中考数学重点专题23：锐角三角函数

专题23锐角三角函数（共65题）

一、单选题

1.（2021•湖南中考真题）下列计算正确的是（）

A.（TT—3）0-1B.tan30°=—C.-y/4=+2D.a~•ci3=cib

【答案】A

【分析】

根据零指数累，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数基乘法的计算法则分别计算即可.

【解析】

解：A、（"一3）°=1,此选项正确；

B、tan30。=且，此选项错误；

3

C、74=2.此选项错误；

D、。2./=炉，此选项错误；

故选：A.

【小结】

本题考查零指数需，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幕乘法，熟知相关计算法则即定义是

解决本题的关键.

2.（2021•福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂8之间的距离，在学校附近

选一点C,利用测量仪器测得NA=60o,NC=90o,AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离

等于（）

C.26kmD.4km

【答案】D

【分析】

解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长.

【解析】

ZA=60°,ZC=90°,AC=2km

.AC。。1

cosA=,cos60=—

AB2

「AC2„

AB=-------=—=4km

cosA■

2

故选D.

【小结】

本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键.

3.（2021•浙江金华市•中考真题）如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面8c的夹角为a,

则两梯脚之间的距离8（7为（）

BDC

4

A.4cosc米B.4sina米C.4tana米D.------米

cosa

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形的性质得到5D=£>C=，5C,根据余弦的定义即可，得到答案.

2

【解析】

过点人作4»，3。，如图所示:

A

VAB=AC,AD±BC,

:.BD=DC,

..zDC

.coa=----,

AC

DC-ACcosa=2cosa,

•*.BC=2DC=4cosa，

故选：A.

【小结】

本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键.

4.(2021•湖北随州市♦中考真题)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角

为a时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点3处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子

与地面所成角为夕，已知sina=cos/?=g,则梯子顶端上升了()

【答案】C

【分析】

根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CZ)=CEsinH与A6ABsina,两线段作差即可.

【解析】

解：如图所示标记字母，

根据题意得AB=CE=\O米,

•.•sin6=&cos2/=Jl_(|)

.,°CDCD4

在/?/△ECD中，sinB=---=----=—,

CE105

4

...C0=-xlO=8,

5

,,ADAD3

在Rt4ABD中，sina=---=----=一，

AB105

3

AA£)=-xl0=6,

5

：.AC=CD-AD^S-6=2.

故选择C.

【小结】

本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关

键.

5.(2021•湖南衡阳市•中考真题)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯A8的倾斜角为37。,

大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75)

().

D.10米

【答案】D

【分析】

结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案.

【解析】

根据题意，得：sin37。=一上"（）.6

AB

,/8C=6米

，AB=^=f-=10米

0.60.6

故选：D.

【小结】

本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解.

6.（2021•天津中考真题）tan30°的值等于（）

A6RV2「［„-

A・B・.1D.2

32

【答案】A

【分析】

根据30。的正切值直接求解即可.

【解析】

解：由题意可知，tan30°=—.

3

故选：A.

【小结】

本题考查30。的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可.

7.（2021•湖南株洲市•中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，A8垂直地面（于点A,座与水平线的

夹角为a（O°WaW9O。），EFIIlJIk,若AB=L4米，BE=2米，车辆的高度为力（单位：米），不考

虑闸口与车辆的宽度.

①当a=90。时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；

②当a=45°时，〃等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；

③当a=60°时，力等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.

则上述说法正确的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】

①AB,E三点共线，直接计算可得；

②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出

③方法同②.

【解析】

如图过E点作石加_LA8交A8的延长线于点M,

EF//IJ/1,

ZMEB=a

则//=AM-AB+BExsina

①当a=90°时,4B,E三点共线，

/2=A£=AB+5E=14+2=3.4>3.3

•••力小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.

②当a=45°时，

h=AB+BExsin«=1.4+2x立^«1.4+1.41=2.81<2.9

•••&等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.

