2024-2025学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.圆x2+y2A.(2,−1) B.(−2,1) C.(4,−2) D.(−4,2)2.双曲线x2−y2A.2 B.2 C.223.已知函数f(x)=sinx，则f′(π4)=A.−22 B.12 C.4.已知椭圆C：x216+y29=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆CA.8+27 B.16−27 C.5.已知函数f(x)=ex(x3+a)A.(−4,0) B.[−4,0] C.(0,4) D.[0,4]6.若a0∈N，ai∈N∗(i∈N∗)则称表达式a0+1a1+1a2+1a3+1A.53 B.85 C.1387.点A(与原点O不重合)在抛物线y2=4x上，直线OA与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则|AC|的最小值为(

)A.22 B.4 C.48.图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线Γ：x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1(其中λ为正数)的一部分(图2).若P(x0,y0)是曲线A.1 B.2 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.我们称离心率相同的二次曲线相似.则二次曲线相似的为(

)A.2x2+3y2=1与x23+y22=1 B.10.已知数列{an}满足a1=1，且a2k−1，a2k，A.a2k−1=12k−1 B.a2k=11.已知函数f(x)=xex，g(x)=x，ℎ(x)=xlnx，若f(x1A.若x2=1，则x1，x2，x3成等比数列 B.若x2=e，则x1，x2，x3成等比数列

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆(x−a)2+(y−1)2=1与圆x2+y2=3相交于A13.过点(−1,0)作曲线x2=2y的切线，写出其中的一条切线方程______．14.设数列{an}的前n项和为Sn.若数列{an}为各项均为正数的等差数列，S8−2S4=32，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1：4x+3y=10，l2：2x−y=10，l3：ax+2y+8=0(a为实数)，l1与l2相交于点M．

(1)若l3过点M，求a的值；

(2)设直线l316.(本小题15分)

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn+2=2an．

(1)求数列{an}的通项公式；

17.(本小题15分)

已知点Mi的坐标为(i,2i)，i=1，2，3，且以点M1为圆心的圆与y轴相切．

(1)过点M2作圆M1的切线l，求l的方程；

(2)圆M1上是否存在点P，使得点P到M218.(本小题17分)

已知函数f(x)=eax−aln(x+1)，a∈R．

(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；

(2)当x>0时，f(x)>1，求a的取值范围；

(3)证明：e19.(本小题17分)

已知椭圆Γ：x24+y2=1，平行四边形ABCD的四个顶点在椭圆Γ上，直线AB，AC，BD的斜率分别为k0，k1，k2．

(1)求直线AB，CD在y轴上的截距之和；

(2)若四边形ABCD为菱形，证明：直线AB，CD之间的距离为定值；

(3)若k1，k0，k2成等比数列，射线AC，参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.A

6.B

7.B

8.C

9.AB

10.BCD

11.ACD

12.−1

13.y=0(或2x+y+2=0)

14.116

15.解：(1)直线l1：4x+3y=10，l2：2x−y=10，联立4x+3y=102x−y=10，解得x=4y=−2，

即点M(4,−2)，将点M的坐标代入直线l3的方程：4a+2×(−2)+8=0，解得a=−1，

即a的值为−1；

(2)令x=0，2y+8=0，可得y=−4，

即16.解：(1)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn+2=2an，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2−2an−1+2，

即an=2an−1，

又S1+2=2a1，

即a17.解：(1)已知点Mi的坐标为(i,2i)，i=1，2，3，且以点M1为圆心的圆与y轴相切，

则点M1为圆心的圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=1，

则圆M1的圆心为(1,2)，半径为1．

又M2(2,4)，

又过点M2作圆M1的切线l，

当直线l的斜率不存在时，直线x=2与圆M1相切，

当直线l的斜率存在时，不妨设为y−4=k(x−2)，

则|2−k|1+k2=1，

即k=34，

即直线方程为3x−4y+10=0，

即l的方程为x=2或3x−4y+10=0；

(2)设点P(x,y)，根据点P到M2，M3距离之比为22．

可得：(x−2)2+(y−4)2(x−3)2+(y−8)218.解：(1)当a=−1时，f(x)=e−x+ln(x+1)，x>−1，

所以f′(x)=−e−x+1x+1=ex−(x+1)(x+1)ex，

设φ(x)=ex−(x+1)，则φ′(x)=ex−1，

当x∈(−1,0)时，有φ′(x)<0，

所以φ(x)在区间(−1,0)上单调递减，

当x∈(0,+∞)时，有ϕ′(x)>0，所以φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增，

所以φ(x)≥φ(0)=0，即f′(x)≥0，

所以f(x)的增区间为(−1,+∞)，无减区间；

(2)f′(x)=aem−ax+1=a[(x+1)em−1]x+1,x>0，

(1)当a=0时，

有f(x)=1，与f(x)>1矛盾；

(ⅱ)当a>0时，

有(x+1)eax>1，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，

故f(x)>f(0)=1，满足题意；

(ⅱi)当a<0时，

设g(x)=(x+1)eax−1，x>0，

则g′(x)=aeax(x+1+1a)，

当a≤−1时，

由x+1+1a>0，得g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，

所以g(x)<g(0)=0，

即f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，

故f(x)>f(0)=1，满足题意；

当−1<a<0时，

若0<x<−1−1a，则g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0，

即f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减，

故f(x)≤f(0)=1，与f(x)>1矛盾；19.解：(1)设两条平行线AB，CD的方程分别为y=k0x+m1，y=k0x+m2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k0x+m1x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k02)x2+8m1k0x+4m2−4=0，

此时Δ=16(4k02+1−m12)>0，

解得4k02+1>m12，