坐标，根据三点共线，结合直线与抛物线联立后韦达定理的应用，即可求得直线恒过的定点.【解析】(1)根据题意可得直线方程为：，联立方程，消去得：，则，由抛物线定义可知：.(2)由于关于轴对称，设，则，又，因为三点共线，，即，化简得：.显然直线的斜率不为，设其方程为，联立，得，当时，则，则，解得，故过轴上的定点.【点睛】本题考察抛物线的定义，以及抛物线中的定点问题，解决问题的关键是合理使用韦达定理，属综合中档题.2．已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．①求证：．②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，【答案】(1)抛物线H的方程为；(2)证明见解析；存在点，使得为正三角形，理由见解析.【分析】(1)由条件列方程求参数，由此可得抛物线H的方程；(2)设直线，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；【解析】(1)因为抛物线的方程为，M抛物线上且的横坐标为5，所以M的纵坐标为，当点的坐标为时，过点作，垂足为,因为，所以，所以又，所以，所以，所以，又所以，同理当点的坐标为时，所以抛物线的方程为；(2)①设直线，,由，得，则.，，所以，所以②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;，则，则，则，而，由得，，所以存在点.【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题3．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）作出辅助线，利用抛物线定义及中位线得到AQ＝AB，从而得到倾斜角的余弦值及正切值，即直线l的斜率；（2）先求出p＝1，设出直线方程my＝x－，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，假设存在实数λ，得到等量关系，求出λ的值.【解析】(1)由已知可得DN为抛物线的准线．设直线l的倾斜角为α.如图所示，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．则BH＝BF，AG＝AF.作BQ⊥AG，Q为垂足，则QG＝BH.因为B为线段AC的中点，所以BH为△ACG的中位线．所以BH＝AG＝AQ，所以AQ＝AB.所以cosα＝cos∠QAB＝，所以tanα＝，所以直线l的斜率为.(2)存在，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：因为正方形DFMN的边长为1，所以p＝1，因此抛物线的方程为：y2＝2x.可得.设直线l的方程为my＝x－，A（x1，y1），B（x2，y2），.联立，化为：y2－2my－1＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－1.假设存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3，则，左边＝，所以，解得：λ＝2.因此存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．(1)求p；(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【答案】(1)p＝2(2)直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)【分析】（1）由焦点到圆心的距离加半径等于可求得；（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，得点坐标，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标，利用韦达定理的结论化简可得．【解析】(1)由抛物线的方程可得焦点F(0，)，圆M：(x+4)2+y2＝1可得圆心M(﹣4，0)，半径r＝1，F到圆M的最大距离为：|FM|+r1，由题意可得11，p＞0，解得：p＝2；(2)由(1)得抛物线的方程为：x2＝4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，由题意可得D(x2，﹣4)，所以直线AD的方程为：y+4(x﹣x2)x，令x＝0，可得y0，所以直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)．5．已知抛物线过点，O为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，坐标为【分析】（1）点坐标代入抛物线方程可得答案；（2）假设抛物线上存在点，设经过O，M，N三点的圆的方程为，代入三点坐标可得①，求出抛物线在点处的切线的斜率，直线NC的斜率，根据乘积为可得②，由①②消去E可得答案.【解析】(1)抛物线过点，，抛物线方程.(2)已知O，M的坐标分别为，，抛物线方程，假设抛物线上存在点（且），使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线.设经过O，M，N三点的圆的方程为，则，整理得①，∵函数的导数为，∴抛物线在点处的切线的斜率为，∴经过O，M，N三点的圆C在点处的切线斜率为，∵，∴直线NC的斜率存在.∵圆心的坐标为，∴，即②，∵，由①②消去E，得，即.∵，∴，故满足题设的点N存在，其坐标为.6．