《浙江大学数学分析考研考点编含历年真题解析》

《浙江大学数学分析考研复习精编》1/219版权所有翻印必究《2019浙江大学数学分析考研复习精编》电话400-666-0985QQ400811356710/205目录Ⅰ序言 5Ⅱ考前必知 7一、历年报录情况 7二、学费与奖学金 7Ⅲ复习方略 9Ⅳ考试分析 11一、考试难度 11二、考试题型 12三、考点分布 12四、试题分析 14五、考试展望 14Ⅴ复习指南 15Ⅵ核心考点解析 31《数学分析》 31第一章函数 31第二章极限 35第三章函数的连续性 44第四章导数、中值定理及导数的应用 49第五章不定积分 60第六章定积分 64第七章级数 80第八章多元函数微分学 99第九章重积分 114第十章曲线积分与曲面积分 125Ⅶ往年真题试卷与答案解析 137往年考研真题试卷 137浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 137浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 139浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 141浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 143浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 145浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 147浙江大学2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 149浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 150浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 151浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 153往年考研真题试卷答案解析 155浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 155浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 161浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 169浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 175浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 182浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 187浙江大学2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 192浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 198浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 203浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 211

Ⅰ序言《浙江大学数学分析考研复习精编》（以下简称《复习精编》）是一、主要内容考前必知：包括历年报录情况、学费与奖学金等，信息面全、可靠性高，考生可对专业课的考研情况了如指掌。复习方略：详细阐述考研专业课高分复习策略，推荐最有价值的相应复习参考书目，考生可根据自己的实际情况，制定属于自己的最佳复习方略。考试分析：包括考题难度分析、考试题型解析、考点章节分布、最新试题分析、考试展望等，使考生在复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解，迅速掌握复习重点、难点内容。复习指南：包括复习提示、知识框架图。复习提示揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提示各章节复习重难点与方法；知识框架图构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。有助于考生通晓各章节的主体内容和结构，快速形成学科体系、强化记忆。核心考点解析：去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便于高效复习。该内容相当于笔记，但比笔记更系统、更全面、重难点也更分明。往年真题试卷与答案解析：反复研究往年真题，能洞悉考试出题难度和题型；了解常考章节与重次要章节，能有效指明复习方向，并且往年真题也常常反复再考。该内容包含往年考研真题与答案解析，每一个题目不但包括详细答案解析，而且对考查重点进行了分析说明。二、主要特色立足教材，夯实基础。以指定教材为依据，全面梳理知识，注意知识结构的重组与概括。让考生对基本概念、基本定理等学科基础知识有全面、扎实、系统的理解、把握。注重联系，强化记忆。复习指南分析各章节在考试中的地位和作用，并将各章节的知识体系框架化、网络化，帮助考生构建学科知识网络，串联零散的知识点，更好地实现对知识的存储，提取和应用。深入研究，洞悉规律。深入考研专业课考试命题思路，破解考研密码，为考生点拨答题技巧。三、使用说明1、全面了解，宏观把握。备考初期，考生需要对《复习精编》中的考前必知列出的历年报录情况等考研信息进行全面了解，合理估量自身水平，结合自身研究兴趣，科学选择适合自己的研究方向，为考研增加胜算。2、稳扎稳打，夯实基础。基础阶段，考生应借助《复习精编》中的考试分析初步了解考试难度、考试题型、考点分布，并通过最新年份的试题分析以及考试展望初步明确考研命题变化的趋势；通过认真研读复习指南、核心考点解析等初步形成基础知识体系，并通过做习题来进一步熟悉和巩固知识点，达到夯实基础的目的。做好充分的知识准备，过好基础关。3、强化复习，抓住重点。强化阶段，考生应重点利用《复习精编》中的复习指南（复习提示和知识点框架图）来梳理章节框架体系，强化背诵记忆；研读各章节的核心考点解析，既要纵向把握知识点，更应横向对比知识点，做到灵活运用、高效准确。4、查缺补漏，以防万一。冲刺阶段，考生要通过巩固《复习精编》中的核心考点解析，全面研究往年真题试卷与答案解析，通过分析，提炼出命题思路和要点，有效把握专业课往年出题方向、常考章节和重点章节，做到主次分明、有所侧重地复习，并加强应试技巧。5、临考前夕，加深记忆。临考前夕，应重点记忆核心考点解析中的五星级考点、浏览知识点框架图，避免考试时因紧张等心理问题而出现遗忘的现象，做到胸有成竹走向考场。

Ⅱ考前必知一、历年报录情况专业201320142015201620172018年报考人数录取人数报考人数录取人数报考人数录取人数报考人数录取人数报考人数录取人数报考人数录取人数基础数学9515762471165918781510517计算数学6193211317305474605应用数学91177916658557455586运筹学与控制论31151659192121133统计学5396096010664气象学2352113134二、学费与奖学金（一）学费全日制硕士研究生8000元/生•学年。学校原有或另行规定并经省物价部门核准的研究生教育收费项目，按照原有或另行规定的收费政策执行。专业类型学费标准普通专业（以下专业以外）8000元/生·学年法律硕士（非法学）33000元/生·全程软件学院各专业40000元/生·全程社会工作48000元/生·全程国际商务硕士、税务硕士60000元/生·全程金融硕士、会计硕士80000元/生·全程工商管理硕士(全脱产)138000元/生·全程工商管理硕士（GEP项目）180000元/生·全程（二）奖助学金1.有关浙江大学奖助学金具体规定及注意事项请见研究生院网站(网址：/)。2.学校按照国家和学校规定评选国家奖学金及各类专项奖学金。3.学校设置学业奖学金，硕士生8000元/学年，奖励对象为全日制非在职研究生，但不包括以下类型的研究生：金融硕士、国际商务硕士、税务硕士、社会工作硕士、会计硕士、法律硕士(非法学)、工商管理硕士、软件学院各专业。"强军计划"、"少民骨干计划"、"对口支援计划"国家其它政策扶持的在职研究生，可向学校申请另设的专项学业奖学金。4.学校设置岗位助学金(含国家助学金等)，全日制非在职硕士生学校资助部分为700元/月，导师资助部分按照学校及院系制定的标准发放。每学年发放12个月。5.学校和导师根据实际需要设立助研、助教、助管岗位，并根据岗位工作发放津贴。6.电子与通信工程、集成电路工程、光学工程、动力工程等四个工程硕士领域的全日制招生纳入浙江大学工程师学院，实行专业学院和工程师学院双重管理模式。7.家庭经济困难的研究生，学校设立了绿色通道，可申请助学贷款等。8.外国来华留学生学费及资助方式按国家和学校另行制定的规定执行。

