第四章一元函数微分学的应用第一节微分中值定理第二节函数的性质第三节洛必达法则课件

第四章一元函数微分学的应用第一节微分中值定理

第二节函数的性质第三节洛必达法则

第一节微分中值定理

本节主要内容:

一.罗尔中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理一、罗尔中值定理

定义

导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点)．

费马（Fermat）引理函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，y=f

(x0)存在，f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))引理的直观意义:可导函数极值点处的切线平行于x

轴.定理

（罗尔中值定理）设函数y=

f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)；则在（a，b）内至少存在一个点a<

<b，使得f

(

)=0.例如,因为函数

f(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在闭区间[a,b]上必能取到最大值M

和最小值m,考虑两种可能的情况：

(1)若m=M,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M(或m),因而在(a,b)内处处有f

(x)=0，因此可取(a,b)内任意一点作为ξ，而使得f

(ξ)=0成立。定理的证明

(2)若m<M，因为

f(a)=f(b)，因此m、M不可能同时是两端点的函数值，即最小值m

和最大值M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设

f(ξ)=M，ξ∈(a,b).由条件(2)和费马定理推知f

(ξ)=0.

罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点

，在该点处的切线平行于x

轴(如下图）。

1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；

2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：两点说明：例连续内可导连续内可导例连续内可导

定理

（拉格朗日中值定理）设函数

y=f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少存在一点

(a<

<b)，使得

f(b)-f(a)=f

(

)(b-a)或二、拉格朗日中值定理注意到,罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。证明思想构造辅助函数法

由于证明这个定理，目前只有罗尔定理可用，因此想若能构造一个辅助函数

(x),使其满足罗尔定理的条件，同时想办法接近要证明的结论.则函数j(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理的条件(1)(2)

又作辅助函数所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点

,使即

f(a)-f(b)=f

(

)(b-a)定理的证明拉格朗日中值公式又称有限增量公式.

1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；

2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；

3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+

x∈(a,b)则有几点说明：拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点

，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线，其斜率为

推论1

设y=f(x)在[a,b]上连续，若在(a,b)内的导数恒为零，则在[a,b]上f(x)为常数.

推论2

如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f

(x)=g

(x)，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C．

设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论1知

f(x)=C所以例（P101）

证明：又因为即证明则f(x)在[0,1]上连续，又令x=0，得

定理

（柯西中值定理）设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g

(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在一点

∈(a,b)，使得

注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的一种特例。三、柯西中值定理使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相