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且它们的一个交点为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设点，，若过的直线与抛物线交于不同的两点，，且直线与抛物线交于点（不同于点），问直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，定点【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得抛物线的方程；（2）直线的方程为，联立方程组，求得，又由直线的方程为，联立方程组得到，进而得到，结合直线，即可得到直线经过定点.【解析】(1)由题意，可得，即，可得，即，解得，即，所以抛物线的标准方程为.(2)由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立方程得，整理得，则，，得，直线的方程为，与抛物线方程联立，整理得，设点，则，即，整理得，即，即，直线的方程为，即，即，所以直线的方程为，直线经过定点.7．已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)存在；【分析】（1）依题意得到方程组，即可求出，，从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出，从而求出抛物线方程；（2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据得到，再假设在轴上存在点，使得轴平分，则直线的斜率与直线的斜率之和为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，即可求出，从而求出的坐标；【解析】(1)由已知得，∴，．∴椭圆的方程为．∴椭圆的右顶点为．∴，解得．∴抛物线的方程为．(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0．设直线的方程为，，．由消去y，得．∴，∴．∴，．∴．∴．∴，∴．∴，此时．∴直线l的方程为．假设在轴上存在点，使得轴平分，则直线的斜率与直线的斜率之和为，设，，由消去，得．∴，即恒成立．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．解得．∴在轴上存在点，使得轴平分．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)能与圆相切；.【分析】(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于m、p的方程组，解之即可；(2)设点和直线AB方程，根据两点坐标表示直线斜率和韦达定理求得，可知直线AB恒过定点且该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出k即可.【解析】(1)由题意得，因为点在抛物线上，所以，由抛物线的定义，得，则，解得，所以抛物线C的标准方程为；(2)由(1)得，设点，则，所以，得；设直线AB方程为，有，所以，所以，得，所以直线AB方程为，即直线AB恒过抛物线内部的定点，又圆正好经过点，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时，所以直线AB方程为.9．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线，，直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E两点，且当的斜率为1时，．(1)求抛物线C的方程．(2)若点M，N满足，，探究：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)是，直线MN过定点.【分析】（1）设直线：，联立抛物线并整理，由韦达定理得，根据已知焦点弦长及抛物线的定义列方程求参数p，即可得抛物线方程.（2）由（1）可设：，则：，联立抛物线方程求M、N坐标，进而写出直线MN的方程，即可判断定点坐标.【解析】(1)设，，依题意，，当的斜率为1，直线：，联立，消去x得：，则，故，解得，故抛物线C的方程为．(2)由（1）知：．根据题意，直线的斜率存在且不为0，设：，则：．设，由，消去y可得，，则．因为M为线段AB的中点，所以，则，所以，同理，则，直线MN：，即，则直线MN过定点．10．已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.(1)求的值；(2)如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标.【答案】(1)；(2)存在，其坐标为或【分析】（1）设过点F的直线l的方程为，与抛物线方程联立，表达出焦点弦，再用基本不等式即可求解；（2）设直线l方程为，表达出斜率乘积，根据定值与变量无关可得方程组即可求解.【解析】(1)设过点F的直线l的方程为，记l交抛物线于，两点，直线l方程代入抛物线方程得：，所以有，所以.则，当且仅当时取等号.所以.(2)假设存在定点P，其坐标为，设直线l方程为，，.将直线l方程代入抛物线方程，得.∴，.∴.∵点为定点，∴，∴，即.∵直线l不过原点，∴.∴.∵为定值，∴∴，.∴存在定点P.其坐标为或.11．已知抛物线：，点在的焦点的右侧．且到的准线的距离是到距离的倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点．（1）求抛物线的标准方程；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）直线，理由见解析【分析】（1）由到的准线的距离是与距离的倍可得值，从而得到抛物线的方程和的坐标；（2）方法一：设直线的方程为，对分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论．【解析】（1）抛物线的准线方程为，焦点坐标为，所以有，解得，所以抛物线方程为，焦点坐标为．（2）直线，方法一：设，，设直线的方程为联立方程消元得，，所以，

，，显然，直线的方程为

，令，则，则，因为，所以

，直