③当a=60°时，

/z=^B+BExsina=1.4+2x—»1.4+1.73=3.13>3.1

2

力等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.

综上所述：说法正确的为：①②，共2个.

故选：C.

【小结】

本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键.

8.（2021•重庆中考真题）如图，在建筑物左侧距楼底8点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CQ

的坡度（或坡比）为i=l:2.4,坡顶。到BC的垂直距离DE=50米（点A,B,C,D,E在同一平面内），

在点。处测得建筑物顶A点的仰角为50。，则建筑物A3的高度约为（参考数据：sin50°«0.77；

cos50°«0.64；tan50°«1.19）

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【答案】D

【分析】

作于尸点，得到四边形OEB尸为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE,8E的长

度，从而得到。尸=8E,再在心△AO尸中利用三角函数求解即可得出结论.

【解析】

如图所示，作于尸点，则四边形力E8尸为矩形，

:.DE=BF=50,

♦.•斜坡CO的坡度（或坡比）为i=l:2.4,

.一,1DE5

♦♦在CED中，tanNC——=-----=—,

2.4CE12

•；£>£=50,

/.CE=120,

/.=8=150—120=30,

，DF=30.

在R3AO尸中，ZADF=50°,

Ap

，tanNA0F=tan5O°=——=1.19,

DF

将DF=30代入解得：AF=35.7,

：.AB=AF+BF=35J+50=85.7米，

故选：D.

【小结】

本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解

题关键.

9.（2021•浙江中考真题）如图，已知在矩形ABC。中，AB=[BC=6,点P是边上的一个动点,

连结3P,点C关于直线BP的对称点为G，当点p运动时，点G也随之运动.若点P从点A运动到点D,

则线段CC1扫过的区域的面积是（）

D.2万

【答案】B

【分析】

先判断出点。在以8c为直径的圆弧上运动，再判断出点Ci在以8为圆心，8c为直径的圆弧上运动，找

到当点P与点A重合时，点P与点。重合时，点Ci运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公

式求解即可.

【解析】

解：设8/,与CG相交于。，则/BQC=90。,

.♦•当点P在线段A。运动时，点。在以8c为直径的圆弧上运动,

延长C8到E,使BE=BC,连接EC,

VC.G关于P3对称，

二NECC=N8QC=90。，

.•.点G在以8为圆心，8c为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点Ci与点E重合，

当点P与点D重合时，点G与点F重合，

/P8C=30。，

In3

/F8P=NPBC=30°,CQ^-BC=—.8Q=GCQ='，

222

/./FBE=180o-30°-30o=120°,S=-CC,x5(9=—x-=—,

BRCrPF2224

线段CC1扫过的区域的面积是⑵乃x（J3）_373.

360BCF4

故选：B.

【小结】

本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟

练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.

10.（2021•浙江丽水市•中考真题）如图，A8是。。的直径，弦C0J_Q4于点E,连结OCQD.若。

的半径为九NAOD=Na,则下列结论一定成立的是（）

A.OE-mtanaB.CD=2m-sinaC.AE=m-cosaD.SCOD=m~-sina

【答案】B

【分析】

根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答.

【解析】

解：是C。的直径，弦COJ_Q4于点E,

DE=-CD

2

在RtAEDO111,OD=m，ZAOD=Za

DE

・・tana=----

OE

.OE-DE=CD

故选项A错误，不符合题意;

tana2tana

一.DE

乂sina=----

OD

•*.DE=OD»sina

・・・CD=2OE=2wsina，故选项8正确，符合题意;

又cosa=%

OD

OE-OD»cosa-m.cosa

AO-DO=m

：.AE=AO-OE=m-nucosa,故选项C错误，不符合题意;

CD=2m»sina，OE=m«cosa

112

S.--CDxOE=—x2m«sinaxzn.cosa-m"sinof-coscu,故选项。错误，不符合题意;

rnn22

故选B.

【小结】

本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和

锐角三角函数的定义.

