2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l：x+y−1=0的倾斜角为(

)A.45° B.60° C.120° D.135°2.等差数列an中，Sn为其前n项的和，若a1=5，a10A.50 B.100 C.400 D.5003.已知μ=2,a−b,a+ba,b∈R是直线l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，若A.5a+b+2=0 B.5a−b+2=0 C.a=5,b=1 D.a=−5,b=−14.如图，已知三棱锥O−ABC，点M为AB的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示CM，则CMA.12b+c−a B.15.曲线y=x+lnx在点1,1处的切线方程是(

)A.y=x+1 B.y=x C.y=2x+1 D.y=2x−16.已知椭圆C:x24−m+y26+m=1A.−1,4 B.1,4 C.−6,4 D.−1,+∞7.若抛物线y2=2pxp>0上一点P6,y0A.y2=16x B.y2=12x C.8.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x在RA.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a>1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列双曲线中，以直线y=±2x为渐近线的是(

)A.x2−y24=1 B.y10.设圆C:x2+y2−2x−4y−20=0A.C的半径为5 B.l恒过定点3,1

C.l可能与C相切 D.当k=2时，l被C截得的弦长最短11.已知数列an的首项为1，且满足an+1+aA.a3=7 B.an是等比数列

C.an+1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列an中，a4+a8=20,a13.已知A0,1，B2,1两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a=

．14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，E是AD的中点，点P满足B四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知A2,0，B(1)求线段AB的垂直平分线l的直线方程；(2)若一圆的圆心在直线x+2y−2=0上，且经过点A,B，求该圆的方程．16.(本小题12分)已知函数fx=x3−a(1)求a的值；(2)求函数y=fx在−317.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，O是BD的中点，作CE⊥PB交PB于点E．(1)求PB与底面ABCD所成角的正弦值；(2)求证：PB⊥平面OEC；(3)求平面PAB与平面PCB的夹角的大小．18.(本小题12分)点M与定点F2,0的距离和它到定直线x=8的距离之比是1(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线x=8与x轴的交点为P，过点P作直线l与点M的轨迹交于A，B两点(A,B不重合)，设直线FA，FB的斜率分别是k1、k2，证明：k19.(本小题12分)若项数为n的数列an满足：ai=an+1−ii=1,2,3,⋯,n，我们称其为n阶的“对称数列”.例如：数列1，3，3，1为4阶的“对称数列”；数列8，4，3，(1)若数列an为7阶的“对称数列”，其中a1，a2，a3，a4(2)若数列an为2k+1k≥1阶的“对称数列”，其中ak+1，ak+2，…，a2k+1①求数列an的前2k+1项和S②若k=50，求数列an的前n项和Sn．参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.A

7.B

8.B

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.6

13.0或−2

14.1315.【小问1详解】因为A2,0，B所以AB的中点为(32,所以线段AB的垂直平分线l的斜率为kl即l的直线方程为y−32=【小问2详解】联立x−3y+3=0x+2y−2=0解得x=0，y=1，即圆心为(0,1)所以圆的半径r=所以所求圆的标准方程为x2

16.【小问1详解】因为fx=x因为x=a时fx所以f′a=3a2①当a=1时，f′x由f′x>0解得x>1或x<−13；由所以fx在−∞,−13∴x=a=1时fx取得极小值，不符合题意，所以a=1②当a=−1时，f′由f′x>0解得x>13或x<−1；由所以fx在−∞,−1,1∴x=a=−1时fx综上可得：a=−1．【小问2详解】由(1)可知，a=−1，fxfx在−32,−1，所以fx在−32,3又由于f−函数y=fx在−32,3

17.【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以PB在底面ABCD上的射影是BD，所以∠PBD为PB与底面ABCD所成角，在Rt▵PBD中，sin∠PBD=设底面正方形ABCD边长为2，则PD=DC=2，则BD=22，所以sin∠PBD=【小问2详解】因为PD⊥底面ABCD，CO⊂底面ABCD，所以PD⊥CO，又CO⊥BD，BD∩PD=D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴CO⊥平面PBD；又因为PB⊂平面PBD∴CO⊥PB；由已知CE⊥PB，CO∩CE=C，且CE⊂面OEC，

CO⊂面OEC，∴PB⊥面OEC；【小问3详解】以D为

坐标原点、DA为x轴、DC为y轴、DP为z轴建立空间直角坐标系；设底面ABCD的边长为2，则A(2,0,0)，B2,2,0，P0,0,2，所以PA=2,0,−2，AB=0,2,0，设平面PAB与平面PCB的法向量分别为m=x1则m⋅PA=0m⋅AB=0n⋅PC=0n⋅BC=0则平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值为m⋅所以平面PAB与平面PCB的夹角为π3

18.【小问1详解】设点M(x,y)，依题意，MFx−8即x−2整理得点M的轨迹方程：x2【小问2详解】证明：由题P8,0当l的斜率为0时，k1=k当l的斜率不为0时，则可设l的方程为：x=my+8，设Ax1,联立：x216+所以Δ=48m2−43m2+4又∵k∴==2m∴k综上所述，k1

19.【小问1详解】由题知a1，a2，a3，a4是等差数列，且所以a1=2a所以a2=4，由n阶的“对称数列”的定义可知：a5=a3=6所以数列an的每一项依次为2，4，6，8，6，4，2【小问2详解】①由题知：ak+1，ak+2，…，a2k+1是首项为1、公比为2所以ak+1所以S==2=2=②若k=50，则an为a1，a2，⋯，a50，a51依题意，a51，a52