人教A版高一（下）数学必修第二册6.2.4向量的数量积【教学课件】

高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）6.2.4向量的数量积第

6章平面向量及其应用学习目标了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.掌握向量数量积的定义及投影向量.会计算平面向量的数量积．目录CATALOG01.向量数量积的概念03.题型强化训练02.向量数量数量积的性质04.小结及随堂练习6.2.4向量的数量积01向量数量积的概念学习新知前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？在物理课中我们学过功的概念：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.其中θ是力F与位移S的夹角.学习新知如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.学习新知1.向量的夹角

已知两个非零向量

是平面上的任意一点,作

则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量

的夹角．

0≤θ≤π显然，当θ=0时，

同向;当θ=π时，

反向.如果

的夹角是，我们说

垂直，记作

.学习新知2.平面向量数量积的定义规定：零向量与任一向量的数量积为0．对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关．学习新知与以往运算法则的区别及注意点：学习新知思考：两个非零向量a与b的数量积符号和这两向量夹角θ的取值范围有什么关系？【练习】已知

ΔABC为锐角三角形，那么的值（

）A.小于零B.等于零C.大于零

D.不确定A学习新知例9：解：学习新知学习新知学习新知例10：解：02向量数量数量积的性质6.2.4向量的数量积学习新知3.投影向量

我们可以在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量设a，b是两个非零向量，

，过

的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到

，我们称这种变换为向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．MOM1N学习新知探究如图，设与

方向相同的单位向量为

，

与

的夹角为θ，那么与

，

，θ之间有怎样的关系？MOM1N学习新知图6.2-21NM1OMNM1OMMOM1N学习新知从上面的讨论可知，

学习新知探究从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，a在b上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？a与b方向相同a与b方向相反a·b=|a||b|a⊥b如果a·b=0，不能得出a=0或b=0.若a，b为非零向量，则a⊥ba·b=0a·b=-|a||b|a·b=0如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？学习新知4.数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则:

aa常记为a学习新知与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律.探究类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？对向量a，b，c和实数λ，有：学习新知平面向量的数量积证明向量的分配律：【证明】如图，任取一点O，作

，

，

，.设

与

的夹角分别

为

1,

2,

,它们在

上的投影分别为,,

与

方向相同的单位向量为

,则:

因为

，所以

，

则

，即:学习新知思考：设

是向量，

一定成立吗？为什么？对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量

，

不一定成立．这是因为是一个数量，所以表示一个与

共线的向量，同理

表示一个与

共线的向量，而

与

不一定共线，所以

不一定成立．即使

与

共线，受，以及，模长等影响，也不一定成立学习新知因此，上述结论是成立的．例11：学习新知学习新知02利用数量积求向量的模和夹角6.2.4向量的数量积第2课时向量的向量积学习新知例12：学习新知学习新知学习新知学习新知例13：学习新知学习新知学习新知补充练习1