11.（2021•浙江宁波市•中考真题）如图，在A3C中，/3=45。,/。=60。,4。，3。于点0,

BD=6若E,尸分别为A3,的中点，则EP的长为（

A6B百

A.-----C.1D.1

322

【答案】C

【分析】

根据条件可知AA8D为等腰直角三角形，WJBD=AD,△ADC是30。、6（）。的直角三角形，可求出AC长，再

根据中位线定理可知EQ;-。

【解析】

解：因为A。垂直8C,

则4ABD和4ACZ）都是直角三角形,

又因为N8=45°,NC=60°,

所以=6,

因为sin/C=4^=1,

AC2

所以AC=2,

因为E尸为△ABC的中位线，

所以小——=1,

2

故选：C.

【小结】

本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是

解决问题的关键.

12.（2021•云南中考真题）在A6C中，ZABC=90。,若AC=100,sinA=1,则A3的长是（）

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根据三角函数的定义得到8c和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

【解析】

BC3

解：VZA/JC-9O0,sinNA=——=一，AC=100,

AC5

，8C=100x3+5=60,

•••AB=1AC2_BC2=8（）,

故选D.

【小结】

本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

13.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与

建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走13（）米至坡顶。处，再从O处沿水平方向继续

前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60。，建筑物底端B的俯角为45。，点A、8、

C、D.E在同一平面内，斜坡AD的坡度，=1:2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为

（）（参考数据：1.732）

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

【答案】A

【分析】

作DFLAB于尸点，EGLBC于G点，根据坡度求出DF=50,AF=120,从而分别在△BEG和4CEG中求

解即可.

【解析】

如图，作。FJLAB于尸点，EGJ_8c于G点，

则四边形OFBG为矩形，DF=BG,

•••斜坡AO的坡度i=1:2.4,

tanZ.DAF——=—=----,

2.412AF

VA£>=130,

：.DF=50,AF=12O,

:.BG=DF=53

由题意，ZC£G=60°,NBEG=45。,

.♦.△8EG为等腰直角三角形，BG=EG=50,

在/?/△CEG中，CG=百£G=50百，

•••BC=BG+CG=50+50凤136.6米，

故选：A.

【小结】

本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键.

4

14.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，ABC中，BD±AB,BD、AC相交于点O,AD=-AC,

7

A5=2,NABC=150。，则△0BC的面积是（）

C

AB

A36R9G「3月n673

141477

【答案】A

【分析】

过点C作CEJLAB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到2族”5=3：7,再证明

\ADB:VACE，解得丝=&，分别求得4瓜CE长，最后根据，AC£的面积公式解题.

AE7

【解析】

解：过点C作CE_LAB的延长线于点E，

•.匕。8。与△ADB是等高三角形，

43

S:SDRC=A.D\DC——AC\—AC=4:3

/\L/D77

・q•q-3-7

・.BDA.AB

/.VADB:NACE

7

AB_4

AE-7

AB=2

7

AE=—

2

73

:.BE=L—2=3

22

QZA6C=150°,

NCBE=180°-150°=30°

:.CE=tan300-BE=—

2

设SADB=4x,SDBC=3x

.q_49

一ACE_41

4917G

—X=-X——X-------

4222

,_V3

..X=—

14

14

故选：A.

【小结】

本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

15.（2021•浙江绍兴市♦中考真题）如图，RtABC中，ABAC=90°,cos5=-,点。是边BC的中点,

4

CE

以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE,使NAD£=N8,连结CE,则不的值为（）

AD

BDC

A.-B.73C.2/ilD.2

22

【答案】D

【分析】

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出AD=BD=CD=-BC,在结合题意可得

2

ZBAD=ZB=ZADE，即证明AB//OE,从而得出NB4£>=N5=NAZ>E=NCDE.即易证

^ADE^CDE(SAS),得出A£=CE.再由等腰三角形的性质可知AE=CE=DE，

ZBAD=/B=ZADE=NDAE，即证明-AB。ADE，从而可间接推出一万=花.最后由

cosB=—即可求出处的值，即空的值.