Ⅲ复习方略819数学分析是最基础的课程，开始出现到现在有几百年了，没有别的方法，只有不断地做题，看真题，看书，反复做，反复看，而且不止一本的看，因为这两门课太基础了，题目很多很多，只有用功看，另外也要结合历年真题，有重点的看，难易结合的看。数学专业课每天花8小时以上不为过，关于专业课参考书，首先以教材为主，数学分析，裴礼文的书为主，还有谢惠民的《数学分析习题课解答》都很经典，考生们尽量把后面的习题做完，那里面的习题相对来说是比较常见的。关于考研准备时的交流和答疑，建议是找老师讨教或者在图书馆或者网上检索看看里面有无相似例题或者引理，后一种方法可谓是事半功倍的。关于网络资源的利用，在这里给考生们推荐两个比较好的数学网站，博士数学论坛和厦门大学精品课程网，还有复旦大学的课程网站，里面有内部的一些资料，还有学生在学习过程的讨论，很有意义和共鸣。考生们要把课本好好的过一遍，现在就可以开始，课后习题要全做一遍。当然那些难的题目就可以放弃了，有些证明复杂，非常有技巧性的题目也就看看。对于选择钱吉林的书还是裴礼文的，考生反映裴礼文的教材相对较好。因为做钱吉林的书，考生们所看到的是题目和解答，思路仅限于这道题目和相类似的题目，在解题思路和技巧上提高的并不多。但是裴礼文的会教给考生很多方法，这在每部分开始时讲明，然后他选的题目也挺好的。最后不管看钱吉林的还是裴礼文的，一本书都要看好几遍才可以，如果只是草草的翻着看看，基本上收获都不会很大。先把书上的题做做，不用非要按顺序来，可以先挑几章自己感兴趣的做。还有一定要把时间安排好，不能三天打鱼两天晒网哦。看第一遍书时要把那些比较好的题目做上记号。第二遍时，只看那些做记号的了，是“做”不是“看”，做时再从中挑出还是不会做的，找个本子记下来，题目和解题方法。第三遍时就不用看那本书了，只看本子，那上面才是精华。记得把那些解题的思路，还有那些相关的题目也要标记下，方便记忆。其实，数学的东西，有很多是需要记忆的，一些东西还是在做题的过程中一点一滴的回忆慢慢形成反应哦，只有这样才可以在考场上灵活应变。考研使用教材：819数学分析科目考研参考书目：《数学分析》（第三版）（上、下），华东师范大学编著，高等教育出版社601高等代数科目考研参考书目《高等代数》（第三版），北京大数学系编著，高等教育出版社；

Ⅳ考试分析一、考试难度1.考试难度浙江大学数学系应用数学专业课考试科目是819数学分析与601高等代数，从历年的真题来看，考试的难度适中。考生们一定要注意基本知识基本概论的运用，才能从容应对。对于数学分析这门课，主要是围绕极限与导数，然后微积分基本定理，然后由常义积分推广为广义积分，由一元扩张为多元，曲线积分，曲面积分，含参变量积分，还有与之紧密联系的级数，数列级数，函数项级数，幂级数，这些都是分析里面的精髓。其中证明题以一元函数为主，计算题偏向多元，曲线曲面积分，Gauss公式，这些都是常考点，在真题中几乎年年出现，这门课只有多做题，多思考才能得高分。通过近几年的真题分析，可以发现在数学分析的命题上，有如下规律：总分150分，计算题占到40到60分，剩余为证明题，计算题为极限，不定积分，广义积分，含参变量积分，曲面积分都有，证明题的话偏向一元函数。在每年的试卷中，知识点分布基本比较均匀，但是也稍有侧重，多元里的一些公式和定理比如梯度，方向导数都很少涉及，Fourier级数这一块偶尔碰到，考生复习时可以了解即可，但是一元的东西尤其是收敛性的判别，以及各种级数的收敛证明，含参变量积分的求值一定要重点复习，必考。重要的已考点：在真题中，很多考点会反复出现，一方面告诉考生这是重点，一方面可以帮助考生记忆重要知识点，灵活掌握各种解题方法，所以对于反复考查的知识点，一定不要局限于答案，而要对答案进行变化。有些考点反复考查，但是经常变换题型，比如，在含参变量的考查上，分区间讨论这一方法频繁出现，可能是计算题求值，也可能是证明题证明某个区间上收敛，某个区间上发散。每年都以不同的方式出题，知识点和方法却是相同的，所以，集合真题复习的过程中，针对每个知识点，考生应该广开思路，多加积累方法，一些经典的题目的经典解法一定要理解透，研究透，还有一些重要的结论，公式也要记住，这些对考生解题思路和速度都有帮助，还让考生信心倍增。还有，在复习时，应该将所学的知识点，形成一个网络，这样不但有利于对知识点的掌握，同时有利于提高应试能力。从多年的历年真题分析看，很多题目都是华师大教材课后习题的变形，这就是说，在数学分析的复习过程中，应基于课本，华师大的课后习题质量还是非常高的，要做到课后习题基本会做，会举一反三，课后习题所涉及的知识点都已掌握，这样，无论题目如何变化，都能够取得理想的成绩。2.出题风格浙江大学数学分析科目考试试卷真题难度适中，偏向于对基本知识点的考查，而且每一年的题目基本上都是稳定的，涵盖计算题，证明题，侧重点各有不同，考查的知识点不尽相同考生在备考复习过程中，最初要全面的复习参考科目的知识，后期要结合一些著名的习题集和真题复习，只有训练到位，才能得心应手。二、考试题型数学分析考试题型只有计算题和证明题两种。1.计算题每年的试卷中，计算题占到40分到60分的分值，非常重要，但是题目较为基础，难度不大，重在对运算能力的考查，有不定积分，涉及到的方法有分部积分和变量代换，求解极限，一般用洛必达法则和等价无穷小，以及Taylor展开。广义积分就是分区间分别积分，有可能用到变量代换，重积分一定要分好区域再积分，还有积分号下含参变量的求导数，这都属于基础题，一定要拿全分。2.证明题证明题的范围涉及较为广泛，难度也各有不同，一元函数的连续，可微，可导，积分性质的应用就是一个很重要的考点，对知识脉络一定要清楚，广义积分和含参变量是第二个常考点，里面包含了分析的精华，收敛的判别，积分的求值，数列函数极限的分类讨论，也有可能出现实数基本定理，前几年出现了多元函数的一些内容，比如Possion积分，坐标变换，近几年没有出现，大家可以稍微放下，一般压轴题也会出现在数列，或者积分不等式或者等式的证明上，一句话，多做多看多思考。三、考点分布注：此处不再按指南的章节进行编排，而是基于考试大纲对内容进行了整合，整理成几大块熟悉的内容，这样更有利于复习（一）极限与连续年份考查知识点2007数列与函数极限2012-2014函数的连续性与一致连续2012连续函数的性质2015极限的性质2016柯西数列收敛准则（二）导数与微分年份考查知识点2008导数与微分基本运算2009微分中值定理2012函数的单调性与凹凸性2010不定型的极限计算2015-2016洛必达法则（三）一元定积分与反常积分年份考查知识点2008不定积分的计算2007-2012定积分的计算2012反常积分的计算2010反常积分的收敛判定2016三角函数的化简、积分不等式（四）实数完备性年份考查知识点2011单调收敛定理2012Cauchy收敛准则2008确界存在定理2008聚点定理（五）级数年份考查知识点2011数项级数的收敛2012正项级数的收敛2009一般级数的收敛2008幂级数2007-2013（很重要）函数项级数（六）多元函数微分学.年份考查知识点2012、2013多元函数的偏导数（七）多元函数积分年份考查知识点2013多重积分的计算2010曲面积分2011、2014Gauss公式（八）含参变量积分年份考查知识点2012含参变量常义积分2010广义积分一致收敛四、试题分析：以2016年为例浙江大学819数学分析2016年的考试真题总体不难，较简单，八个大题都没有出现生僻的知识点，考查的也较全面，题目综合度较高，考点涉及极限的求解与证明、函数的连续性与一致连续、Gauss公式、级数收敛、有限覆盖定理、区间套定理、一元函数的连续、可微、可导、积分性质的应用等等。从整体看，这份专业课试卷的难度不大，偏向于考查基础知识的应用，不存在难题和怪题。据往年的考研经验，题目大部分出自浙大李胜宏的《数学分析》原题，考生可以以这本书为复习重点。综上，2016年的考研真题虽较之前风格大变，但是难度趋于平稳，重点仍考查考生对指定教材的熟练程度，考查考生对课本基本概念的理解以及对知识的灵活应用。考查的知识点，题型也基本与过去相似。五、考试展望通过对历年真题及命题趋势的分析研究，今年，我们认为专业课考研真题会呈现以下趋势：（一）每个章节所要考查的知识点基本是和过去相似，课本上的基本概念，一些常用的公式，定义仍然是考试的热点。考生复习的过程中，可参照第三节所列出的各章节知识点和浙大李胜宏那本书来做题，掌握考试重点。（二）从题型上来看，仍然是计算与证明为主，题量以及题型会保持稳定。（三）根据上面的展望，可以列出今年考研有可能出现的知识点：（仅作参考）数学分析考查章节考查知识点极限与连续都可能涉及导数与微分微分中值定理一元积分学都可能涉及实数完备性可能性不大级数都可能涉及多元函数微分偏导数多元函数积分计算必考含参变量积分计算

