2024-2025学年江西省南昌市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省南昌市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角（）A. B. C. D.2.已知圆关于直线对称，则（）A.0 B.1 C.2 D.43.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（）A.， B.，C.， D.，4.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.5.已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（）A4 B. C.3 D.26.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（）A. B. C.5 D.107.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.1或2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B.直线必过定点C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.过两点的所有直线的方程为10.已知直线，，则（）A.当时，直线一个方向向量为B.若与相互平行，则或C若，则D.若不经过第二象限，则11.已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是（）A.与直线平行且与圆C相切的直线方程为B.点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2C.点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为D.若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的顶点，则边上的中线所在的直线方程是_______________．13.椭圆标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则__________．14.已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点的坐标分别是，，并且经过点；（2）经过两点，.16.已知圆的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.17.如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18.已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍．（1）动点的轨迹为曲线，求的方程；（2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程．19.在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离.（1）求点到直线与直线的“折线距离”；（2）若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程2024-2025学年江西省南昌市高二上学期10月月考数学学情检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】将直线方程化成斜截式，再根据斜率得到倾斜角.【详解】化成斜截式为，所以直线斜率，直线倾斜角，且，则.故选：D.2.已知圆关于直线对称，则（）A.0 B.1 C.2 D.4【正确答案】C【分析】由题得圆心在直线上，列方程求解即可.【详解】由题得圆的圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以，解得.故选：C3.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】根据两平行直线的公式计算即可.【详解】因为直线和平行，所以，所以，所以两平行直线分别为和，所以两平行线间的距离为.故选：B.4.已知椭圆：左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.【详解】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，又，，则由于，所以，于是可得，，所以椭圆C的离心率.故选：B.5.已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（）A.4 B. C.3 D.2【正确答案】A【分析】根据倾斜角，结合椭圆的性质即可求解.【详解】的斜率为，经过点1,0，故其倾斜角为，因此,由于，所以，所以，故，故长轴长为,故选：A6.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（）A. B. C.5 D.10【正确答案】B【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.【详解】直线：，即，由，得到，所以直线过定点，当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，故选：B.7.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．【详解】根据题意得为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因直线与曲线恰有两个公共点，由图可得，即的取值范围是．故选：B．8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（）A0 B.1 C.2 D.1或2【正确答案】D【分析】根据题意求出M的轨迹方程，发现直线l恒过圆上一点，即可得出答案.【详解】设，则，化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆，而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B.直线必过定点C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.过两点所有直线的方程为【正确答案】AC【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误；根据直线系方程过定点，可判定B正确；根据时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误；根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确.【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点，可设直线方程为，又直线过点，则，即，此时直线方程为，满足题意，所以A错误；对于B中：直线可化为，由方程组，解得，即直线必过定点，所以B正确；对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误；对于D中，由两点，当时，此时过两点的所有直线的方程为，即，当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式，所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确.故选：AC.10.已知直线，，则（）A.当时，直线的一个方向向量为B.若与相互平行，则或C.若，则D.若不经过第二象限，则【正确答案】CD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，，A错误；对B，若与相互平行，则，解得或，当时，与重合，B错误；对C，若，则，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，即，则，解得，D正确.故选：CD11.已知直线：，圆C：，则下列结论正确的是（）A.与直线平行且与圆C相切的直线方程为B.点在直线上，过点作圆C的一条切线，切点为M，则的最小值为2C.点P在直线上，点Q在圆C上，则的最小值为D.若圆与圆C关于直线对称，则圆的方程为：【正确答案】BD【分析】运用直线与圆相切的条件即可判断选项A；根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可判断选项B；要使PQ最小，只需最小即可，利用选项B即可判断选项C；利用点关于点的对称即可判断选项D.【详解】对于选项A，因为直线：，设与直线平行的直线为：，圆：，圆心，因为直线圆C相切，则圆心到直线的距离，解得，所以与直线平行且与圆C相切的直线方程为，所以A错误；对于选项B，因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则，所以在中，，要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心，则的最小值即为点到直线的距离，即，，所以B正确；对于选项C，点P在直线上，点Q在圆C上，圆心，要使PQ最小，只需直线过圆心，则，只需最小，由选项B知，，则，所以C错误；对于选项D，圆与圆关于直线对称，则点与点关于对称，设，因为直线斜率为，直线与直线垂直，则，又的中点在直线上，所以，解得，所以，则圆的方程为：，所以D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的顶点，则边上的中线所在的直线方程是_______________．【正确答案】【分析】求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；【详解】中点坐标为，即，所以边上的中线所在的直线方程是：，整理得.故13.椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则__________．【正确答案】16【分析】利用椭圆的标准方程及焦距的定义即可求解.【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上，，，故16．14.已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______.【正确答案】【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解.【详解】如图，连接，因为，与圆相切，所以，设，所以，整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动，，当且仅当在时等号成立，所以答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点的坐标分别是，，并且经过点；（2）经过两点，.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意求出即可；（2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可.【小问1详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则，且焦点在轴上，，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆方程为.16.已知圆的圆心为，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或者【分析】（1）由中点坐标公式得出两端点坐标，得到半径，写出圆的方程.（2）切线方程先讨论直线斜率是否存在，斜率存在即可设出直线，用圆心到直线距离等于半径得到等量关系，从而计算出直线方程.【小问1详解】设圆的直径的两个端点分别为，，∴为中点，则，则，∴直径，∴，故圆.【小问2详解】当斜率不存在时，直线：，显然不是切线，舍去；当斜率存在时，设直线：，整理得：圆心到直线距离，∵直线时切线，∴∴，解得：∴直线：或者.17.如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过已知条件证明、，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）取的中点，通过平行关系可知异面直线所成角为或其补角，根据余弦定理求解出的值，则异面直线所成角的余弦值可求.【详解】（1）证明：连接，∵，，∴.∵，，∴.在中，由已知可得：，，而，∴，∴，即.∵，∴平面；（2）解：取的中点，连接，，，由为的中点知，，∴直线与直线所成的锐角就是异面直线与所成的角.在中，，，∵是斜边上的中线，∴，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.18.已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍．（1）动点的轨迹为曲线，求的方程；（2）设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程．【正确答案】（1）（2），【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案；（2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程．【小问1详解】设动点的坐标为，则由,得，即，即，即的方程为；【小问2详解】直线，即，由于，故令，解得，即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内，即直线l和圆相交，当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，由于，故，圆半径为，故的长度的最小值为.又的斜率为，故此时直线l的斜率为3，则直线l的方程为，即.19.在