BC4ABAD

【解析】

:在RfABC中，点Q是边8c的中点，

AD=BD=CD=-BC,

2

：.ZBAD=ZB=ZADE，

:.ABHDE.

：./BAD=NB=ZADE=Z.CDE,

AD=CD

：.在_ADE和ACDE中，,ZADE=ACDE,

DE=DE

：..ADE=..CDE(SAS),

AE=CE,

为等腰三角形，

；.AE=CE=DE,ABAD=/B=ZADE=/DAE，

；•&ABD—ADE,

.DEADCEBD

••,a即n=.

BDABADAB

八AB1

•cosB=——>

BC4

.AB1

..=一,

BD2

.CE_BDr

ADAB

故选D.

【小结】

本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定

和性质以及解直角三角形.熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键.

16.（2021•重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和/VD.甲在山脚

点C处测得通信基站顶端M的仰角为60。，测得点C距离通信基站M4的水平距离CB为30小；乙在另一

座山脚点尸处测得点尸距离通信基站的水平距离尸E为5（加，测得山坡。尸的坡度i=l：1.25.若

ND="E,点C,B,E,f在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（）（参

考数据：＞/2«1.41,73«1.73）

A.9.0/nB.12.8/HC.13.1/nD.22.7m

【答案】C

【分析】

分别解直角三角形Rt4Z）所和RtMBC,求出NE和MB的长度，作差即可.

【解析】

解：；庄=50加，QF的坡度i=l：1.25,

/.DE:EF=1:1,25,解得。E=40m,

二ND=-DE=25m.

8

二NE=ND+DE=65m,

V=60°■BC=30m,

•••MB=BC-tan60°=30鬲，

顶端M与顶端N的高度差为NE—MB=65—«13.1zn，

故选：c.

【小结】

本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键.

17.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在矩形A8CD中，AB=15,BC=20,把边A8沿对角线80

平移，点A',9分别对应点4,B.给出下列结论：①顺次连接点A',B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线44的对称点的距离为48；③A'C—6'C的最大值为15；④A'C+8'C的最小值为

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】

根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判

断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作。关于A4'的对称点W，DD交A4'于M,连接BD'，

过作。'NL3C于N,分别交AM,8。于K,”，证明Z7C是最小值时的位置，再利用勾股定理求解

D'C,对④做出判断.

【解析】

解：由平移的性质可得AB〃A9

iLAB=A'B'

•••四边形A8CO为矩形

：.AB//CD,AB=CD=\5

，4B//CZ）且AF=CZ）

，四边形A'B'CD为平行四边形，故①正确

在矩形ABCD中，BD=^AB2+AD'=>/152+202=25

过A作AM_L8£),CN1.BD,则AM=CN

15x20

：.AM=CN=----------=12

25

.••点C到A4'的距离为24

.••点C到它关于直线AA的对称点的距离为48

/.故②正确

二当A,B',C在一条直线时A'C-B'C最大,

此时8'与。重合

AC—B'C的最大值=48'=15

,故③正确，

如图，作。关于AA的对称点3交AA于M,连接BP',过次作DNJ.8C于N,分别交

AM,BD于K,H,

则AB//A'B'//KH,AB=KH=15,KM为一D'HD的中位线，BD上DU，

D'K=HK=15,

山cA'B'CO可得3'C=A'。，

B'C=A'D=A'D\

：.A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此时最小,

由②同理可得：DMD'M^12,

小“DC153HN

tanNDBC------———

BC204fi/V

设HN=3x,则BN=4x,

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'2=BN2+D'N2,

252+242=(30+3x)2+(4x)2,

整理得：25/+180X—301=0,

.-.(5x-7)(5x+43)=0,

743

解得：玉=二，无2=一彳（负根舍去）,

72171

NC=20-4x=（D'N=―,

D'C=

/.故④正确

故选D

【小结】

本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质，锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握

相关的知识是解题的关键•

18.（2021•浙江温州市•中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择

两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形Q46C.若AB=BC=1.ZAOB=a,

则oc-的值为（）

D.cos2a+1

【答案】A

【分析】

根据勾股定理和三角函数求解.