Ⅴ复习指南《数学分析》第一章函数一、本章复习提示本章精简某些与中学数学相重复的函数概念，增加实数集有关的一些内容，如邻域，有界集，确界原理等。在历年的考题中，本章不是考是重点，考生只要了解一些简单性质的应用即可。在复习过程中，建议考生掌握基本的概念及求函数定义域、值域的常用方法，这些都是比较容易涉及的考点。二、本章知识框架图

第二章极限一、本章复习提示本章主要阐述了极限的相关内容。首先简要介绍了数列极限的概念，并给出了一些应用。然后介绍了函数极限概念及应用。在历年的考题中，本章会出现计算题和证明题，如求已知数列的极限、考查数列的收敛性、计算函数的极限和已知递推关系求极限等。在复习过程中，建议考生在复习数列极限时，首先要熟练掌握数列收敛的定义、判别法；然后通过练习总结数列的特征及不同的数列应用的方法。在复习函数极限时，考生需熟练掌握函数极限定义、存在的条件，并且不断总结计算方法。二、本章知识框架图极限极限函数极限

QUOTEQUOTE第三章函数的连续性一、本章复习提示本章综合了课本中第四章函数的连续性相关知识。首先从函数在一点的连续性为切入点，然后引出函数在区间上的连续性。其次，研究函数的性质，分别介绍连续函数局部性质，闭区间上连续函数的特殊性质，以及一致连续性。最后最初等函数的连续性做了简单的说明。在历年考题中，本章多以证明题的形式出现，常见的考题有判断函数的连续性与一致连续性；连续函数的性质，以及闭区间上连续函数的性质等。可见，一些连续函数的特殊性质是考试重点，如连续函数的价值性定理，根的存在性定理，一致连续性以及一致连续性定理。在复习过程中，建议考生要结合课本，并且以课本上面的例子和习题为主。在判断函数连续性时，可以采用定义法、左右连续法以及放缩法。判定一致连续时，也可以采用同样的方法。同时，考生在做课后习题中会遇到用利普希兹条件判定函数的一致连续，考生必须把它作为考点掌握。有关连续函数的性质主要会涉及到的考点有用连续函数的性质证明相关结论、构造辅助函数、利用区间套定理（比较难）、利用反正法、闭区间上连续函数的性质的运用、闭区间套定理、用反正法等来证明闭区间上函数的连续性。本章的知识都是《数学分析》中比较基础的一章，作为基础性的知识，希望考生复习时一定要重视。同时，考生在做本章课后习题会发现一些连续函数的性质存在很多等价形式，要求考生充分掌握此部分的内容，进行反复练习。二、本章知识框架图

第四章导数、中值定理及导数的应用一、本章复习提示本章是《数学分析》中第五章导数与微分，第六章微分中值定理及其应用的综合章节，是整个《数学分析》最基本也是最重要的一章。而我们所要掌握的是导数的定义及意义，左右导数的定义，微分与高阶导数的定义及应用。在各大高校的考研题中经常见到值定理的一些灵活应（用），其中包括费马定理，罗尔定理拉格朗日中值定理，柯西定理等。由于历年考题中经常运用导数的一些性质，例如研究函数的性质，因此考生在了解函数的性质之前考生必须熟悉单调性，极值问题，凸性，拐点及渐近线等基本概念的定义及相互之间的区别，具体的问题我们将会在下面的内容中体现。在历年考题中本章知识点涉及较多，其中常见的考点有全微分，偏导数。中值定理是历年考试中重中之重的考点，主要有拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，柯西中值定理以及费马定理等。在复习中，考生首先要掌握多种求导数的方法，如定义法，左右导数法，洛必达法则，参数方程法，隐函数求导法以及对数求导法等。其次，掌握微分中值定理中各个定理的适用条件以及用法，如拉格朗日中值公式，泰勒公式，费马定理的应用，罗尔中值定理，柯西中值定理等。最后，掌握导数在研究函数性质中的作用，例如研究函数的单调性，凹凸性，拐点等。以上这些内容考生在复习过程中都要作为重点知识来掌握。二、本章知识框架图

第五章不定积分一、本章复习提示本章是关于不定积分的定义与常用的求法，虽然内容不是很多，但是却是为定积分的学习打基础，因此关于几种常用的方法，例如换元积分法，分部积分法，三角函数有理式的积分法等都要掌握。在历年考题中，本章主要以计算题的形式出现，所以考生需掌握求不定积分的不同方法。在复习过程中，首先主要是要掌握原函数的定义，这是不定积分一章中最基础、最核心的内容。求不定积分的方法有许多种，主要包括公式法，直接积分法，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分法，三角函数有理式的积分法以及某些无理根式的积分法。二、本章知识框架图原函数与不定积分不定积分概念与基本公式不定积分的几何意义基本积分表第一换元法（“凑分”法）换元法与部分积分法第二换元法不定积分部分换元法有理函数的不定积分有理函数和可化为有理三角函数有理式的不定积分函数的不定积分某些无理根式的不定积分

第六章定积分一、本章复习提示本章综合了数学分析中的第九章定积分，第十章定积分的应用，第十一章反常积分以及第十九章含参量积分这四章的内容。首先从正常积分定积分为研究对象，在不定积分的基础上进行深入。然后研究了两类较为反常的积分——无穷积分和瑕积分，研究了它们的相关性质和收敛的判别。最后研究含参量的正常积分和含参量的反常积分。在历年的考题中，本章考题以计算题为主，一般以计算一个定积分为主要考查对象，常用分部积分法和换元积分法，建议考生在复习时一定要搞清楚。复习上，建议考生在复习定积分的计算与证明时，首先要熟练掌握定积分的定义，并且要会根据定积分的定义来计算定积分。其次，要掌握牛顿莱布尼茨公式，分部积分法，换元法，恒等变形，递推公式，奇偶变换等求定积分的一般方法。积分中值定理的应用在以后的学习中应用非常广泛，需要掌握牢固。反常积分是比较难掌握的一部分内容，在复习时，要注意掌握反常积分敛散性的判别方法；在反常积分的计算中利用变限积分的定义将反常积分转换为正常积分来计算。含参量积分是关于二元函数的参变量积分，是比较难得知识点，要掌握含参量积分一致收敛的判别方法，如定义法，柯西准则法，Abel与Dirichlet判别法等。含参变量反常积分的极限与连续性；含参量反常积分的计算方法，主要有积分号下求积分或者求导数，建立微分方程求解，以及级数解法，或者转化为其他积分进行计算。含参量正常积分的计算方法，主要有积分号下去极限，积分号下求导数，以及积分号下求积分等。二、本章知识框架图定积分定积分反常积分含参量积分

