2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系教师用书新人教B版必修第一册

PAGE1-1．1.2集合的基本关系考点学习目标核心素养子集、真子集的概念理解子集、真子集的概念，会用列举法求有限集的全部子集数学抽象集合关系的判定能用符号和维恩图表达集合间的关系，会推断两个集合间的关系数学抽象、逻辑推理集合关系的应用能依据集合的关系解决简洁的求参问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P9－P13，思索以下问题：1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3．集合相等的概念是什么？1．子集(1)概念：一般地，假如集合A的随意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．(2)记法：A⊆B(或B⊇A)(3)读法：A包含于B(或“B包含A”)(4)假如A不是B的子集，记作A⃘B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．(5)性质：A⊆A；∅⊆A.■名师点拨“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.2．真子集(1)概念：一般地，假如集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集．(2)记法：AB(或BA)(3)读法：A真包含于B(或“B真包含A”)(4)性质：对于集合A，B，C，①假如A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②假如AB，BC，则AC.■名师点拨在真子集的定义中，AB首先要满意A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.3．维恩图假如用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为维恩图．■名师点拨表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．4．集合的相等与子集的关系(1)一般地，假如集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．(2)由集合相等以及子集的定义可知：假如A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，假如A＝B，则A⊆B且B⊆A．■名师点拨若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列依次无关．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．()(2)空集是任何集合的真子集．()(3)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．()(4)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.()(5){1，2，3}＝{3，2，1}．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够精确表示集合M与N之间关系的是()A．M<N B．M∈NC．N⊆M D．MN答案：D已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________．解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2集合间关系的推断指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)用数轴表示区间A，B，如图所示，由图可知AB.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.eq\a\vs4\al()1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈子集、真子集的个数问题(1)(2024·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满意条件ACB的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为()A．－2 B．4C．0 D．以上答案都不是(3)若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满意条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6.【答案】(1)B(2)C(3)B(变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}⊆C⊆{1，2，3，4，5}，试写出集合C的全部可能．解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}；当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}，所以满意条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．eq\a\vs4\al()(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤(2)与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有①A的子集的个数有2n个；②A的非空子集的个数有2n－1个；③A的真子集的个数有2n－1个；④A的非空真子集的个数有2n－2个．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．答案：5集合相等(1)给出以下5组集合：①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝∅，N＝{0}；④M＝{π}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中是相等集合的有()A．1组 B．2组C．3组 D．4组(2)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2019＋y2018＝________．【解析】(1)对于①，M＝{(－5，3)}中只有一个元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有两个元素－5，3，故M，N不是相等集合；对于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；对于③，M＝∅，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等集合；对于④，M＝{π}，N＝{3.1415}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；对于⑤，M和N都只有两个元素1，2，所以M和N是相等集合．故选A.(2)因为M＝N，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,xy＝y))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝y，,xy＝1.))由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))所以x2019＋y2018＝－1.【答案】(1)A(2)－1eq\a\vs4\al()(1)两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应当先确定这两个集合的全部元素，再依据集合相等的定义进行推断．(2)依据集合相等求系数，应从集合相等的概念入手，找寻两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种状况，然后通过列方程(组)求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类探讨．求出参数值后要留意检验是否满意集合中元素的互异性．设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a－b＝________．解析：因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.答案：－2由集合间的包含关系求参数已知区间A＝[－3，4]，B＝(1，m)(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．【解析】由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.【答案】1<m≤41．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m>1)”改为“B＝(1，m)”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满意B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知m≤4.2．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m>1)”改为“B＝(2m－1，m＋1)”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：因为B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1＜m＋1，))解得－1≤m<2.综上得m≥－1.eq\a\vs4\al()由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常依据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应留意分类探讨；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应留意端点处是实点还是虚点．[留意](1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般须要分类探讨．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝eq\f(1,3).当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－eq\f(1,2).当B＝∅时，m＝0.综上所述，m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2)或m＝0.1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．AB D．AB解析：选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.2．满意{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个 B．7个C．8个 D．15个解析：选B.依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x的值为________，y的值为________．解析：因为集合A＝B，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0，0}，不满意集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1.综上可知，x＝1，y＝0.答案：104．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝eq\f(1,3).当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．当a＝eq\f(1,3)时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(1,3)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，符合条件．所以a的值为－1或eq\f(1,3).答案：－1或eq\f(1,3)[A基础达标]1．(2024·衡水检测)已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B⊆A，则X可以取的值为()A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6C．1，2，3，6 D．1，2，6解析：选D.由B⊆A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6.2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有()①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A.A．4个 B．3个C．2个 D．1个解析：选B.依据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；③∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；④{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确．共有3个正确．3．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为()A．1 B．2C．4 D．不确定解析：选C.方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．4．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(k∈Z)))，则()A．M＝NB．MNC．MND．M与N没有相同元素解析：选C.因为eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(2k＋1)，eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN.故选C.5．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0，1或－1解析：选D.由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.6．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.答案：M＝P7．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a≤eq\f(1,4).答案：a≤eq\f(1,4)8．设区间A＝(－1，3]，B＝(a，＋∞)，若AB，则a的取值范围是________．解析：区间A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a≤－1，留意端点能否取到是正确求解的关键．答案：a≤－19．推断下列集合间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2)))))，利用数轴推断A，B的关系．如图所示，AB.(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.10．(2024·葫芦岛检测)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}．(1)若A＝B，求y的值；(2)若A⊆C，求a的取值范围．解：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3，综上，y的值为1或3.(2)因为C＝{x|2<x<5}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2<a<5，,2<a－1<5.))所以3<a<5.[B实力提升]11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．ABC．BA D．A∈B解析：选D.因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.12．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B