【解析】

•.•在RfVtMB中，ZAOB=a,AB=\

sinesine

(IA21

在必二06。中，BC=1,OC2=OB2+BC2=------+12=—―+1

[sinaJsin'a

故选：A.

【小结】

本题主要考查勾股定理和三角函数.如果直角三角形的两条直角边长分别是mb,斜边长为c,那么

a2+b2^c2.

19.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在菱形A5C。中，ZA=60°,点E,尸分别在边43,5c上,

AE=M=2,...。砂的周长为36，则4。的长为（）

15

A.展B.2GC.V3+1D.273-1

【答案】C

【分析】

连接8D,过点E作可得例E=6,AM=1,再证明△BQF丝△△£>£可得八。石尸是等边三角形,

从而得。族迷，进而即可求解.

【解析】

连接8£>,过点E作£M_LAD,

"；AE=BF=2,ZA=60°.

ME=AExsin60°=2x且=Q,AM=71EXCOS60O=2X—=1,

22

D

•••在菱形ABC。中，

；.AD=AB=BC=CD,ZC=ZA=60°,

...△/18。和48CC均为等边三角形，

二2。8/=/4=60。，BD=AD,

又：AE=BF=2,

：.^BDF^/\ADE,

:.NBDF=NADE,DE=DF,

：.ZADE+ZBD£=60°=ZBDF+ZBDE,即：ZEDF=60°,

二—O七厂是等边三角形，

所的周长为3#，

x3#=指，

DM—=y/3<

：.AD^AM+DM=l+y/3.

故选C.

【小结】

本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是

解题的关键.

20.（2021•湖北荆州市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，Z£>=60°,43=2,以8为圆心、BC长为

半径画AC，点尸为菱形内一点，连接B4，PB,PC.当△8PC为等腰直角三角形时，图中阴影部分

的面积为（）

【答案】A

【分析】

以点8为原点，8c边所在直线为x轴，以过点8且与8C垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出

ZPBC<90°,再根据/BCG90。和/BPC=90。两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可.

【解析】

解：以点8为原点，2c边所在直线为x轴，以过点8且与8c垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如

图，

,：/\BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形A8C。的内部,

很显然，ZPBC<90°

①若N8CP=90°,则C片BC=2

这C作CEJ_AD交AD于点E,

:四边形A8co是菱形

：.AB=BC=CD=DA=2,ZD=ZABC=60°

：.CE=CDsinZ£)=2x—=73<2

2

点P在菱形A8C。的外部，

•••与题设相矛盾，故此种情况不存在；

②NBPC=90。

过P作PF1BC交BC于点F,

*：XBPC是等腰直角三角形，

:.PF=BF=LBC=1

2

F(l,0)

过点A作AGLBC于点G,

在RtAABG中,ZABG=60°

：./8AG=30。

.•.8G=；AB=1,AG=^BG=6

•"(1,6),G(l,0)

点F与点G重合

.•.点A、P、P三点共线

•••AP=AF-PF=y/3-l

S^BP=gxlx(G—l)=当-!■

SABPC=]X2xl=l

_60〃x2?_2乃

扇形8ACQzioQ

.SY&&_2兀A/3-12万V3+1

d1-

"»阴影—»扇形BAC-）A4BP-ABPC-《QqQ-

故选:A.

【小结】

此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识,

正确作出辅助线是解答此题的关键.

21.（2021•吉林长春市•中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知4、8两点间的距

离为30米，NA=a,则缆车从A点到达8点，上升的高度（BC的长）为（）

3030

A.30sina米B.-------米C.30cosa米D.--------米

sinacosa

【答案】A

【分析】

在放△A8C中，已知N3AC和斜边A5,求N8AC的对边，选择/B4C的正弦，列出等式即可表示出来.