第七章级数一、本章复习提示本章综合了数学分析中的第十二章数项级数，第十三章函数列与函数项级数，第十四章幂级数和第十五章傅里叶级数这四章的内容。从第十二章开始我们开始研究有关级数的相关知识，从易到难，与前面知识的联系不太紧密。但是级数这一部分知识在考试中占了非常重要的地位。在历年的考题中，本章考题主要是计算题和证明题、计算题为主。一般以判别级数的敛散性为主要考查对象，主要包括正项级数敛散性的判别；交错级数的敛散性。条件收敛与绝对收敛的判别。函数列与函数项级数的一致收敛。幂级数的收敛半径，收敛域，收敛区间以及幂级数的展开式。复习上，建议考生要把本章节作为重点内容。常见的判别级数敛散性的方法有柯西准则，正项级数判别法，适用于交错级数的莱布尼茨判别法，以及定义法。注意区分条件收敛与绝对收敛，绝对收敛的判别法。函数列与函数项级数的收敛性判别是比较难的一部分内容，一致收敛的判别法中阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是两种常用的判别一致收敛的方法；一致收敛的函数项级数的性质如连续性，逐项求导和逐项积分。注意区分幂级数的收敛域与收敛区间；幂级数收敛半径的求法以及将一个函数展开称为幂级数。建议考生将傅里叶级数部分的内容放在最后一轮复习中，最后再看。二、本章知识框架图

第八章多元函数微分学一、本章复习提示多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，这章主要包括三大部分：多元函数的极限与连续；多元函数微分学；隐函数定理及其应用。本章知识点大多是建立在前面一元函数微分学的基础上，所以复习中考生可以适当结合，采取比较学习法。在历年考题中，本章主要考查计算题，一般是求偏导数或全微分，有时还会考查证明题，证明一个函数的可微性或连续性。利用一阶微分的形式不变性，结合链式法则，考生对这一知识点要多注意。考生还要注意切线或法线方程的求解问题。在复习中，首先是关于二元函数的一些极限理论，其中累次极限与重极限的区别及其求法在很多高校的考研题中体现，还有求二元函数极限的一些常用方法考生要作为重点知识来掌握。第二部分中要讨论多元函数的可微性及其应用，我们首先建立了关于二元函数的可微性，全微分，偏导数，方向导数与梯度等基本概念，接着是可微性的条件、复合函数的微分法，还有二元函数的中值定理及泰勒公式，多元函数求极值的方法等。在求多元函数偏导数中，涉及到很多方法，其中关于一阶微分形式不变性与链式法则是常用的而且在考试中涉及也会比较多。还有其他一些求偏导数的方法如直接法，先取对数在求导的方法，以及数学归纳法等，考生也需要进行一定的练习。二、本章知识框架图

第九章重积分一、本章复习提示本章是课本中第二十一章中重积分相关内容的总结，是在上一章曲线积分的基础上对几何图形积分的深化研究。主要介绍了二重积分和三重积分的相关计算，本章中涉及到一个重要的公式格林公式，由于与下一章联系较为紧密，所以在这里把格林公式的相关内容放到下一章中做研究。本章在历年考题中涉及的考题也比较多，几乎年年都会出题，对于常见的一些重积分的计算公式以及他们之间的转化需要熟悉。将重积分化为累次积分；用变量替换法来求重积分，求曲面的面积等，这些都是最基本的方法，也是考试的易考点，考生在复习中要将这些作为重点内容进行练习。在复习中，建议考生把重积分的计算作为重点内容。掌握一些常用的求解重积分的方法。例如：化累次积分法；变量替换法；对称法等。在求解累次积分过程中，化解时常常会遇到积分换序，考生要清楚在什么条件下积分可以交换顺序。积分等式和不等式的证明，类似于二重积分的计算，三重积分也有相应的计算方法，常见的有简单区域法；变量替换法；以及对称法；累次积分交换顺序时也要明确需要满足那些条件。由于本章知识点比较多，而且计算量比较大，不建议考生大量练习，只需要有针对性的做相应的练习即可，而且由于计算法则较多，希望考生能在临考之前进行第二次复习，加深印象，明确公式，并掌握各个公式的使用条件。二、本章知识框架图

第十章曲线积分与曲面积分一、本章复习提示本章综合了课本的第二十章曲线积分和第二十二章曲面积分，综合之后将曲线积分与曲面积分对应起来学习。首先讲解了第一型曲线积分和曲面积分的定义及计算公式，然后介绍了第二型曲线积分和曲面积分的定义及的计算公式，最后，阐述了他们之间的转化。在历年的考题中，本章多以计算题的形式出现，而且每年必考，希望考生在复习过程中一定要作为主要内容关注。虽然考题不多，但是考查了学生对概念的理解以及应用能力，对一些常用的公式考生一定要熟悉，曲面积分与曲线积分之间的转化，公式之间的转化都需要考生熟记。所以考生一定要给予本章足够的重视。在复习上，对第一、二型曲线积分与第一、二型曲面积分的定义的理解建议考生不要死记硬背定义，要从它们建立的模型上来理解，掌握模型的研究方法，能够区分各种模型之间的差异。第一型曲线积分的计算方法主要有参数方程法；转化为第二型曲线积分法；利用曲线方程简化为被积函数；利用曲线与被积函数的对称性等方法。第一型曲面积分的计算方法有曲面方程法，化为二重积分计算；化为第二型曲面积分；化为三重积分；利用对称性；利用曲面的方程简化计算等方法。第二型曲线与曲面积分的计算方法有参数方程法；格林公式；积分与路径无关性；利用曲线与坐标轴的垂直关系或曲面去坐标面的垂直关系；化为第一型积分等方法来计算。上述的这些方法希望考生可以作为重点内容来掌握。同时曲线积分与曲二、本章知识框架图

Ⅵ核心考点解析《数学分析》第一章函数一、综述1.邻域（1）称为邻域，其中>0。（2）称为的空心邻域，其中。（3）和分别称为的右邻域和左邻域，其中。2.确界★设给定数集，（1）上确界若存在数，满足①；②，都存在，使，则称为的上确界，记为。（2）下确界若存在数，满足①；②，都存在，使，则称为的下确界，记为。（3）确界原理①非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。②若数集有上（下）确界，则上（下）确界一定是唯一的。3、函数（1）函数定义给定两个非空实数集D和M，若有一个对应法则，使D内每一个数，都有唯一的一个数与它对应，则称是定义在D上的一个函数，记为，并称D为函数的定义域，称为函数的值域。（2）一些重要的函数★★★①分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数，常称为分段函数。例如符号函数狄利克雷函数★★★★黎曼函数★★★★②复合函数，其中。③反函数已知函数，若对，在中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个函数。称这个函数为的反函数。（3）初等函数基本初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类函数称为基本初等函数。初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。凡不是初等函数的函数，统称为非初等函数。二、解题方法★★1.考点1求函数的定义域，它的解法如下：①已知函数表达式，求定义域。常用方法是解不等式组。②已知抽象函数的定义域，求复合函数的定义域。常用方法也是解不等式组。2.考点2求函数值及函数的值域，它的解法如下：①求函数值。常用方法是代入法。②求函数表达式。求复合函数的表达式常用方法也是代入法。途径有两种，一种是由内向外，另一种是由外向内。求函数表达式是，也可用图像法。③求函数值域。常用方法是求函数的最大值与最小值。3.考点3求上下确界或证明确界的性质，常用方法是利用确界的定义。三、典型例题解析1.关于确界原理的应用例题1：设为非空数集，定义，证明：（1）（2）证明：（1）令，则由上确界的定义，，则有①对，有；②对，，使得；由下确界的定义有：（2）同理可证，令，则有相应的。2.周期函数的性质例题2：设为定义在上以为周期的函数，证明：若在上有界，则在上有界。证明：因为在上有界，则存在，对任意的，都有，设，令（表示几个周期），则有令，则有，则，则有，又则有，所以在上有界。3.求函数解析式例题3：已知，求解：令，则有所以即有所求函数为。