【解析】

在/?/△ABC中，

sinABAC---,

AB

即sina==30gdna,

故选：A.

【小结】

本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程.

22.（2021•湖北黄冈市•中考真题）如图，AC为矩形A8CD的对角线，已知AD=3,CD=4.点尸沿

折线C-A-。以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点尸作PE上BC于点E,则XCPE

的面积y与点尸运动的路程x间的函数图象大致是（）

D0_______C

【答案】D

【分析】

先根据矩形的性质、勾股定理可得AC=5,再分0W无K5和5<xW8两种情况，解直角三角形分别求出

的长，利用直角三角形的面积公式可得y与x间的函数关系式，由此即可得出答案.

【解析】

解：［四边形ABC。是矩形，AZ）=3，CD=4,

.-.AB=4,BC=3,AC=yjAD2+CD2=5,ZB=90°.

AC+AD-S,

由题意，分以下两种情况：

（1）当点P在C4上，即0WxW5时，

ADA3

在RtABC中，sinZACB--------,cosZACB-----=一，

"AC5AC5

;在RtACPE中,CP=x,PE工BC，

34

:.CE=CPcosNPCE=-x,PE=CP-sinZPCE=-x,

55

（2）如图，当点P在AD上，即5<xK8时,

四边形ABC。是矩形，PE1BC,

..・四边形CEPD是矩形,

：.PE^CD^4,CE=DP^AC+AD-(AC+AP)^S-x,

y=—CE-PE=-2x+16,

—k（04x45）

综上，V与％间的函数关系式为y=J25,

一2尤+16（5<x<8）

观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，

故选：D.

【小结】

本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题

关键.

23.（2021•四川达州市•中考真题）在平面直角坐标系中，等边AAO3如图放置，点A的坐标为（1,0）,每一

次将AAO8绕着点。逆时针方向旋转60°,同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到A40反，第二

次旋转后得到小^。与，…，依次类推，则点A2021的坐标为（）

打

A.(-22020,-V3X22020)B.(22021,一Gx22°2i)

c.(22020,-V3x22020)D.(-220",-V3X22021)

【答案】C

【分析】

由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题.

【解析】

解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，

20214-6=371……5,

.•.&⑼点在第四象限，04021=22021,Nx。42tm=60。，

•••点与20的横坐标为gX22⑼=22必，纵坐标为一3X22%-6X2?侬,

■.^(2^,-6x22ra°),

故选：C.

【小结】

本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考

常考题型.

24.(2021•湖北十堰市♦中考真题)如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与

旗杆之间的水平距离BC为15m,AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是()

.4rr<30°.___________D

B'--------------------'c

A.115/+g]mB.55/3mC.150mD.^5>/3+-|jm

【答案】D

【分析】

先根据题意得出AD的长，在Rt4AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE=CD+DE即可得

出结论.

【解析】

解："：AB1.BC,DEIBC,AD//BC,

.••四边形ABC。是矩形，

VBC=15m,AB=1.5m,

.".AD=BC=15m,DC=AB=\.5m,

在Rt4AED中,

\'ZEAD=30°,AD=\5m,

：.ED=AD.tan30°=15x2^1=5,

3

C£=CD+DE=^5V3+1m.

故选：D.

【小结】

本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本

知识的考查.

25.（2021•浙江台州市•中考真题）如图，将长、宽分别为12cm,3cm的长方形纸片分别沿A5,AC折叠,

点M,N恰好重合于点P.若Na=60。，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

MAjif

A.(36—6-\/3)cm2B.(36—126)cm2C.24cmD.36cm

【答案】A

【分析】

过点C作CVLMN,过点8作BE_LMN，根据折叠的性质求出NP4C=Na=60°，

ZEAB=ZPAB=3O°,分别解直角三角形求出A8和AC的长度，即可求解.