第二章极限一、数列极限1.数列收敛的定义★★★★（1）为数列，为定数，对，总存在正整数，当时，有，则称收敛于。记或。（2）对，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于。2．数列发散的定义：（2）存在，使得数列中无穷多个项落在之外，则一定不以为极限。3.数列极限的性质★★★（1）（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。（2）（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正数，有。（3）（保号性）若，则对任意一个满足不等式的，都存在正数，当时，。（4）（保不等式性）若，且，则。（5）（迫敛性）设，且，则。（6）（运算）若，则，。若，则。4.常用公式★★★★（1）有理式比（2），其中。（3）。（4）。5.充要条件①柯西准则★★★数列收敛的充要条件是：对总存在自然数，当，都有。②子数列法则数列收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限。6.单调数列★★★任何有界的单调数列一定有极限。且单调递增有界数列的极限为其上界。单调递减有界数列的极限为其下确界。二、函数的极限1．函数极限的定义★★函数在点的空心领域有定义，是一个确定的数，若对，使得当时，都有，则称趋向于时极限存在，且以为极限，记作。2．函数极限的性质★★★（1）（2）唯一性若存在，则它只有一个极限。（3）局部有界性若存在，则它在点的空心领域内有界。（4）局部保号性若，则对任意正数，存在的某一空心领域，使对，恒有。（5）不等式性若，且有成立，则，即。（6）（迫敛性）若，且有，则。3.运算（1）若，则（2），则4.充要条件★★（1）归结原则设在的空心领域有定义，则存在的充要条件是对任何以为极限且含于的数列，极限都存在且相等。（2）柯西准则设在的空心领域内有定义，则极限存在的充要条件是：，总存在，使对任何都有。5.单调有界定理★★设为定义在，则存在。6.两个重要极限★★★（1）（2）7.不定式极限（1）不定式极限的类型包括等，但都可经过变换化为。（2）洛比达法则★★★★①若。和在的空心领域内可导，且，且，则。②若。和在的空心领域内可导，且，且，则。③类似有单侧极限的不定式的洛比达法则。8.无穷小量与无穷大量（1）无穷小量①定义若函数的极限等于零，则称这个函数为无穷小量。②运算有限个（相同类型的）无穷小量之和仍为无穷小量。无穷小量乘无穷小量仍为无穷小量。③若，若则称为比高阶[或等价，或同阶，或低阶]无穷小。（2）无穷大量①所有以为极限的函数都仍为无穷大量。②若为的无穷小量，则为的无穷大量（其中在内都不为0），反之亦然。（3）当时，有下列常用的一组等价无穷小★★★★～；～；～；～；～；～；～；～；～；～等。求极限时，常可应用等价无穷小代换。三、典型例题解析1.一些常见数列的极限★★★（1）（为正数）（2）（3），特例证明：我们以第三个为例：当时，上述结论显然成立。现在设，则有欲使则只需，则取，当时，有，即类似地，可以得到。（4）求，其中解：若时，显然有；当时，若，则由，可得到若，则（5）证明解：令又因为则（6）求解：因为又因为则有上式又即有。2.数列收敛的结论（1）设，若，则；。（2）若，且，则。3.数列收敛的证明（1）单调有界定理例题1：证明数列，，……，（个根号），收敛，并求其极限。证明：显然数列单调递增，且有，又由题目得，则有则又故有即有界，由单调有界定理，可知数列收敛。（类似题目）已知，，求证数列收敛，并求它的极限。例题2：给定两个正数，，做出其等差中项与等比中项，一般地，令；，证明与皆存在且相等。证明：因为，根据题目有即又所以数列单调递减。由题目所以数列单调递增。又因为且单调递增，则有；且单调递减，则有；根据单调有界定理有极限都存在，设，则即4.函数极限一些相关结论（1）设，若在内有，不一定有。例如：取，，，则在内有，但是。5.函数极限例题1：设在内有定义，证明：若对任何数列，且，极限都存在，则所有的这些极限都相等。证明：取数列，，设；；下证构造数列：显然有，所以，故也收敛。又因为为的两个子列，则他们必然有相同的极限，即。例题2：设为狄利克雷函数，，证明不存在。证明：根据有理数与无理数在实数中的稠密性，则在有理数中取一列子列，我们有在无理数中取一列子列，我们有则由子列准则有函数数极限不存在。例题3：证明：若为周期函数，且，则证明：反证法：若，则存在，使得，设的周期为，则有。对任意的，可以构造一个数列，则有；故有归结原则，有，这与已知矛盾，故假设不成立，则。例题4：设函数在上满足方程，且，证明：，证明：反证法假设存在，使得，由在上满足方程，则有，则有为一数列。①当时，，又，则由归结原则可以知道存在。则有。②当时，，又，则由归结原则可以知道存在。，故有。综上所述，不管是或者是，总有，这与假设矛盾，故假设不成立，即，。

第三章函数的连续性一、连续函数1.连续的定义★（2）设在的右（或左）邻域内有定义。若，则称在点右（或左）连续。显然在连续的充要条件是：函数在点既左连续又右连续。（3）若函数在区间上每一点都连续，则称为上连续函数。对于区间端点上的连续性，按左、右连续来确定。2.间断点及其分类（1）函数的不连续点统称为区间点，间断点又分为两类①第一类间断点：都存在，A若，称为可去间断点。B若，称为跳跃间断点。②第二类间断点：至少有一不存在。3.一致连续函数★★★★（1）一致连续的定义设为定义在区间上的函数，若对，总存在，只要，且，都有，则称在上一致连续。（2）在区间上一致连续，则在上连续，反之不然。（3）在闭区间上连续，则在上一致连续。二、连续函数的性质★★★1.局部有界性若函数在点连续，则在点的某个邻域有界。2.局部保号性若函数在点连续，且，则存在的某个邻域，使得，其中，并存在某个正数b，使，。3.四则运算连续性若，都在点连续，则，，（其中）在点也连续。4.复合函数连续性5.有界性若在闭区间上连续，则在上有界。6.最值定理★若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。7.介值定理★★若在区间上连续，且（或），（或），则存在，使。8.根的存在性定理★★若在区间上连续，且，则在内至少有一个根。9.反函数连续性设在上严格递增（或减）且连续，则其反函数在相应定义域（或）上连续。三、一致连续函数的性质若在区间上连续，则在上一致连续。四、初等函数的连续性任意初等函数都是它在定义区间上的连续函数。由于初等函数的连续性在考试中很少涉及，考生只要在看课本的时候稍稍注意，知道那些函数是初等函数即可。五、解题方法★★1.考点1判断连续性解题方法：（1）定义法；（2）判断左右连续法；（3）放缩法2.考点2判断一致连续解题方法：（1）定义法；（2）放缩性；（3）用利普希兹条件3.考点3连续函数的性质解题方法：（1）利用连续函数的性质；（2）构造辅助函数法；（3）利用区间套原理；（4）利用有限覆盖定理；（5）用洛必达法则；（6）反证法4.考点4闭区间上连续函数的性质解题方法：（1）利用闭区间上连续函数的性质；（2）反证法；（3）用区间套原理。六、典型例题与解析1.函数连续性结论性题目设为区间上为递增函数，若为的间断点，那么必然是的第一类间断点。2.单调函数的连续性证明例题1：设为上的单调函数，定义，证明在上每一点都右连续。证明：根据，由为上的单调函数，则可以知道与均存在，故在上有定义，则任取，有，则任取，，当时，有，则对任意的，存在，当时，上式成立。令，则有，则对一切的，，即在点处右连续。由的任意性，故有在上每一点都右连续。例题2：若对任何充分小的，在连续，能否由此推出在连续。证明：，取，则有则有又因为在连续，则在连续，由的任意性，可以知道在连续。3、连续函数的性质例题1设在连续，且与为有限值，证明：（1）在内有界；（2）若存在，使得，则在证明：令则我们可以得到在连续。（1）由在连续，故在有最大值和最小值，即在有界，故有在有界。（2）设为在上的最大值若，则结论显然成立。因为，也是在内的最大值。若，因为为在上的最大值，故有，因为，则有，所以，且即有，且故必然在内取得则存在使得例题2：设在连续，满足，，设，，证明：（1）为收敛数列；（2）设，则；（3）若条件改为，，则。证明：（1）因为，则有单调递减，且，又单调有界数列必有极限，则有为收敛数列。（2）因为在连续，且，则有；即（3）由，且，即时，又由新条件，当时，，则

第四章导数、中值定理及导数的应用一、导数1.定义★★设函数在点某邻域有定义，若极限存在，则称在点可导，此极限值为在点的导数，记为。2.还有其他的几种表示3.左、右导数设在的某个右邻域（或左邻域）有定义，若右（或左）极限（或）存在，则称此极限在点的右（或左）导数，记为（）。4.导函数若函数在区间中每一点都可导，则称此函数为这个区间上的可导函数。记作或者是5.性质性质1若在点可导，则在点连续，反之不然。性质2存在与都存在，且=。性质3若函数在区间上可导，且，，则。性质4若在区间上与可导，且，则。6.几何意义在曲线上，是此曲线在点处切线的斜率。二、求导法则★★★1.四则运算公式若在可导，令则特别的。2.基本初等函数求导法则★★★★①②；③，特别地，④；⑤；⑥⑦；；⑧；⑨3.反函数求导公式设为的反函数，若在点的某一领域内连续，严格单调且。则在点可导，且，也可记为。4.复合函数求导公式若在可导，在可导，则复合函数在可导，且。简记为：。5.参变量方程的求导公式设（）则三、高阶导数★★1.定义如果存在，则称二阶可导，并称此极限的值为的二阶导数，记为。类似的可以定义，即。二阶以及二阶以上的导数统称为高阶导数，二阶导数还可以记为2.若，则四、微分★★1.定义若函数在的增量可以表示为的线性函数与较高阶的无穷小量之和，即，则称在点可微，并称为在点的微分。记为。函数在点可微和可导是等价的。2.可微函数若函数在区间每一点都可微，则称为区间上的可微函数，函数在区间上上任意一点可微记作。3.微分的运算法则①②③④4.可导与可微的关系函数在点可微存在，且这时。一般在的微分有。5.近似计算公式。6.二（高）阶微分设，若二阶可导，则二阶微分为。一般的成为阶微分。五、中值定理★★★★1.费马定理设在点的某领域有定义，且在可导，若点为的极值点，则。费马定理的几何意义非常明确，若函数在极值点处可导，那么在该点的切线平行于轴。2.罗尔定理★★★设满足如下条件①在闭区间上连续；②在内可导；③且则至少，使得。3.拉格朗日中值定理★★★★（1）设满足如下条件①在上连续；②在开区间内可导；则至少，使得。（2）拉格朗日定理的一些等价形式（3）若函数和均在区间上可导，且；则在区间上和只相差一个常数。即（4）导数极限定理若函数在点的某个领域内连续，在内可导，则在点可导，且4.柯西定理★★★★设满足①都在上连续；②与都在内可导；③且与在内不同时为零；④且；则使得六、泰勒公式及有限增量公式★★★1.泰勒公式（1）带有佩亚诺余项的泰勒公式设在处存在直到阶连续导数，在内存在阶导数，则，称为在处的泰勒公式。（2）带有佩亚诺余项的麦克劳林公式★★①②③④⑤⑥（3）带有拉格朗日余项的泰勒公式设在上存在直到阶连续导数，在内存在阶导数，则，其中。（4）类似于带有佩亚诺余项的麦克劳林公式一样，带有拉格朗日余项的泰勒公式也有相应的麦克劳林公式。2.有限增量公式若在点可导，则。七、用导数研究函数的性质★★★1.单调性（1）在内可导，则在内递增（或递减）的充分条件是（或），。（2）在内可导，则在内严格递增（或严格递减）的充要条件是（）且在内的任何子区间上。2.极值★★（1）设在连续，在的某邻域内可导若，；，则在取极大值。若，则在取极小值。（2）分条件：设在的某邻域内一阶导数，在点二阶可导，且。若，则在取极大值；若，则在取极小值。3.最大值与最小值设在上连续，在上几乎处处可导，设在内稳定点为，导数不存在点为，和分别为在上的最大值和最小值，则4.凸性（1）设在区间上二阶可导，则为上凸函数的充要条件是：。（ii）设为区间上的二阶可导函数，则为上凹函数的充要条件是。5.拐点（1）在点二阶可导，则点为曲线的拐点的必要条件是。（2）在点二阶可导，在内二阶可导，若在和上的符号相反，则在点为曲线的拐点。6.渐近线设（1）水平渐近线若，则为曲线的水平渐近线。（2）垂直渐近线若，则为曲线的一条垂直渐近线。（3）斜渐近线若且，则是曲线的一条斜渐近线。7.函数作图（略）八、典型例题与解析1.分段函数求导数例题1：研究函数在处的各阶导数。解：函数①1阶导数当时，有；当时，有；当时，有，则有综上所述：②2阶导数当时，有当时，有当时，有则有不存在。综上所述：。③3阶导数当时，有；当时，有；不存在。综上所述：。④当时，有。2.对数求导法例题1：求的导函数解：用对数求导法，对两边同时求对数；则有；则即3.莱布尼茨公式的应用例题1：设（1）证明满足方程；（2）求。证明：（1）因为；。（2）因为；对方程，两边同时求阶导，则有，由莱布尼茨公式有将代入，则有，即为的递推公式，又；，故有4.在处不可导的函数（1），在处连续但是在处不可导；（2），只在处可导，在其他点处不连续，则也不可导；（3），只在处连续。5.拉格朗日定理证明不等式例题1：设为上的二阶可导函数，，并且存在一点，使得，证明至少存在一点，使得。思路分析：在区间用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得：在区间用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得。则由为上的二阶可导函数，则有也满足拉格朗日中值定理，即存在，使得：6.柯西中值定理与拉格朗日定理的应用例题1设函数在点的某个领域内具有二阶导数，证明：对充分小的，存在，，使得证明：令；，由柯西中值定理可以得到：存在，使得又令，对用拉格朗日中值定理可以得到：存在使得：综上所述有：。令，则。例题2：设在上连续，在内可导，且，证明存在，使得。思路分析：可以化为，即则令；，定理得证。在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理有

第五章不定积分一、不定积分1.原函数的定义★★★★在某个区间内，若有，则称是在区间上的一个原函数，称（是任意常数）是的不定积分，记作，于是。2.性质（1）（2）（3）（，为常数）3.基本积分公式★★★★（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）二、不定积分的求法有一下几种1.直接积分法（一般是用基本积分公式）2.换元积分法★★★（1）第一换元积分法（即“凑微分法”）如何“凑微分”方法灵活多样，常见的可归类如下等等。（2）第二换元积分法第二换元积分法较多地用于无理函数的积分，通过变换去掉被积函数中的根号，简化积分。对于同一个积分，可能存在着不同的代换法，究竟选用什么样的变换才能凑效，完全由被积函数的特点所决定，可以灵活考虑。3.分部积分法★★★★若与可导，不定积分存在，则也存在，并且有，也常常写作。分部积分法主要用于被积式中含有对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数或者指数函数因子的情形，按“对反幂三指”的优先顺序选择而使用分部积分法。4.有理函数的积分★★这种类型积分的处理，一般来说，是把真分式（若是假分式，可化为多项式与真分式之和）分解为若干简单的部分分式之和，再分别求出每一部分的积分。5.三角函数有理式的积分★★★此类积分，一般通过万能代换，可把它化为有理函数的不定积分。但并不一定简便，所以再具体计算时，应该视被积函数的特点采用更为灵活简便的代换。6.某些无理根式的不定积分★★★（1）型不定积分。用代换可化为有理函数的不定积分。（2）型不定积分，可先通过配方、换元化为一下两种类型之一：，再分别令后，可化为三角有理式的不定积分。三、典型例题与解析1、原函数存在性问题结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。2、不定积分求法例题1：直接法求。解：例题2：第一换元法求解：由令，，则得到例题3：求解：例题4：分部积分法（常用）求。解：