【解析】

解：如图，过点C作。91MV，过点8作

MEAFN

•••长方形纸片分别沿4B,AC折叠，点M,N恰好重合于点P,

.•.如C=/a=60。，

ZEAB=ZPAB=30°^

BECFr-

ZBAC=90°.AB=------------=6cm,AC=——=20cm,

sinZ.EABsina

SABC=gAB-AC=6\/3,

2

S阴=S矩形-SABC=12x3-6百=^36-65/3jcm,

故选:A.

【小结】

本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键.

26.（2021•湖南怀化市•中考真题）如图，菱形A5CZ）的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、30交于原点

O,AEJ_BC于E点,交3“于M点，反比例函数y=y2（x>0）的图象经过线段。C的中点N,若即=4,

则ME的长为（）

54

A.ME=-B.ME=-

33

C.ME=\D.ME、

【答案】D

【分析】

A

根据菱形的性质得出。点的坐标，利用反比例函数y=y2（x>0）的图象经过线段。C的中点N,求出C

3x

点的坐标，进而得出NO。。=30°；根据菱形的性质可得/A5C=/ADC=2/OQC=60。，AB=BC，

可判定,ABC是等边三角形；最后找到用心AM.AE.08之间的数量关系求解.

【解析】

•••菱形ABC。，BD=4

OD=OB=2

二。点的坐标为（0,2）

设C点坐标为（年,0）

•.•线段OC的中点N

...设N点坐标为（土，1）

2

77

乂,/反比例函数）=m（x>0）的图象经过线段DC的中点N

3x

即C点坐标为（W二，0）,0C=tE

33

在HODC中，,/c”OC方~6

tanZ.ODC==---=——

OD23

•••ZO£>C=30°

•菱形ABC。

/.ZABC=ZADC=2ZODC=60°.AB=BC-ZOBC=ZODC=3>Q°

；•,ABC是等边三角形

又A£_L3c于E点，3O_LOC于。点

；.AE=0B=2,AO=BE

•;AO=BE，ZAOB=ZAEB=90°，ZAMO=/BME

：..AOM=.BEM(AAS)

■-AM=BM

MF

又•：在RtBME中,嬴=5m30。

ME.…1

二--=sin30=—

AM2

ME=-AE=-x2=-

333

故选：D.

【小结】

本题考查菱形的性质、等边二角形的判定和特殊角30。的三角函数.菱形的性质，四边相等，对角相等,

对角线互相垂直且平分一组对角.等边三角形的判定，有一个角为60°角的等腰二角形是等边三角形.特

殊角30。的三角函数，sin30°=-,cos30°=—-tan30°=—

223

27.（2021•湖北十堰市♦中考真题）如图，ABC内接于0,/84。=120。,4?=4。,3。是。的直径,

若AD=3,则3C=()

A.2gB.373C.3D.4

【答案】C

【分析】

首先过点。作OF_L8C于F,由垂径定理可得3F=CF=LBC,然后由NBAC=120。，AB=AC,利用等

2

边对等角与三角形内角和定理，即可求得NC与NBAC的度数，由5。为（DO的直径，即可求得/BAZ）与

NO的度数，又由AO=3,即可求得8。的长，继而求得8c的长.

【解析】

解：过点。作OFL3C于F,

1

:・BF=CF=—BC,

2

\'AB=AC,ZBAC=\20°r

：.ZC=ZABC=(180°-ZBAC)^2=30°,

・・・NC与ND是同弧所对的圆周角，

AZD=ZC=30°,

・・・8。为。。的直径，

：.ZBAD=90°,

：.N/WQ=60。，

・♦.ZOBC=ZABD-ZABC=30°,

・・・A£)=3,

AAD-?cos30°=3^2^1=273，

：.OB=^-BD=y]3,

BF=OB・cos30°=y/3x,

：.BC=3.

故选：C.

【小结】

此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的