第六章定积分一、定积分的相关知识点1.定义★设是定义在上的一个函数，在内插入个分点，令，若对，总，使得对上的任意分割，以及任取的，只要它的细度时，都存在实数，使得：成立，则称函数在区间上可积，数称为在在区间上的定积分，或者称黎曼积分，记作。2.几何意义设为闭区间上的连续函数，定积分的值是由曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。3.函数在区间上可积的条件★★（1）若在上连续，则在上可积；（2）若是上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积；（3）若是上的单调函数，则在上可积；在上可积的必要条件是在上有界，但是有界函数不一定可积；（4）在上可积的充要条件是在上几乎处处连续。4.定积分的基本性质★★（1）；（2）；（3）若，都在上可积，则在上也可积；（4）在上可积的充要条件上都可积，且（5），特别地；（6）如果在上可积，且，则；（7）若，都在上可积，且，则有；（8）若在上可积，则在上也可积，且；（9）估值定理：设分别是可积函数在上的最大值和最小值，则（10）积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得。（11）推广的积分第一中值定理：若，都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得（12）积分第二中值定理：是上的单调函数，为可积函数，则存在一点，使得二、定积分的计算1.牛顿莱布尼茨公式★★★若在上连续，为的一个原函数，即，，且2.变限积分★★★★设在上可积，对于任给的，在和上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分，若在上连续，则其变限积分作为关于的函数在上处处可导，且更一般的有三、两类反常积分1.两类反常积分的定义★★★（1）设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限则称此极限为函数在区间上的无穷限反常积分（无穷积分），记作并称收敛。如果上式的极限不存在，则称发散。（2）设函数定义在区间上，在点的任何一个右领域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积如果存在极限则称此极限为无界函数在区间上的反常积分（瑕积分），记作并称反常积分收敛。如果上式的极限不存在，则称发散。反常积分也称为瑕积分，点称为瑕点。2.无穷积分的性质★★（1）无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛只要，便有（2）线性性设为任意常数，与都收敛，则也收敛且（3）（4）若在任何有限区间上可积，且有也收敛，则也收敛，并且有：当收敛时，称绝对收敛，称收敛而不绝对收敛的为条件收敛。3.无穷积分的一个典型例题★★★★讨论无穷积分的收敛性解析：当时，当时，则结论：4.无穷积分的收敛判别法★★★★（1）绝对收敛判别法收敛的充要条件是存在上界；（2）比较判别法定义在无穷区间上的两个函数，都在任何有限区间上可积，且满足，，则当收敛时，必收敛；发散时，也发散。比较判别法还可以表示成极限形式，当选取，可以得到柯西判别法。（3）狄利克雷判别法若在上有界，在上当时单调趋于0，则收敛。（4）阿贝尔判别法若收敛，在上单调邮件，则收敛。5.瑕积分的性质★★（1）瑕积分（瑕点为a）收敛只要，总有（2）设函数和的瑕点同时为，为常数，则当瑕积分与都收敛时，瑕积分必定收敛，并且有=。（3）设函数的瑕点为，在的任意一个内闭区间上可积，则当收敛时，则也收敛，并且有6.瑕积分的一个典型例题★★★★讨论瑕积分的收敛性解析：被积函数在连续，且为其瑕点，由于当时，当时，则结论：在7.瑕积分的收敛判别法★★★★（1）比较判别法定义在无穷区间上的两个函数，，瑕点同时为，在任何上都可积，且满足，，则当收敛时，必定收敛；当发散时，也必定发散。比较判别法还可以表示成极限形式，当选取，可以得到柯西判别法。设定义在无穷区间且为其瑕点，在任何上可积，如果则有①当时，且时，收敛；②当时，时，发散。（2）又若，且，则有：①当时，与同敛态；②当时，由收敛可推知也收敛；③当时，由发散可推知也发散。8.反常积分的计算由于反常积分都是通过变限定积分的极限来定义的，所以依然可以利用牛顿莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法来计算反常积分，此外，还可以根据具体的情况灵活的运用其他一些方法，如待定系数法，方程法，级数法等。9.欧拉积分（1）欧拉积分包括两种类型①函数：。②函数：。（2）函数的性质①；特别地，；②；③，特别地，；④特别地，（3）函数的性质①；②；③当时，有余元公式；④四、含参量积分★★★1.含参量正常积分（1）设是定义在矩形区域上的二元函数，当取上某定值，是定义在上的一元函数，若在上可积，则其积分称为含参变量积分，其中，为积分参数，。（2）含参量正常积分的性质①若在上连续，则在上连续；②若在上可积，则在上可积，③若与都在上连续，则在上可导，且；④若在上连续，在上连续，且当时，则在上连续。⑤若与都在上连续，为定义在上其值域含于上的两个可微函数，则函数在上可导，且⑥若每个在上连续，且时，，于上，则可以积分号下取极限，即⑦若在上连续，则可在积分号下取极限，2.含参变量的非正常积分★★★★（1）定义设是定义在无界区域上的二元函数，若对每一个固定的，非正常积分都收敛，则它的值是在上取值的函数，记为：称为定义在上的含参变量的无穷限非正常积分，简称为含参变量非正常积分。（2）含参变量的非正常积分的一致收敛含参变量的非正常积分与函数对任给的正数，总存在某一个实数，使得当时，对一切的，都有即称含参变量的非正常积分在上一致收敛于，或者称含参量积分在上一致收敛。（2）一致收敛的判别方法★★★★①柯西准则含参量积分在上一致收敛的充要条件是对任给的正数，总存在某一个实数，使得当时，对一切的，都有。②判别法设有函数，使得若收敛，则，在上一致收敛。③阿贝尔判别法设A在上一致收敛；B若对每一个固定的，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量非正常积分在上一致收敛。④狄利克雷判别法设A、对一切实数，含参量的正常积分对参量在上一致有界；B、对每一个，函数为的单调函数，且当时，对参量，一致收敛于0。则含参量非正常积分在上一致收敛。（3）含参变量的非正常积分的性质★★①连续性设为上的连续函数，若含参量非正常积分在上一致收敛，则在上连续。②可微性设均为与上的连续函数，若含参量非正常积分在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且③可积性设为上的连续函数，若在上一致收敛，则在上可积，且。五、典型例题与解析1.牛顿莱布尼茨公式的应用证明例题1：若在上可积，在上连续，且除去有限个点之外，都有，则有思路分析：考虑怎么样将这有限个点去掉；证明：因为在上可积，则存在分割，使得分割正好不含这有限个点，也就是将这有限个点看做是分点。对在每个小区间上采用拉格朗日中值定理，有又因为令，又在上可积，故对上式两边同时取极限故2.利用连续性构造邻域设法证明结论例题1：证明：若在上连续，且，，则。证明：反证法：假设存在，在一个微小的邻域内使得，则有，则有利用函数的连续性，则可以得到在上可分为：则有这与假设相矛盾，所以假设不成立，即。例题2：证明：设在上连续，且不恒等于0，。证明：假设存在，在一个微小的邻域内使得，则有，由设的连续性，在微小的邻域内应用连续函数的局部保号性，有：利用函数的连续性，则可以得到在上可分为则有即3.凸函数的性质★★例题1：设在上二阶可导，且，证明：（1）（2）又若，，则有思路分析：（1）有已知有，可知为凸函数，故对任意的，有，两边同时关于积分，有取则结论得证。（2）思路分析：有已知有，可知为凸函数，故对任意的，有两边同时关于积分，有。因为，故，则结论得证。4.分段函数单调性证明例题1：若在上连续增，且；则在上增函数。证明：因为，又因为在上连续，则，即在右连续。则有在为连续函数。当，又；又因为在上连续，则由积分中值定理，存在，使得，则，故，则在为增函数。又在为连续函数，故有在为单调增函数。5.一个重要结论★★★例题1：关于收敛与的关系。解：首先①不是收敛的充分条件。例如：，但是发散。②收敛并不一定有。例如：，根据狄利克雷判别法有收敛，但是不存在。6、收敛与，设收敛。（1）若极限存在，则；（2）若在单调函数，则，且；（3）若在一致连续，则；（4）若在上可导，且收敛，则。证明：（1）设，设，则由极限的保号性，存在，当，时，满足于是对于因为所以发散，与已知矛盾。故（2）若在单调函数而无界，（设为递增且无上界），则，存在。当，时，满足。类似于（1）中的证明有，矛盾。所以在单调函数而有界。则存在极限。归结到（1）的情形，得到。利用柯西准则，由收敛，则，存在，。又因为在单调函数而有界，无放设单调递减，且，则有则即（3）因为在一致连续，则，当时，且时，。又因为收敛，故对上述的，存在，时，有现在对任何的，取，且使得，，此时由则有故（4）因为收敛，则由收敛的柯西准则，，存在，当时，，由函数极限的柯西准则有存在，设，归结为情形（1）则有7.举反例题目（1）瑕积分收敛时，不一定收敛。例如：，其中收敛，但是发散；或者。（2）若绝对收敛，且存在，则必定绝对收敛。但是若把条件改为条件收敛，则不一定收敛。例如：，为条件收敛；，但是中是发散的。故也发散。（3）从（2）中可以得到两个特殊形式①收敛时，不一定收敛例如：在②为绝对收敛时，不一定收敛例如：在但是对上述情形，若加一个限制条件，，则一定收敛。8.判别反常积分敛散性并求值例题1：判断的收敛性，并求值。解：因为均为瑕点

第七章级数一、数项级数1.数项级数定义给定一个数列，对它的各项依次用“+”连接起来的表达式①称为数项级数或无穷级数（常常称作级数），其中称为数项级数eq\o\ac(○,1)的通项，数项级数eq\o\ac(○,1)记作或者。2.部分和数项级数eq\o\ac(○,1)的前项和，记为，②它称为数项级数的部分和，部分和数列记为。3.数项级数的收敛与发散★★若数项级数的部分和数列收敛于，，则称数项级数eq\o\ac(○,1)收敛，称为数项级数①的和，记作若数列为发散数列，则称数项级数eq\o\ac(○,1)发散。其中通项为。4.级数收敛和发散的柯西准则★★（1）级数收敛的充要条件是任给，总存在自然数，使得当和任意的自然数，都有（2）级数发散的充要条件是存在某个正数，对任意的自然数，都存在和任意的自然数，有（3）若级数收敛，则，他的逆否命题常常用来判定一个级数发散。★★若，则级数发散。但是若一个级数发散，不一定有。而且这个理论还常常用来求数列的极限，通过构造，利用级数理论证明收敛，然后在利用来得到结论。5.级数的性质（1）若级数和都收敛，则对任意的常数，级数也收敛，且=。（2）去掉，增加或者改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（3）记级数为的第个余项，即，若收敛等价于。（4）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。6.注意事项★★★★（1）级数加括号的收敛，不能推测它在未加括号前也收敛。例如：级数（1-1）+（1-1）+……+（1-1）+……=0是收敛的，但是级数1，-1，1，-1，……是发散的。（2）若对原级数的项加括号后所得的级数发散，则原级数也一定发散。7.两类常用的级数★★★（1）等比（几何）级数当时，级数收敛；当时，级数发散；（2）柯西准则的运用①调和函数，是发散的；②是收敛的。二、正项级数★★★★1.正项级数定义各项均为正数组成的级数称为正项级数。2.正项级数收敛判别★★★（1）正项级数收敛的充要条件是：部分和数列，即存在某正数，对一切的自然数，都有。（2）比较判别法设和是两个正项级数，如果存在某个正整数，对一切的都有。则①若级数收敛，则级数也收敛；②若级数发散，则级数也发散。（3）比较判别法的极限形式设和是两个正项级数，若，则①当时，和同时收敛或者同时发散；②当且级数收敛时，也收敛；③当且级数发散时，也发散。（4）比式判别法（达朗贝尔判别法）设是正项级数，且存在某个自然数及常数，。①若对一切的，成立不等式，则级数收敛；②若对一切，成立不等式，则级数发散；（5）比式判别法的极限形式若是正项级数，且，则①当时，级数收敛；②当时，或者时，级数发散；（6）柯西判别法（根式判别法）设是正项级数，且存在某正整数及正常数，①若对一切，成立不等式，则级数收敛；②若对一切，成立不等式，则级数发散。（7）根式判别法的极限形式若是正项级数，且，则①当时，级数收敛；②当时，级数发散。（8）积分判别法设为上的非负递减函数，那么正项级数与非正常积分同时收敛或者同时发散。三、一般项级数收敛性判别法1.交错级数（1）定义各项符号正负相间，即形如的级数称为交错级数。（2）莱布尼茨判别法★★★★若交错级数满足下列两个条件：①数列单调递减；②则称此级数收敛。若级数满足莱布尼茨判别法，则收敛级数的余项估式。2.一般项级数的收敛判别★★★★★（1）阿贝尔判别法若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛。（2）狄利克雷判别法若为单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛。3.绝对收敛级数及其性质（1）如果级数收敛，则级数绝对收敛；如果级数收敛，发散，则称级数为条件收敛。四、对于一般项级数，判别其收敛性的步骤★★★★（1）通项是否趋于0；（2）是否为莱布尼次级数；（3）是否绝对收敛，对按照正项级数各种判别法判别其是否收敛，若否，则接着往下判断：（4）是否可将级数通项表示为两项之积，并且满足阿贝尔或狄利克雷判别法的条件；（5）考虑用柯西准则判别其收敛性；（6）通过求部分和的极限判别其收敛性。五、函数列及其一致收敛性★★★1.函数列收敛与一致收敛设函数列与函数定义在同一数集上，（1）对，，当时，总有，称函数列收敛于，记为。（2）若对任给的正数，总存在某一自然数，使得当时，对一切的，都有，称函数列在上一致收敛于，记为。2.函数列收敛性的判别准则★★（1）一致收敛的柯西准则在上一致收敛，对，，都有；，存在，，都有。（2）余项准则在上一致收敛。六、函数项级数1.函数项级数的收敛与一致收敛函数项级数，称为函数项级数的部分和函数列，若，则称级数收敛，且称为此级数的和函数。类似地，若在上一致收敛于，则称此函数项级数在上一致收敛于，或者称在上一致收敛。2.函数项级数一致收敛的判别准则（1）一致收敛的柯西准则★★★函数项级数在上一致收敛，存在，当，都有（即）。（2）一致收敛的必要条件（3）余和准则★★★★函数项级数在上一致收敛于，其中，称为函数项级数的余项。3.函数项级数一致收敛的判别法★★★★（1